20. Cinemática de los puntos de un cuerpo rígido en rotación

20.1 Del giro global al movimiento de cada punto

En una rotación alrededor de un eje fijo, la configuración completa del cuerpo puede describirse mediante un ángulo θ(t). Conocer θ, ω = dθ/dt y α = dω/dt permite calcular el movimiento de cualquier punto una vez conocida su posición dentro del cuerpo.

20.2 Geometría respecto del eje

Sea O un punto del eje fijo y r⃗_P/O el vector desde O hasta un punto material P. La distancia perpendicular ρ de P al eje determina el radio de su trayectoria circular.

En un problema plano, el eje es perpendicular al plano y pasa por O, de modo que ρ = |r⃗_P/O|. En tres dimensiones, puede existir una componente de r⃗ paralela al eje; esa componente no contribuye a la rapidez rotacional.

Los puntos con ρ = 0 pertenecen al eje y permanecen en reposo respecto del marco donde el eje está fijo.

20.3 Posición mediante una rotación

En el plano, si las coordenadas iniciales de P respecto de O son (x₀, y₀), después de un giro θ:

En forma matricial:

La matriz de rotación conserva distancias y ángulos. Por eso es compatible con la restricción de cuerpo rígido.

20.4 Longitud de arco y desplazamiento

Si el cuerpo gira un ángulo Δθ, el punto P recorre un arco:

Todos los puntos comparten |Δθ|, pero un punto más alejado del eje recorre una distancia mayor. El desplazamiento vectorial entre los extremos del arco no coincide con la longitud recorrida, excepto en el límite de intervalos muy pequeños.

20.5 Velocidad de un punto

La velocidad instantánea de P se obtiene con el producto vectorial:

La velocidad es perpendicular tanto al eje como al vector radial perpendicular. Su módulo es:

La dirección es tangente a la circunferencia de P y el sentido se determina con la regla de la mano derecha. Una ω negativa invierte todas las velocidades sin alterar sus módulos.

20.6 Velocidad en componentes cartesianas

Para una rotación plana con ω⃗ = (0,0,ω) y r⃗_P/O = (x,y,0):

Se verifica r⃗·v⃗ = 0, confirmando que la velocidad es tangencial.

20.7 Aceleración de un punto

Cuando ω puede cambiar, la aceleración posee dos términos:

El primero es tangencial y el segundo es radial:

Para un punto perpendicular al eje:

20.8 Dirección de las aceleraciones

La aceleración tangencial es perpendicular al radio. Si α tiene el mismo signo que ω, apunta en el mismo sentido que la velocidad y la rapidez aumenta. Si tienen signos opuestos, la rapidez disminuye.

La aceleración radial apunta siempre hacia el eje:

El signo de ω no cambia esta dirección porque aparece al cuadrado. La aceleración total es la suma vectorial de dos componentes perpendiculares.

20.9 Aceleración cartesiana en el plano

Con r⃗ = (x,y), ω y α escalares firmados:

Los términos con α son tangenciales y los términos con ω² son radiales. El módulo total puede obtenerse porque ambas contribuciones son perpendiculares:

20.10 Comparar dos puntos

Para dos puntos A y B a distancias ρ_A y ρ_B del mismo eje:

Estas razones son válidas cuando los denominadores no son cero. Si B está al doble de distancia del eje, recorre arcos dobles y tiene el doble de rapidez y de cada componente de aceleración.

20.11 Relación de velocidad entre dos puntos

La rigidez permite escribir directamente:

En un eje fijo podemos usar A = O y v⃗_O = 0, recuperando v⃗_B = ω⃗×r⃗_B/O. La forma relativa también sirve cuando ninguno de los dos puntos está sobre el eje.

El vector r⃗_B/A va desde A hasta B en el instante analizado. Invertirlo sin cambiar el resto de la ecuación invierte incorrectamente el término rotacional.

20.12 Relación de aceleración entre dos puntos

Para dos puntos de un mismo cuerpo rígido:

La expresión no incluye términos de Coriolis porque A y B están fijos dentro del mismo cuerpo: no existe movimiento relativo de B respecto de la base unida al cuerpo.

20.13 Casos particulares

Un punto puede tener velocidad instantánea cero y aceleración distinta de cero cuando el cuerpo inicia o invierte su giro.

20.14 Radianes y cálculo numérico

Las relaciones v = ωρ y a_t = αρ requieren ángulos expresados en radianes. En JavaScript, las funciones trigonométricas también reciben radianes.

Para actualizar una rotación durante un intervalo Δt pequeño:

El orden y método de integración afectan la precisión. En este tema nos concentramos en calcular el estado instantáneo a partir de θ, ω y α conocidos.

20.15 Coordenadas físicas y de pantalla

Las fórmulas usan y positiva hacia arriba. En una pantalla, y suele crecer hacia abajo. Es recomendable mantener los cálculos físicos en coordenadas cartesianas convencionales y convertir solo al dibujar:

Aplicar la inversión vertical dentro de los productos vectoriales cambia signos y puede hacer que una rotación antihoraria aparezca calculada como horaria.

20.16 Actividad interactiva: comparar puntos del cuerpo

Los puntos A y B están fijos en un disco rígido, separados angularmente 100°. Modificá sus distancias al eje, θ, ω y α. Las flechas muestran velocidad y aceleración total; en A también se dibujan las componentes de aceleración.

20.17 Implementación con JavaScript

function cinematicaPuntoEjeFijo({ posicion, omega, alfa }) {
  const { x, y } = posicion;
  const velocidad = {
    x: -omega * y,
    y:  omega * x
  };
  const aceleracionTangencial = {
    x: -alfa * y,
    y:  alfa * x
  };
  const aceleracionRadial = {
    x: -(omega ** 2) * x,
    y: -(omega ** 2) * y
  };

  return {
    velocidad,
    aceleracionTangencial,
    aceleracionRadial,
    aceleracion: {
      x: aceleracionTangencial.x + aceleracionRadial.x,
      y: aceleracionTangencial.y + aceleracionRadial.y
    }
  };
}

const estado = cinematicaPuntoEjeFijo({
  posicion: { x: 1.2, y: 0 },
  omega: 2,
  alfa: 1
});

console.log(estado);

La función acepta la posición instantánea respecto del eje. Mantiene separadas las componentes de aceleración para facilitar su representación y su verificación antes de sumarlas.

20.18 Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: punto en el borde de una rueda

Una rueda de radio 0,40 m gira con ω = 6 rad/s y α = 2 rad/s²:

Ejemplo 2: componentes en un instante

Para r⃗ = (0,2) m, ω = 3 rad/s y α = −1 rad/s²:

Ejemplo 3: comparar puntos

Dos puntos están a 0,25 m y 1,0 m del eje. El segundo posee cuatro veces la rapidez y cuatro veces cada componente de aceleración, cualquiera sea el valor instantáneo común de ω y α.

Ejemplo 4: arranque desde el reposo

Si ω = 0, α = 5 rad/s² y ρ = 0,30 m, entonces v = 0, a_r = 0 y a_t = 1,5 m/s².

20.19 Errores frecuentes y ejercicios

Errores frecuentes

• asignar la misma velocidad lineal a todos los puntos;
• usar la distancia al centro geométrico cuando el eje está en otro lugar;
• olvidar que la distancia relevante es perpendicular al eje;
• hacer que la velocidad apunte radialmente;
• cambiar la dirección radial cuando cambia el signo de ω;
• omitir la componente radial cuando α = 0;
• sumar los módulos a_t + a_r para hallar |a⃗|;
• usar grados en v = ωρ o en funciones trigonométricas;
• mezclar coordenadas físicas y de pantalla.

Ejercicios propuestos

1. Un disco gira a 8 rad/s. Calculá la rapidez de puntos a 0,10 m, 0,25 m y 0,50 m del eje.
2. Para ρ = 0,60 m, ω = −4 rad/s y α = 3 rad/s², calculá los módulos de v⃗, a⃗_r, a⃗_t y a⃗.
3. Calculá v⃗ para r⃗ = (3,4) m y ω = 2 rad/s.
4. Calculá a⃗ para r⃗ = (1, −2) m, ω = 3 rad/s y α = −2 rad/s².
5. Verificá mediante producto escalar que la velocidad del ejercicio 3 es perpendicular a r⃗.
6. Dos puntos tienen rapideces 2 m/s y 5 m/s. Si pertenecen al mismo cuerpo con eje fijo, calculá ρ_B/ρ_A.
7. ¿Puede un punto tener v = 0 y a_t ≠ 0? Indicá las condiciones.
8. Implementá una función que rote una lista de puntos sin modificar sus distancias mutuas.

20.20 Ideas para recordar

• Todos los puntos de un cuerpo rígido con eje fijo comparten θ, ω y α.
• Cada punto describe una circunferencia cuyo radio es su distancia perpendicular al eje.
• v⃗ = ω⃗×r⃗ y su módulo es |ω|ρ.
• a⃗ = α⃗×r⃗ + ω⃗×(ω⃗×r⃗).
• La aceleración tangencial cambia la rapidez; la radial cambia la dirección.
• Las magnitudes lineales crecen proporcionalmente con ρ.
• Las relaciones entre dos puntos se escriben con sus vectores relativos.
• Los cálculos físicos deben mantenerse separados de la conversión a coordenadas de pantalla.

En el próximo tema comenzaremos la dinámica rotacional con el torque de una fuerza, su brazo de palanca, signo y unidad.