26. Momentos de inercia de cuerpos rígidos simples y teorema de ejes paralelos

26.1 De partículas a cuerpos continuos

Un cuerpo rígido puede imaginarse dividido en elementos de masa dm. El momento de inercia respecto de un eje se obtiene sumando sus aportes infinitesimales:

Al resolver esa integral para geometrías y densidades sencillas aparecen fórmulas que podemos reutilizar. No son propiedades universales de una forma: siempre incluyen un eje determinado.

26.2 Cómo leer una fórmula tabulada

Antes de reemplazar valores debemos responder cuatro preguntas:

1. ¿El objeto es delgado, macizo o hueco?
2. ¿La masa está distribuida uniformemente?
3. ¿Por dónde pasa el eje?
4. ¿Qué orientación tiene respecto del cuerpo?

Por ejemplo, I = MR² corresponde a un aro delgado alrededor de su eje central perpendicular al plano. Un disco macizo con el mismo M y R tiene I = MR²/2 respecto del mismo tipo de eje.

26.3 Aro delgado y cascarón cilíndrico

En un aro delgado de radio R, todos los elementos de masa están a la misma distancia del eje central perpendicular al plano:

La misma expresión vale para un cascarón cilíndrico delgado respecto de su eje longitudinal, siempre que el espesor radial pueda despreciarse.

El resultado es grande frente al de un disco de igual M y R porque toda la masa está concentrada en el radio exterior.

26.4 Disco y cilindro macizos

Para un disco uniforme o un cilindro macizo de radio R, respecto del eje de simetría que atraviesa su centro:

El largo del cilindro no aparece porque la distancia perpendicular al eje longitudinal depende solo del radio. La masa distribuida cerca del centro reduce el promedio de ρ² respecto del aro.

26.5 Barra delgada

Para una barra uniforme de longitud L y masa M, el eje perpendicular a la barra que pasa por su centro produce:

Si el eje perpendicular pasa por uno de sus extremos:

La segunda fórmula puede obtenerse integrando de 0 a L o trasladando el eje central una distancia L/2 mediante el teorema de ejes paralelos.

26.6 Placa rectangular delgada

Una placa uniforme de lados a y b, respecto del eje perpendicular a su superficie que pasa por el centro, tiene:

Respecto de un eje central contenido en la placa y paralelo al lado a, solo importa la extensión perpendicular b:

Análogamente, para el eje central paralelo a b resulta I = Ma²/12.

26.7 Esferas uniformes

Para una esfera maciza uniforme de radio R, respecto de cualquier diámetro:

Para un cascarón esférico delgado, con la masa concentrada sobre la superficie:

La simetría esférica hace equivalentes todos los diámetros que pasan por el centro.

26.8 Tabla de cuerpos rígidos simples

En todos los casos M es la masa total del cuerpo. R, L, a y b deben expresarse en metros para obtener I en kg·m².

26.9 Derivación para una barra uniforme

Ubicamos la barra sobre x desde −L/2 hasta L/2. Con densidad lineal λ = M/L, un elemento de longitud dx posee dm = λdx:

La simetría también permite integrar de 0 a L/2 y multiplicar por dos. Los límites deben coincidir con el origen elegido.

26.10 Derivación para un disco uniforme

Descomponemos el disco en aros concéntricos de radio r y espesor dr. Si σ = M/(πR²), cada aro tiene dm = σ·2πrdr:

Usar aros es conveniente porque todos los puntos de cada elemento están a la misma distancia del eje.

26.11 Teorema de ejes paralelos

Si conocemos I_CM respecto de un eje que pasa por el centro de masa, el momento respecto de otro eje paralelo separado una distancia d es:

Los ejes deben ser realmente paralelos. El desplazamiento d se mide perpendicularmente entre sus líneas.

26.12 Barra respecto de un extremo

Partimos de I_CM = ML²/12 y desplazamos el eje perpendicular una distancia d = L/2:

Este ejemplo muestra que el teorema no es una fórmula adicional para memorizar, sino una herramienta para generar nuevos resultados a partir de un eje central conocido.

26.13 Teorema de ejes perpendiculares

Para una lámina plana contenida en xy, con tres ejes que se cruzan en el mismo punto y z perpendicular a la lámina:

Se deduce porque para cada elemento z = 0 y ρ_z² = x²+y². Este teorema no se aplica directamente a un cuerpo tridimensional general.

En un disco, la simetría implica I_x = I_y. Como I_z = MR²/2:

26.14 Diferenciar ambos teoremas

Los teoremas resuelven problemas diferentes. No se puede cambiar simultáneamente posición y orientación con una aplicación indiscriminada de una sola ecuación.

26.15 Cuerpos compuestos

Un objeto construido con partes simples puede analizarse sumando los momentos de inercia de sus componentes respecto del mismo eje final:

Cada d_i es la distancia entre el eje central paralelo de la pieza i y el eje común del conjunto. Si una región representa un hueco, puede tratarse por sustracción: se resta el I que tendría la masa removida con la misma densidad.

26.16 Procedimiento para seleccionar y trasladar fórmulas

1. Dibujar el cuerpo y el eje buscado.
2. Identificar una fórmula tabulada para la geometría y un eje central paralelo.
3. Comprobar la hipótesis de densidad uniforme.
4. Convertir masa y dimensiones a unidades del SI.
5. Calcular I_CM con la fórmula correspondiente.
6. Medir la separación perpendicular d entre ejes.
7. Calcular I = I_CM+Md².
8. Sumar partes si el cuerpo es compuesto.
9. Verificar dimensiones, signo y orden de magnitud.

26.17 Actividad interactiva: trasladar el eje

Elegí un cuerpo uniforme y desplazá un eje paralelo desde su centro de masa. La visualización y los resultados separan la inercia propia de la forma del término debido al desplazamiento.

26.18 Implementación con JavaScript

const formulas = {
  aro: ({ masa, radio }) => masa * radio ** 2,
  disco: ({ masa, radio }) => masa * radio ** 2 / 2,
  barra: ({ masa, longitud }) => masa * longitud ** 2 / 12,
  placa: ({ masa, ladoA, ladoB }) =>
    masa * (ladoA ** 2 + ladoB ** 2) / 12,
  esfera: ({ masa, radio }) => 2 * masa * radio ** 2 / 5
};

function trasladarEje(inerciaCM, masa, distancia) {
  if (masa < 0 || distancia < 0) {
    throw new Error("Masa y distancia deben ser no negativas");
  }
  return inerciaCM + masa * distancia ** 2;
}

const disco = { masa: 4, radio: 1.2 };
const inerciaCM = formulas.disco(disco);
const inerciaDesplazada = trasladarEje(
  inerciaCM,
  disco.masa,
  0.8
);

console.log({ inerciaCM, inerciaDesplazada });

Separar las fórmulas por geometría reduce el riesgo de aplicar un coeficiente incorrecto. El traslado del eje permanece en una función independiente porque sirve para cualquier cuerpo rígido.

26.19 Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: disco alrededor de su eje

Un disco uniforme de 6 kg y radio 0,40 m gira alrededor de su eje central:

Ejemplo 2: barra respecto de un punto interior

Una barra de 3 kg y 2 m gira alrededor de un eje perpendicular situado a 0,30 m de su centro:

Ejemplo 3: placa rectangular

Una placa de 5 kg, 0,80 m por 0,60 m, gira alrededor del eje perpendicular central:

Ejemplo 4: comparar esfera y cascarón

Con la misma M y R, el cociente es (2/3)/(2/5) = 5/3. El cascarón posee mayor I porque distribuye la masa más lejos del centro.

26.20 Errores frecuentes y ejercicios

Errores frecuentes

• elegir una fórmula por la forma sin comprobar el eje;
• usar la fórmula del aro para un disco macizo;
• confundir radio con diámetro;
• aplicar ejes paralelos a ejes que no son paralelos;
• usar I = I_CM−Md² para alejar el eje del CM;
• medir d desde el borde del cuerpo en lugar de entre ejes;
• aplicar el teorema de ejes perpendiculares a un sólido tridimensional general;
• sumar partes evaluadas respecto de ejes diferentes;
• suponer densidad uniforme cuando el problema indica otra distribución;
• omitir el cuadrado de longitudes y distancias.

Ejercicios propuestos

1. Calculá I de un aro de 2 kg y radio 0,50 m respecto de su eje central.
2. Calculá I de un disco con la misma masa y radio. Compará ambos resultados.
3. Una barra uniforme de 4 kg mide 1,5 m. Calculá I respecto de su centro y de un extremo.
4. Una esfera maciza de 10 kg tiene radio 0,20 m. Calculá I respecto de un diámetro.
5. Una placa de 3 kg mide 0,40 m por 0,60 m. Calculá I respecto del eje perpendicular central.
6. El eje de la placa anterior se traslada paralelamente 0,25 m. Calculá el nuevo I.
7. Usá el teorema de ejes perpendiculares para hallar I respecto de un diámetro de un disco.
8. Explicá por qué no puede usarse I = I_CM+Md² para cambiar un eje longitudinal de un cilindro por uno transversal.

26.21 Ideas para recordar

• Una fórmula de I pertenece a una geometría, una distribución de masa y un eje.
• Aro: MR²; disco: MR²/2; esfera maciza: 2MR²/5.
• Barra por el centro: ML²/12; por un extremo: ML²/3.
• Placa rectangular por el eje perpendicular central: M(a²+b²)/12.
• Los cuerpos uniformes se calculan a partir de I = ∫ρ²dm.
• El teorema de ejes paralelos es I = I_CM+Md².
• El teorema de ejes perpendiculares es I_z = I_x+I_y para láminas planas.
• Las partes de un cuerpo compuesto deben referirse al mismo eje final.
• Alejar un eje paralelo del centro de masa aumenta I.

En el próximo tema relacionaremos el torque resultante con el momento de inercia mediante la segunda ley de Newton para la rotación.