Movimiento Circular y Rotaciones - 22. Torque como producto vectorial

22.1 Una definición válida en tres dimensiones

En el tema anterior calculamos el efecto de giro mediante el brazo de palanca y el signo horario o antihorario. Para extender el análisis al espacio usamos la definición vectorial:

τ⃗_O = r⃗_P/O × F⃗

r⃗_P/O va desde el punto de referencia O hasta el punto P donde se aplica F⃗. El orden no es intercambiable y el resultado es un vector perpendicular al plano formado por r⃗ y F⃗.

Módulo

Vale rF|sin φ| y mide la intensidad de la tendencia rotacional.

Dirección

Es perpendicular al plano que contienen r⃗ y F⃗.

Sentido

Se determina mediante la regla de la mano derecha.

22.2 Recordatorio del producto vectorial

Para dos vectores A⃗ y B⃗ que forman un ángulo φ:

|A⃗×B⃗| = AB|sin φ|

El producto es cero si alguno de los vectores es cero o si son paralelos. Su módulo es máximo si son perpendiculares.

A diferencia del producto escalar, el resultado no es un número sino un vector. Además, es anticonmutativo:

A⃗×B⃗ = −B⃗×A⃗

22.3 Regla de la mano derecha

Para hallar el sentido de τ⃗ = r⃗×F⃗:

orientar los dedos de la mano derecha en el sentido de r⃗;
curvarlos hacia F⃗ siguiendo el ángulo menor;
el pulgar extendido señala el sentido de τ⃗.

En el plano xy, un torque antihorario apunta en +z y uno horario en −z. En tres dimensiones no basta decir horario o antihorario sin indicar desde qué extremo del eje se observa.

El vector torque describe un eje orientado. El giro se ve antihorario cuando se observa desde la punta positiva de ese vector hacia el origen.

22.4 Determinante simbólico

Si r⃗ = (r_x, r_y, r_z) y F⃗ = (F_x, F_y, F_z), puede organizarse el cálculo como:

τ⃗ = | î ĵ k̂ ; r_x r_y r_z ; F_x F_y F_z |

Al expandir por la primera fila, el término de ĵ lleva signo negativo. Omitirlo es uno de los errores más frecuentes.

22.5 Fórmulas por componentes

Componente x

τ_x = r_yF_z − r_zF_y

Torque alrededor del eje x.

Componente y

τ_y = r_zF_x − r_xF_z

Torque alrededor del eje y.

Componente z

τ_z = r_xF_y − r_yF_x

Torque alrededor del eje z.

En un problema contenido en el plano xy, r_z = F_z = 0. Entonces τ_x = τ_y = 0 y solo queda τ_z, como vimos en el tema 21.

22.6 Verificación de perpendicularidad

El resultado del producto vectorial debe ser perpendicular a ambos factores:

τ⃗·r⃗ = 0 τ⃗·F⃗ = 0

Estos productos escalares son una excelente comprobación numérica. Debido al redondeo de punto flotante pueden resultar muy pequeños en vez de exactamente cero.

Si uno de ellos es claramente distinto de cero, probablemente se intercambiaron componentes o signos.

22.7 Módulo desde las componentes

Una vez calculadas las tres componentes:

|τ⃗| = √(τ_x² + τ_y² + τ_z²)

El resultado debe coincidir con rF|sin φ|. El ángulo entre r⃗ y F⃗ puede hallarse mediante:

cos φ = (r⃗·F⃗)/(rF)

Esta segunda forma requiere r ≠ 0 y F ≠ 0. Al programarla, conviene limitar el cociente al intervalo [−1,1] antes de usar Math.acos.

22.8 Torque alrededor de un eje específico

τ⃗ expresa la tendencia de giro tridimensional completa. Si el cuerpo está restringido a girar alrededor de un eje cuya dirección unitaria es n̂, interesa la proyección:

τ_eje = τ⃗·n̂ = (r⃗×F⃗)·n̂

Una componente de torque perpendicular al eje restringido puede ser compensada por las fuerzas de los apoyos y no producir aceleración alrededor de ese eje.

Para un eje z fijo, τ_eje = τ_z.

22.9 Componente de la fuerza eficaz para un eje

Al calcular torque alrededor de un eje, solo contribuyen simultáneamente:

la parte de r⃗ perpendicular al eje;
la parte de F⃗ perpendicular al plano radial apropiado;
la componente de r⃗×F⃗ paralela al eje.

Una fuerza paralela al eje puede producir torque alrededor de otro eje, pero no necesariamente alrededor del eje restringido. La proyección τ⃗·n̂ elimina las componentes que no corresponden al giro permitido.

22.10 Propiedades útiles

Propiedades aplicadas al torque.
Propiedad	Expresión	Consecuencia
anticonmutativa	r⃗×F⃗ = −F⃗×r⃗	el orden fija el sentido
distributiva	r⃗×(F⃗₁+F⃗₂) = r⃗×F⃗₁+r⃗×F⃗₂	pueden sumarse fuerzas aplicadas en el mismo punto
lineal con la fuerza	r⃗×(cF⃗) = c(r⃗×F⃗)	duplicar F duplica τ
lineal con la posición	(cr⃗)×F⃗ = c(r⃗×F⃗)	escalar el brazo escala τ
producto consigo mismo	r⃗×r⃗ = 0	una fuerza radial tiene torque nulo

22.11 El punto de referencia y el vector posición

El vector r⃗ no es necesariamente la posición medida desde el origen cartesiano global. Debe comenzar en el punto O respecto del cual se pide el torque:

r⃗_P/O = r⃗_P − r⃗_O

τ⃗_O = (r⃗_P − r⃗_O)×F⃗

Usar directamente r⃗_P solo es correcto cuando O coincide con el origen de coordenadas.

22.12 Cambiar el punto de referencia

Si Q es otro punto y ambas posiciones se expresan en el mismo marco:

τ⃗_Q = τ⃗_O − r⃗_Q/O×F⃗

En general, el torque de una fuerza cambia al cambiar el punto de referencia. Si F⃗ = 0, o si el desplazamiento entre O y Q es paralelo a F⃗, ambos torques coinciden.

22.13 Vector axial

El torque se denomina vector axial o pseudovector. Su dirección representa el eje orientado del giro, no una dirección de desplazamiento lineal como la velocidad o la fuerza.

Bajo rotaciones ordinarias de los ejes se comporta como un vector. La distinción se vuelve relevante al estudiar reflexiones espaciales, porque surge del producto vectorial de dos vectores polares.

Para los cálculos de este curso podemos operar sus componentes con las reglas vectoriales habituales.

22.14 Unidades y precisión numérica

Cada componente del torque se expresa en N·m. No se expresa en joules aunque ambas unidades compartan dimensiones.

Al comprobar perpendicularidad o torque nulo en un programa, no conviene exigir igualdad exacta entre números decimales calculados:

considerar cero si |valor| < ε

La tolerancia ε debe elegirse según la escala de los datos. Una opción relativa usa ε multiplicada por productos de los módulos implicados.

22.15 Actividad interactiva: producto vectorial

Modificá las componentes de r⃗ y F⃗. El laboratorio calcula τ⃗, su módulo, el ángulo y los productos escalares que verifican la perpendicularidad.

Laboratorio de torque tridimensional

Las flechas se normalizan por separado para mostrar sus direcciones en la proyección isométrica.

Vector posición r⃗ (m)

r_x: +2,0 r_y: +1,0 r_z: 0,0

Fuerza F⃗ (N)

F_x: −1,0 F_y: +3,0 F_z: +4,0

ejes proyectadosposición r⃗fuerza F⃗torque τ⃗

Torque τ⃗(+4,00; −8,00; +7,00) N·m

Módulo |τ⃗|11,36 N·m

Ángulo φ84,97°

τ⃗·r⃗0,00

τ⃗·F⃗0,00

El torque es perpendicular a r⃗ y F⃗. Su componente positiva z representa una tendencia antihoraria vista desde +z.

22.16 Implementación con JavaScript

function productoVectorial(a, b) {
  return {
    x: a.y * b.z - a.z * b.y,
    y: a.z * b.x - a.x * b.z,
    z: a.x * b.y - a.y * b.x
  };
}

function productoEscalar(a, b) {
  return a.x * b.x + a.y * b.y + a.z * b.z;
}

function modulo(v) {
  return Math.hypot(v.x, v.y, v.z);
}

function calcularTorque(posicion, fuerza) {
  const torque = productoVectorial(posicion, fuerza);
  return {
    torque,
    modulo: modulo(torque),
    perpendicularAPosicion: productoEscalar(torque, posicion),
    perpendicularAFuerza: productoEscalar(torque, fuerza)
  };
}

console.log(calcularTorque(
  { x: 2, y: 1, z: 0 },
  { x: -1, y: 3, z: 4 }
));

Separar las operaciones vectoriales reduce repeticiones y facilita las pruebas. En proyectos mayores conviene definir una representación coherente para todos los vectores.

22.17 Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: torque tridimensional

Para r⃗ = (2,1,0) m y F⃗ = (−1,3,4) N:

τ⃗ = (1·4 − 0·3, 0·(−1) − 2·4, 2·3 − 1·(−1))

τ⃗ = (4, −8, 7) N·m |τ⃗| = √129 ≈ 11,36 N·m

Ejemplo 2: torque alrededor de z

Si r⃗ = (3,−2,1) m y F⃗ = (4,5,−1) N, no necesitamos todo τ⃗ para conocer el torque alrededor de z:

τ_z = 3·5 − (−2)·4 = 23 N·m

Ejemplo 3: fuerza paralela a la posición

Para F⃗ = 6r⃗, el ángulo es 0° y r⃗×F⃗ = 0. La fuerza no produce torque respecto del origen de r⃗.

Ejemplo 4: proyección sobre un eje

Si τ⃗ = (4,−8,7) N·m y n̂ = (0,0,1), entonces τ_eje = 7 N·m.

22.18 Errores frecuentes y ejercicios

Errores frecuentes

usar F⃗×r⃗ en lugar de r⃗×F⃗;
omitir el signo negativo al expandir la componente y;
usar la posición desde el origen global cuando se pide torque respecto de otro punto;
afirmar que τ⃗ apunta en la dirección de la fuerza;
confundir el módulo del torque con una de sus componentes;
usar solo τ_z en un problema que no es plano;
confundir torque total con torque proyectado sobre un eje;
esperar ceros exactos en comprobaciones numéricas con decimales;
expresar las componentes en joules.

Ejercicios propuestos

Calculá r⃗×F⃗ para r⃗ = (1,0,0) m y F⃗ = (0,5,0) N.
Calculá el torque para r⃗ = (2,−1,3) m y F⃗ = (4,0,−2) N.
Verificá que el resultado anterior sea perpendicular a r⃗ y F⃗.
Calculá solamente τ_z para r⃗ = (−2,4,7) m y F⃗ = (3,1,9) N.
Si τ⃗ = (6,−2,3) N·m, calculá su componente sobre el eje y.
Calculá el torque respecto de O = (1,1,0) si P = (3,2,0) m y F⃗ = (2,5,0) N.
¿Qué ocurre con τ⃗ si se intercambian r⃗ y F⃗?
Implementá una comprobación que compare |r⃗×F⃗| con rF|sin φ|.

Ver soluciones y explicaciones

τ⃗ = (0,0,5) N·m.
τ⃗ = (2,16,4) N·m.
(2,−1,3)·(2,16,4) = 4 − 16 + 12 = 0; (4,0,−2)·(2,16,4) = 8 − 8 = 0.
τ_z = (−2)·1 − 4·3 = −14 N·m.
Con n̂ = ĵ, τ_eje = τ⃗·ĵ = −2 N·m.
r⃗_P/O = (2,1,0) m; τ_z = 2·5 − 1·2 = 8 N·m, así que τ⃗ = (0,0,8) N·m.
El resultado cambia de signo: F⃗×r⃗ = −τ⃗.
Calcular ambos módulos con una tolerancia relativa; obtener φ mediante el producto escalar y limitar su coseno a [−1,1].

22.19 Ideas para recordar

El torque respecto de O es τ⃗_O = r⃗_P/O×F⃗.
Su módulo vale rF|sin φ| y su dirección sigue la regla de la mano derecha.
El producto vectorial no es conmutativo.
τ_x, τ_y y τ_z se obtienen mediante productos cruzados de componentes.
τ⃗ debe ser perpendicular a r⃗ y F⃗.
El torque alrededor de un eje es la proyección τ⃗·n̂.
El vector posición debe comenzar en el punto respecto del cual se calcula el torque.
Las componentes se expresan en N·m.

En el próximo tema sumaremos los aportes de varias fuerzas y estudiaremos el torque resultante y el equilibrio rotacional.

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