24. Momento de inercia y distribución de la masa respecto del eje

24.1 Masa e inercia rotacional

En traslación, la masa mide la inercia: para una misma fuerza resultante, un objeto de mayor masa responde con menor aceleración. En rotación aparece una magnitud análoga llamada momento de inercia.

Sin embargo, el momento de inercia no depende únicamente de la masa total. También depende de la ubicación de cada porción de masa respecto del eje de rotación.

24.2 Una partícula respecto de un eje

Para una partícula de masa m situada a distancia perpendicular ρ de un eje:

Si la partícula está sobre el eje, ρ = 0 y su contribución es cero. Al duplicar ρ, la contribución se multiplica por cuatro; al triplicarla, por nueve.

La distancia ρ no siempre coincide con la distancia a un punto. En tres dimensiones es la longitud del segmento perpendicular entre la partícula y la línea del eje.

24.3 Sistema de partículas

Para un sistema de partículas, las contribuciones se suman:

Todos los términos son no negativos porque contienen una masa positiva y una distancia al cuadrado. El momento de inercia respecto de un eje nunca se obtiene cancelando contribuciones con signos opuestos.

En el tema siguiente aplicaremos esta suma sistemáticamente a masas discretas.

24.4 Cuerpo con distribución continua

Un cuerpo macroscópico puede imaginarse dividido en elementos infinitesimales de masa dm. En el límite, la suma se convierte en integral:

Para evaluar la integral debemos describir cómo se distribuye la masa mediante una densidad:

• densidad lineal λ = dm/dℓ para barras o alambres;
• densidad superficial σ = dm/dA para láminas;
• densidad volumétrica ϱ = dm/dV para cuerpos tridimensionales.

La geometría del cuerpo y la posición del eje determinan la expresión de ρ dentro de la integral.

24.5 Por qué aparece la distancia al cuadrado

En una rotación de eje fijo, una porción de masa a distancia ρ tiene aceleración tangencial a_t = αρ. Para producirla mediante una fuerza tangencial se necesita F_t = mαρ. Esa fuerza genera torque ρF_t:

Aparece un factor ρ porque la aceleración lineal crece con la distancia y otro porque el brazo de palanca también crece con ella. Esto anticipa por qué mρ² mide la contribución inercial rotacional.

24.6 La masa alejada pesa más en la suma

Consideremos dos partículas de igual masa. Una está a distancia ρ y la otra a 2ρ:

La segunda contribuye cuatro veces más. Por eso mover una pequeña cantidad de masa hacia el exterior puede cambiar notablemente I.

24.7 El eje forma parte del dato

No existe “el” momento de inercia de un cuerpo sin especificar un eje. Una barra tiene un valor respecto de un eje que pasa por su centro y otro respecto de un eje que pasa por un extremo.

La orientación del eje también importa. Una lámina rectangular no distribuye la masa de la misma manera respecto de un eje perpendicular a su superficie que respecto de un eje contenido en ella.

24.8 Comparar cuerpos con igual masa y tamaño

Supongamos varios cuerpos con la misma masa M y el mismo radio exterior R, girando alrededor de ejes centrales equivalentes. El cuerpo que concentra más masa cerca del borde suele tener mayor momento de inercia que el que la distribuye cerca del centro.

Las fórmulas exactas de cuerpos simples se estudiarán en el tema 26.

24.9 Unidad y dimensiones

Como I es masa multiplicada por distancia al cuadrado:

No debe expresarse en kg·m ni en N·m. El momento de inercia no es una fuerza ni un torque.

Si las distancias se proporcionan en centímetros, deben convertirse a metros antes de elevarlas al cuadrado. El factor de conversión también queda al cuadrado:

24.10 Propiedades básicas

• Aditividad: el momento de inercia total es la suma de las contribuciones de partes que no se cuentan dos veces.
• No negatividad: I ≥ 0 para masas ordinarias.
• Dependencia del eje: cambiar la posición u orientación del eje cambia las distancias ρ.
• Dependencia lineal con la masa: duplicar todas las masas sin cambiar la geometría duplica I.
• Dependencia cuadrática con la escala: ampliar todas las distancias por un factor s, manteniendo las masas, multiplica I por s².

24.11 Radio de giro

El radio de giro k permite representar toda la distribución como si la masa total M estuviera concentrada a una única distancia k del eje:

k no tiene que coincidir con un radio material ni con la posición de una partícula. Es una medida resumida de cuán alejada se encuentra la masa respecto del eje.

Dos cuerpos con la misma M y el mismo k poseen el mismo I respecto de los ejes considerados, aunque sus formas sean diferentes.

24.12 Momento de inercia y respuesta rotacional

Un momento de inercia grande significa mayor resistencia a cambiar la velocidad angular alrededor del eje especificado. Con el mismo torque resultante, una distribución más extendida adquiere menor aceleración angular.

Esta afirmación se formalizará en el tema 27 mediante la segunda ley de Newton para la rotación. I no es una resistencia causada por rozamiento: es una propiedad inercial de la distribución de masa.

24.13 Redistribuir masa sin cambiar la masa total

Una persona sobre una plataforma giratoria puede acercar o alejar sus brazos del eje sin cambiar su masa total. Al acercarlos, disminuye I; al alejarlos, aumenta.

El efecto no depende de que las masas “pesen más” lejos del eje. Su peso no cambia; lo que cambia es su contribución mρ² a la inercia rotacional respecto del eje.

24.14 Sumar subsistemas

Si un sistema está formado por partes A, B y C, todas evaluadas respecto del mismo eje:

Esto permite modelar objetos compuestos. Es indispensable que cada término use el mismo eje. Sumar valores tabulados respecto de ejes diferentes produce un resultado inconsistente.

24.15 Ejes paralelos y simetría

Los ejes que pasan por el centro de masa suelen simplificar los cálculos. Cuando el eje buscado es paralelo pero está desplazado, el momento de inercia aumenta porque, en promedio, la masa queda más alejada.

En el tema 26 estudiaremos el teorema de ejes paralelos y las fórmulas de cuerpos rígidos simples. Por ahora no se debe trasladar una fórmula tabulada a otro eje sin una justificación.

24.16 Más allá de un único eje

Para la rotación alrededor de un eje fijo basta un escalar I. En un cuerpo tridimensional libre, la respuesta puede depender de la dirección del eje y se describe mediante un tensor de inercia.

Ese tratamiento queda fuera del alcance inmediato del curso. La idea esencial permanece: la distribución espacial de la masa determina la respuesta rotacional.

24.17 Actividad interactiva: redistribución de masa

El sistema contiene cuatro masas interiores a R/3 y cuatro exteriores a R. El control distribuye una fracción de la masa total entre ambos grupos sin cambiar M.

24.18 Implementación con JavaScript

function momentoInercia(masas, eje) {
  return masas.reduce((total, particula) => {
    const dx = particula.x - eje.x;
    const dy = particula.y - eje.y;
    const distanciaCuadrada = dx ** 2 + dy ** 2;
    return total + particula.masa * distanciaCuadrada;
  }, 0);
}

const masas = [
  { masa: 2, x: 1, y: 0 },
  { masa: 3, x: 0, y: 2 },
  { masa: 1, x: -1, y: 0 }
];

const inercia = momentoInercia(masas, { x: 0, y: 0 });
const masaTotal = masas.reduce(
  (total, particula) => total + particula.masa,
  0
);
const radioGiro = Math.sqrt(inercia / masaTotal);

console.log({ inercia, masaTotal, radioGiro });

La función calcula distancias respecto del eje perpendicular al plano que pasa por eje. Para un eje tridimensional arbitrario sería necesario calcular la distancia perpendicular a una línea.

24.19 Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: una partícula

Una masa de 3 kg está a 2 m del eje:

Ejemplo 2: redistribuir una masa

Una masa de 1,5 kg pasa de 0,40 m a 0,80 m del eje:

Al duplicar la distancia, la contribución se cuadruplica.

Ejemplo 3: radio de giro

Un cuerpo de 10 kg tiene I = 22,5 kg·m² respecto de cierto eje:

Ejemplo 4: escalar la geometría

Si todas las distancias de un sistema respecto del eje se multiplican por 3 sin cambiar sus masas, el nuevo momento de inercia es 3²I = 9I.

24.20 Errores frecuentes y ejercicios

Errores frecuentes

• creer que I depende únicamente de la masa total;
• usar la distancia al origen en lugar de la distancia perpendicular al eje;
• olvidar elevar la distancia al cuadrado;
• asignar signos negativos a contribuciones según el lado del eje;
• sumar momentos de inercia calculados respecto de ejes diferentes;
• usar centímetros sin convertirlos antes de elevar al cuadrado;
• confundir momento de inercia con torque o cantidad de movimiento;
• suponer que un cuerpo posee un único valor de I;
• interpretar el radio de giro como una pieza material del cuerpo.

Ejercicios propuestos

1. Calculá I para una partícula de 5 kg situada a 0,30 m del eje.
2. ¿Por qué factor cambia la contribución si la distancia al eje se reduce a la mitad?
3. Dos masas de 2 kg están a 1 m y 3 m del eje. Calculá sus contribuciones y el total.
4. Un sistema tiene M = 8 kg e I = 18 kg·m². Calculá su radio de giro.
5. Si se duplica cada masa sin cambiar la geometría, ¿cómo cambia I?
6. Si todas las longitudes se duplican manteniendo las masas, ¿cómo cambia I?
7. Ordená cualitativamente un aro, un disco y una distribución concentrada en el centro, con la misma M y R.
8. Explicá por qué cambiar el eje puede cambiar I aunque el cuerpo no se deforme.

24.21 Ideas para recordar

• El momento de inercia mide la inercia rotacional respecto de un eje.
• Para partículas discretas, I = Σm_iρ_i².
• Para una distribución continua, I = ∫ρ²dm.
• La distancia ρ es perpendicular al eje y aparece al cuadrado.
• La masa alejada del eje contribuye mucho más que la masa cercana.
• Un mismo cuerpo posee distintos valores de I para ejes distintos.
• La unidad del SI es kg·m².
• El radio de giro cumple I = Mk².

En el próximo tema calcularemos momentos de inercia de conjuntos de masas discretas mediante tablas, coordenadas y programas.