23. Torque resultante y equilibrio rotacional alrededor de un eje

23.1 Sumar tendencias de giro

Un cuerpo puede estar sometido a varias fuerzas aplicadas en puntos diferentes. Cada una produce un torque respecto del punto o eje elegido. El efecto rotacional conjunto se obtiene sumando esos torques vectorialmente:

Todos los términos deben calcularse respecto del mismo punto O. En un problema plano con eje z, la suma se reduce a componentes firmadas:

23.2 Convención de signos

Usaremos torque positivo para la tendencia antihoraria y negativo para la horaria, vistos desde +z:

El signo no se asigna según si una fuerza apunta hacia arriba o abajo. Depende simultáneamente del punto de aplicación y de la dirección de la fuerza.

La fórmula τ_z = r_xF_y − r_yF_x incluye automáticamente el signo cuando se usan componentes consistentes.

23.3 Torque resultante nulo

Existe equilibrio rotacional alrededor del eje analizado cuando:

Esto significa que no existe aceleración angular alrededor de ese eje bajo el modelo de cuerpo rígido y eje fijo. El estado de rotación se conserva:

• si el cuerpo estaba en reposo angular, continúa en reposo;
• si ya giraba con velocidad angular constante, continúa girando con esa velocidad mientras se mantenga el equilibrio.

23.4 Equilibrio traslacional y rotacional

Una condición no reemplaza a la otra. Un cuerpo puede tener torque total cero y acelerar linealmente, o fuerza total cero y adquirir aceleración angular.

23.5 Ejemplos que separan las condiciones

23.6 Procedimiento para problemas planos

1. Aislar el cuerpo y dibujar todas las fuerzas externas.
2. Elegir ejes cartesianos y una convención de torque.
3. Seleccionar un punto O conveniente para calcular los torques.
4. Escribir ΣF_x = 0 y ΣF_y = 0 si hay equilibrio traslacional.
5. Calcular cada torque respecto de O con su signo.
6. Escribir Στ_O,z = 0.
7. Resolver las incógnitas y comprobar signos, unidades y restricciones.

Las ecuaciones deben surgir del diagrama de cuerpo libre, no de una lista memorizada de fuerzas típicas.

23.7 Elegir el punto de referencia

En equilibrio mecánico podemos calcular torques respecto de cualquier punto. Una elección inteligente elimina incógnitas: toda fuerza cuya línea de acción pasa por O tiene torque cero respecto de O.

Por ejemplo, al elegir un apoyo como referencia, las componentes desconocidas de su reacción no aparecen en la ecuación de torques. Después pueden obtenerse con las ecuaciones de fuerzas.

23.8 Reacciones en apoyos

Un apoyo restringe el movimiento y ejerce fuerzas de reacción. En un problema plano ideal:

• un apoyo articulado puede ejercer dos componentes de fuerza, pero no un torque de reacción ideal;
• un rodillo ejerce una fuerza normal a la superficie de contacto;
• un empotramiento puede ejercer dos componentes de fuerza y también un momento de reacción.

El modelo del apoyo determina las incógnitas. Inventar o eliminar reacciones sin considerar la restricción cambia el problema físico.

23.9 Peso de un cuerpo extenso

En un campo gravitatorio uniforme, las fuerzas gravitatorias distribuidas pueden reemplazarse por el peso total Mg aplicado en el centro de masa para calcular fuerza y torque externos.

Si la línea vertical que pasa por el CM atraviesa el punto de apoyo, el torque del peso respecto de ese apoyo es cero. Esto no significa que el peso sea cero.

23.10 Par de fuerzas

Un par está formado por dos fuerzas paralelas, de igual módulo y sentidos opuestos, aplicadas sobre líneas diferentes. La fuerza resultante es cero, pero los torques se suman.

d es la distancia perpendicular entre las líneas de acción. El torque de un par no depende del punto de referencia: al cambiar O, los cambios en los torques de ambas fuerzas se cancelan.

Un volante girado con ambas manos es una aproximación cotidiana a un par de fuerzas.

23.11 Fuerzas colineales y fuerzas concurrentes

Fuerzas colineales comparten la misma línea de acción. Su resultante puede calcularse sobre esa línea y no forman un par entre sí.

Fuerzas concurrentes tienen líneas de acción que se cruzan en un punto común. El torque de cada una respecto de ese punto es cero, aunque la fuerza resultante pueda ser distinta de cero.

23.12 Resolver una fuerza desconocida

Una barra horizontal está articulada en O. Una fuerza F₁ hacia abajo actúa a la izquierda a distancia d₁, y F₂ hacia abajo actúa a la derecha a distancia d₂. Con antihorario positivo:

Después, la reacción vertical del apoyo se obtiene de ΣF_y = 0:

23.13 Varias fuerzas en un mismo punto

Gracias a la propiedad distributiva:

Si varias fuerzas se aplican exactamente en el mismo punto, pueden sumarse primero y calcular después el torque de su resultante. Si se aplican en puntos distintos, esa sustitución requiere mayor cuidado porque también debe conservarse el torque total.

23.14 Equilibrio alrededor de un eje fijo

Cuando un cuerpo solo puede girar alrededor de un eje, interesa la componente del torque sobre ese eje:

Las componentes de torque perpendiculares al eje pueden ser compensadas por los apoyos. Para un análisis tridimensional completo de un cuerpo libre, el equilibrio rotacional exige que las tres componentes de Στ⃗ sean cero.

23.15 Equilibrio estable, inestable e indiferente

La condición Στ = 0 describe equilibrio en una configuración, pero no indica qué ocurre ante una pequeña perturbación:

La estabilidad se relacionará más adelante con la energía potencial. Torque cero es necesario en el equilibrio, pero no clasifica por sí solo su estabilidad.

23.16 Actividad interactiva: balanza de torques

Dos fuerzas descendentes actúan a lados opuestos de un apoyo. También podés aplicar un torque externo directo. El laboratorio calcula el torque resultante y la reacción vertical necesaria.

23.17 Implementación con JavaScript

function analizarBarra({ distanciaA, fuerzaA, distanciaB, fuerzaB, momento }) {
  // A está a la izquierda y B a la derecha; ambas fuerzas bajan.
  const torqueA = distanciaA * fuerzaA;
  const torqueB = -distanciaB * fuerzaB;
  const torqueResultante = torqueA + torqueB + momento;
  const reaccionVertical = fuerzaA + fuerzaB;

  return {
    torqueA,
    torqueB,
    torqueResultante,
    reaccionVertical,
    equilibrioRotacional: Math.abs(torqueResultante) < 1e-9,
    fuerzaBParaEquilibrio: distanciaB === 0
      ? null
      : (torqueA + momento) / distanciaB
  };
}

console.log(analizarBarra({
  distanciaA: 2,
  fuerzaA: 30,
  distanciaB: 1.5,
  fuerzaB: 40,
  momento: 0
}));

La función distingue el torque de cada fuerza, el torque externo directo y la reacción necesaria para el equilibrio vertical. null comunica que una fuerza aplicada sobre el eje no puede equilibrar un torque finito.

23.18 Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: subibaja ideal

Una fuerza de 300 N actúa a 2 m a la izquierda. Para equilibrarla con una fuerza a 1,5 m a la derecha:

Ejemplo 2: barra con peso propio

Una barra horizontal uniforme de 4 m pesa 200 N y está articulada en un extremo. Una fuerza vertical ascendente F actúa en el otro extremo:

La reacción vertical del apoyo satisface R + 100 − 200 = 0, de modo que R = 100 N.

Ejemplo 3: par de fuerzas

Dos fuerzas de 50 N, opuestas y separadas 0,30 m, forman un par:

Ejemplo 4: equilibrio rotacional sin equilibrio traslacional

Una fuerza de 20 N actúa a través del CM de un cuerpo libre. Su torque respecto del CM es cero, pero ΣF⃗ = 20 N. El cuerpo puede trasladarse aceleradamente sin adquirir rotación alrededor del CM.

23.19 Errores frecuentes y ejercicios

Errores frecuentes

• sumar módulos de torque sin considerar signos;
• calcular cada torque respecto de un punto diferente;
• afirmar equilibrio estático después de verificar solamente Στ = 0;
• suponer que equilibrio rotacional implica ω = 0;
• eliminar del diagrama una fuerza porque su torque respecto de O es cero;
• olvidar el peso propio de una barra extensa;
• aplicar el peso en un extremo en vez del centro de masa;
• confundir un par de fuerzas con dos fuerzas que se cancelan completamente;
• asignar a un apoyo reacciones incompatibles con su modelo.

Ejercicios propuestos

1. Dos torques sobre un eje valen +18 N·m y −11 N·m. Calculá el torque resultante y su sentido.
2. Una fuerza de 40 N actúa hacia abajo a 2 m a la izquierda de un apoyo. ¿Qué fuerza descendente a 0,80 m a la derecha equilibra la barra?
3. Para el ejercicio anterior, calculá la reacción vertical del apoyo.
4. Una barra uniforme de 6 m y peso 300 N está apoyada en su centro. ¿Qué torque produce su peso respecto del apoyo?
5. Dos fuerzas opuestas de 25 N tienen líneas de acción separadas 0,40 m. Calculá el torque del par.
6. Proporcioná un ejemplo con ΣF⃗ = 0 y Στ⃗ ≠ 0.
7. ¿Puede un cuerpo con Στ = 0 estar girando? Explicá.
8. Una fuerza desconocida F actúa perpendicularmente a 3 m del eje. Además actúan torques +24 N·m y −9 N·m. Hallá F y su sentido para el equilibrio.

23.20 Ideas para recordar

• El torque resultante es la suma de todos los torques respecto del mismo punto.
• En el plano deben sumarse con signos horario y antihorario.
• Equilibrio rotacional significa Στ = 0, no necesariamente ω = 0.
• Equilibrio mecánico requiere simultáneamente ΣF⃗ = 0 y Στ⃗ = 0.
• Elegir el punto de referencia puede eliminar torques de fuerzas desconocidas.
• Una fuerza con torque cero todavía puede ser necesaria en la ecuación de fuerzas.
• Un par tiene fuerza resultante cero y torque resultante distinto de cero.
• Las restricciones del apoyo determinan qué reacciones puede ejercer.

En el próximo tema estudiaremos el momento de inercia, que cuantifica cómo se distribuye la masa respecto del eje de rotación.