25. Calcular momentos de inercia de masas discretas

25.1 Del concepto al cálculo

En el tema anterior definimos el momento de inercia de un sistema de partículas. Ahora transformaremos esa definición en un procedimiento de cálculo:

Cada partícula aporta su masa multiplicada por el cuadrado de la distancia perpendicular al eje. El resultado describe al sistema completo respecto de ese eje.

25.2 Qué datos se necesitan

Para cada partícula necesitamos su masa y una posición que permita calcular su distancia al eje. El eje debe quedar definido por su ubicación y orientación.

• Si ya conocemos ρ_i, usamos directamente la suma.
• Si conocemos coordenadas, primero deducimos ρ_i.
• Si las masas están en una figura, elegimos un sistema de coordenadas y traducimos la geometría a números.

25.3 Distancia a un eje perpendicular al plano

Si las partículas están en el plano xy y el eje de rotación es paralelo a z, pasando por el punto A = (a, b), entonces:

No hace falta calcular la raíz cuadrada de ρ_i si la fórmula final usa ρ_i². Trabajar directamente con distancias al cuadrado reduce operaciones y errores de redondeo.

25.4 Ejes cartesianos frecuentes

Una coordenada medida a lo largo del eje no modifica la distancia perpendicular y, por lo tanto, no aparece en el momento de inercia respecto de ese eje.

25.5 Una tabla evita omisiones

Tres partículas se encuentran en el plano xy y el eje z pasa por el origen:

Las partículas 1 y 3 tienen coordenadas x de signos opuestos, pero ambas contribuciones son positivas. La posición influye mediante distancias elevadas al cuadrado.

25.6 Las contribuciones no se cancelan

El momento de inercia es un escalar no negativo. Una masa a la izquierda y otra a la derecha del eje suman sus contribuciones:

Esto es diferente del centro de masa, donde las coordenadas conservan sus signos, y del torque, donde el sentido de giro determina un signo.

25.7 Unidades consistentes

Conviene convertir todas las masas a kilogramos y todas las distancias a metros antes de construir la columna mρ².

Convertir 30 cm² como si fueran 0,30 m² es incorrecto: al convertir una longitud elevada al cuadrado, el factor de conversión también se eleva al cuadrado.

25.8 Masas repetidas y simetría

Cuando varias partículas de igual masa están a la misma distancia del eje, sus contribuciones son iguales y pueden agruparse. Para N masas m situadas sobre una circunferencia de radio R:

La distribución angular no cambia I respecto del eje central mientras todas conserven el mismo radio. Sí puede cambiar el centro de masa si la disposición deja de ser simétrica.

25.9 Partículas sobre el eje

Una partícula situada sobre el eje tiene ρ = 0 y no contribuye a I respecto de ese eje:

La partícula sigue teniendo masa y puede afectar la masa total y el centro de masa. Su contribución cero no permite eliminarla de todos los demás cálculos físicos.

25.10 Centro de masa del sistema discreto

En el plano, el centro de masa se obtiene con promedios ponderados:

Con esas coordenadas podemos calcular I respecto del eje paralelo a z que pasa por el centro de masa:

25.11 Comparar dos ejes paralelos

Para un sistema de masa total M, un eje paralelo al eje por el centro de masa y separado una distancia d cumple:

Esta relación, llamada teorema de ejes paralelos, permite comprobar un cálculo directo. Como Md² ≥ 0, entre los ejes paralelos de una orientación dada, el que pasa por el centro de masa posee el menor momento de inercia.

25.12 Comprobación algebraica en el plano

Tomemos el origen O y escribamos x_i = x′_i + x_CM, y_i = y′_i + y_CM. Al desarrollar cuadrados, los términos cruzados desaparecen porque las coordenadas respecto del CM satisfacen:

Queda I_O = I_CM + M(x_CM²+y_CM²). Por lo tanto, d² = x_CM²+y_CM² cuando O es el origen.

25.13 Procedimiento general

1. Identificar todas las partículas y sus masas.
2. Definir el eje con precisión.
3. Unificar las unidades.
4. Calcular ρ_i² para cada partícula.
5. Calcular cada contribución m_iρ_i².
6. Sumar las contribuciones.
7. Escribir la unidad kg·m².
8. Verificar que I ≥ 0 y que las masas más alejadas aporten más en condiciones comparables.

Si también se pide el centro de masa, conviene agregar columnas m_ix_i y m_iy_i a la misma tabla.

25.14 Radio de giro de un conjunto de partículas

Una vez calculados I y la masa total M, el radio de giro es:

k es una media cuadrática de las distancias al eje, ponderada por las masas. Debe quedar entre la menor y la mayor distancia ρ de las partículas con masa positiva.

Este intervalo ofrece una comprobación rápida: un k mayor que todas las distancias utilizadas revela un error de cálculo o de unidades.

25.15 Escalado y controles de plausibilidad

• Si todas las masas se multiplican por c, I se multiplica por c.
• Si todas las distancias al eje se multiplican por s, I se multiplica por s².
• Si una partícula se acerca al eje sin modificar las demás, I disminuye.
• Si se agrega una masa positiva fuera del eje, I aumenta.
• Si se reflejan todas las partículas respecto del eje, I no cambia.

Estas reglas no reemplazan el cálculo, pero permiten detectar resultados incompatibles con la geometría.

25.16 Actividad interactiva: sistema de tres partículas

Modificá las masas y coordenadas. El eje de referencia es perpendicular al plano y pasa por O = (0, 0). El laboratorio calcula el centro de masa, I_O, I_CM y comprueba el teorema de ejes paralelos.

25.17 Implementación con JavaScript

function analizarSistema(particulas, eje = { x: 0, y: 0 }) {
  const masaTotal = particulas.reduce(
    (total, p) => total + p.masa,
    0
  );

  if (masaTotal <= 0) {
    throw new Error("La masa total debe ser positiva");
  }

  const centroMasa = particulas.reduce(
    (cm, p) => ({
      x: cm.x + p.masa * p.x / masaTotal,
      y: cm.y + p.masa * p.y / masaTotal
    }),
    { x: 0, y: 0 }
  );

  const inerciaRespectoDe = punto =>
    particulas.reduce((total, p) => {
      const dx = p.x - punto.x;
      const dy = p.y - punto.y;
      return total + p.masa * (dx ** 2 + dy ** 2);
    }, 0);

  return {
    masaTotal,
    centroMasa,
    inerciaEje: inerciaRespectoDe(eje),
    inerciaCM: inerciaRespectoDe(centroMasa)
  };
}

const sistema = [
  { masa: 2, x: 1, y: 0 },
  { masa: 3, x: 0, y: 2 },
  { masa: 1, x: -1, y: 0 }
];

console.log(analizarSistema(sistema));

La función separa el cálculo geométrico del eje elegido. Esta representación con objetos permite agregar partículas sin modificar el algoritmo.

25.18 Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: dos masas sobre una recta

Dos masas de 2 kg y 3 kg están a 0,50 m y 1,20 m de un eje:

Ejemplo 2: cuatro vértices de un cuadrado

Cuatro masas iguales m ocupan los vértices (±a, ±a), y el eje z pasa por el centro. Para cada masa, ρ² = 2a²:

Ejemplo 3: eje desplazado

Una partícula de 5 kg está en (2, 1) m y el eje perpendicular al plano pasa por A = (−1, 1) m. Como ρ = 3 m:

Ejemplo 4: eje paralelo por el centro de masa

Si M = 6 kg, I_CM = 8 kg·m² y el eje O está a 0,50 m del eje por el CM:

25.19 Errores frecuentes

• usar la distancia a un punto cuando el eje es una línea;
• medir algunas distancias desde un eje y otras desde otro;
• conservar el signo de x o y después de elevar al cuadrado;
• olvidar una coordenada perpendicular al eje;
• incluir la coordenada paralela al eje;
• calcular ρ y volver a elevar x²+y² al cuadrado;
• mezclar gramos con kilogramos o centímetros con metros;
• redondear cada distancia demasiado pronto;
• usar I_O = I_CM − Md² en lugar de la suma;
• confundir el momento de inercia del sistema con el de una sola partícula.

25.20 Ejercicios propuestos

1. Calculá I de masas de 1 kg, 2 kg y 4 kg situadas a 1 m, 2 m y 0,5 m de un eje.
2. Dos masas de 3 kg están en x = ±2 m. Calculá I respecto del eje y.
3. Una partícula de 2 kg está en (3, 4) m. Calculá I respecto del eje z por el origen.
4. Tres masas de 1 kg ocupan (0, 0), (2, 0) y (0, 2) m. Calculá I_O.
5. Para el sistema anterior, hallá el centro de masa.
6. Calculá I_CM del mismo sistema y comprobá el teorema de ejes paralelos.
7. Cuatro masas de 0,5 kg están sobre una circunferencia de radio 0,8 m. Calculá I respecto del eje central.
8. Un sistema tiene M = 10 kg e I = 22,5 kg·m². Calculá k.
9. Explicá por qué dos masas ubicadas en lados opuestos del eje no cancelan sus aportes.

25.21 Ideas para recordar

• El momento de inercia de masas discretas es I = Σm_iρ_i².
• Todas las distancias deben medirse respecto del mismo eje.
• Para el eje z por (a, b), ρ² = (x−a)²+(y−b)².
• Las contribuciones son no negativas y se suman.
• Una tabla ayuda a separar datos, geometría y aportes.
• La coordenada paralela al eje no interviene en ρ.
• El eje paralelo que pasa por el centro de masa minimiza I.
• El teorema de ejes paralelos establece I_O = I_CM+Md².
• El radio de giro cumple k = √(I/M).

En el próximo tema aplicaremos estas ideas a cuerpos rígidos simples y relacionaremos fórmulas tabuladas mediante teoremas de ejes.