27. Segunda ley de Newton para la rotación alrededor de un eje fijo

27.1 La ecuación fundamental

Para un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje fijo y cuyo momento de inercia respecto de ese eje permanece constante:

Στ_eje es la suma algebraica de las componentes de todos los torques externos sobre el eje. I_eje mide la inercia rotacional y α es la aceleración angular.

27.2 Alcance de la forma Στ = Iα

La forma escalar sencilla se aplica cuando:

• el cuerpo se modela como rígido;
• el eje mantiene su posición y orientación;
• el momento de inercia respecto del eje es constante;
• todos los torques se proyectan sobre ese mismo eje;
• se usa una única convención de signos.

27.3 Analogía con la traslación

La analogía ayuda a organizar ideas, pero I depende del eje y de la distribución de masa, mientras que la masa total no depende del sistema de referencia ordinario.

27.4 Convención de signos

En problemas planos suele elegirse antihorario positivo y horario negativo. La ecuación conserva el signo:

• Στ > 0 implica α > 0;
• Στ < 0 implica α < 0;
• Στ = 0 implica α = 0.

El signo de α indica el sentido del cambio de ω, no necesariamente el sentido en que el cuerpo gira en ese instante.

27.5 Acelerar no siempre significa aumentar la rapidez

27.6 Unidades y comprobación dimensional

En el SI, torque e inercia se expresan en N·m y kg·m²:

Como N = kg·m/s², la reducción dimensional produce 1/s². El radián es adimensional, aunque se escribe para distinguir una aceleración angular.

Torque y energía comparten dimensionalmente N·m, pero representan magnitudes diferentes y no deben intercambiarse.

27.7 De una partícula al cuerpo rígido

Una partícula de masa m a distancia ρ del eje tiene aceleración tangencial a_t = αρ. La fuerza tangencial necesaria es F_t = mαρ y su torque vale:

Al sumar todas las partículas de un cuerpo rígido:

Las fuerzas internas aparecen en pares y no modifican el torque externo total bajo las hipótesis del modelo.

27.8 Torque de una fuerza aplicada

Una fuerza F aplicada a distancia r del eje produce una componente de torque:

θ es el ángulo entre el vector posición y la fuerza; d_⊥ es el brazo perpendicular. Solo la componente tangencial F_t = F senθ contribuye:

Una fuerza cuya línea de acción atraviesa el eje tiene torque cero, aunque su módulo sea grande.

27.9 Varias fuerzas y torques aplicados

Cada torque debe calcularse con signo y respecto del eje fijo. Luego se suman:

Un motor puede ejercer un torque positivo mientras el rozamiento y una carga ejercen torques negativos. La aceleración depende del torque resultante, no del torque motor aislado.

27.10 Diagrama de cuerpo libre rotacional

1. Aislar el cuerpo que gira.
2. Dibujar todas las fuerzas externas y los pares aplicados.
3. Marcar el eje y la convención positiva.
4. Calcular el torque de cada fuerza respecto del eje.
5. Obtener I respecto de ese mismo eje.
6. Plantear Στ_eje = I_ejeα.

No deben incluirse fuerzas ejercidas entre partes que pertenecen al mismo sistema elegido.

27.11 Reacciones del eje y del apoyo

Un eje fijo ideal puede ejercer fuerzas de reacción que mantienen el centro del cuerpo en su trayectoria. Si sus líneas de acción pasan por el eje, su torque respecto de ese eje es cero.

Esto permite omitirlas de la ecuación rotacional alrededor del eje, pero no significa que las fuerzas no existan. Pueden ser indispensables en las ecuaciones de traslación o para calcular esfuerzos en el apoyo.

27.12 Equilibrio como caso particular

Si el torque resultante es cero:

El cuerpo conserva su velocidad angular. Puede permanecer en reposo o seguir girando con ω constante. Por eso equilibrio rotacional significa ausencia de aceleración angular, no necesariamente ausencia de movimiento.

27.13 Resolver la aceleración angular

Un disco uniforme de masa M y radio R recibe un torque resultante τ. Como I = MR²/2:

Para el mismo torque y radio, duplicar la masa reduce α a la mitad. Para la misma masa y torque, duplicar el radio reduce α a la cuarta parte.

27.14 Resolver una fuerza desconocida

Si una fuerza tangencial F actúa a radio r y existe un torque resistente τ_r, tomando positivo el sentido de F:

La ecuación muestra que parte de la fuerza vence la resistencia y el resto produce la aceleración angular solicitada.

27.15 Torque constante y cinemática angular

Si I es constante y el torque resultante también, α es constante. Podemos combinar dinámica y cinemática:

Estas ecuaciones no son válidas con α constante si el torque cambia con el ángulo, el tiempo o la velocidad.

27.16 Comparar cuerpos bajo el mismo torque

Un aro y un disco tienen la misma masa M y radio R. Respecto de sus ejes centrales:

El disco adquiere el doble de aceleración angular porque su momento de inercia es la mitad. La diferencia no se debe a rozamiento, sino a la distribución de masa.

27.17 Relaciones con magnitudes lineales

En un punto del cuerpo a distancia r del eje:

El torque resultante determina α y, por lo tanto, la aceleración tangencial. La aceleración centrípeta depende de ω y puede existir incluso cuando α = 0.

La aceleración total de un punto combina componentes tangencial y centrípeta, generalmente perpendiculares.

27.18 Cuando I cambia

La expresión Στ = Iα no describe por sí sola todos los sistemas cuya distribución de masa cambia mientras giran. En esos casos, la relación general involucra el momento angular:

Si L = Iω y tanto I como ω cambian, aparecen dos contribuciones al derivar. Ese análisis se desarrollará al estudiar momento angular. En este tema mantendremos cuerpos rígidos y ejes fijos.

27.19 Actividad interactiva: torque, inercia y respuesta

Elegí el cuerpo y modificá los torques motor y resistente. El laboratorio calcula la aceleración angular y la evolución durante un intervalo en el que ambos torques se mantienen constantes.

27.20 Implementación con JavaScript

function evolucionRotacional({
  momentoInercia,
  torques,
  omegaInicial = 0,
  tiempo
}) {
  if (momentoInercia <= 0) {
    throw new Error("El momento de inercia debe ser positivo");
  }

  const torqueResultante = torques.reduce(
    (total, torque) => total + torque,
    0
  );
  const aceleracionAngular = torqueResultante / momentoInercia;
  const omegaFinal = omegaInicial + aceleracionAngular * tiempo;
  const desplazamiento =
    omegaInicial * tiempo
    + aceleracionAngular * tiempo ** 2 / 2;

  return {
    torqueResultante,
    aceleracionAngular,
    omegaFinal,
    desplazamiento
  };
}

const resultado = evolucionRotacional({
  momentoInercia: 2.88,
  torques: [8, -2],
  omegaInicial: 1,
  tiempo: 3
});

console.log(resultado);

Los torques se almacenan con signo. El cálculo cinemático supone que tanto el torque resultante como el momento de inercia permanecen constantes durante todo el intervalo.

27.21 Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: rueda inicialmente en reposo

Una rueda con I = 3 kg·m² recibe un torque resultante constante de 12 N·m:

Luego de 2 s, ω = 0 + 4·2 = 8 rad/s y Δθ = ½·4·2² = 8 rad.

Ejemplo 2: torque resistente

Un volante con I = 5 kg·m² gira con ω₀ = 10 rad/s. Un freno ejerce −5 N·m:

Ejemplo 3: fuerza tangencial

Una fuerza tangencial de 6 N actúa a 0,40 m del eje sobre un cuerpo con I = 0,80 kg·m²:

Ejemplo 4: torques opuestos

Un motor entrega +18 N·m y la carga −7 N·m a un rotor con I = 2,2 kg·m²:

27.22 Errores frecuentes y ejercicios

Errores frecuentes

• usar un torque individual en lugar del torque resultante;
• sumar módulos sin respetar sentidos de giro;
• calcular I respecto de un eje distinto del usado para los torques;
• confundir el signo de α con el sentido actual de ω;
• usar el radio completo como brazo cuando la fuerza no es perpendicular;
• incluir reacciones que pasan por el eje como si produjeran torque;
• suponer que Στ = 0 obliga a que ω = 0;
• aplicar cinemática de α constante cuando cambia el torque;
• usar masa en lugar de momento de inercia;
• confundir N·m de torque con joules de energía.

Ejercicios propuestos

1. Un cuerpo con I = 4 kg·m² recibe un torque neto de 10 N·m. Calculá α.
2. Un disco de 5 kg y radio 0,40 m recibe 2 N·m. Calculá I y α.
3. Sobre una rueda actúan +12 N·m, −5 N·m y −1 N·m. Si I = 3 kg·m², calculá α.
4. Una fuerza tangencial de 8 N actúa a 0,25 m sobre un cuerpo con I = 0,50 kg·m². Calculá α.
5. El cuerpo anterior parte del reposo. Hallá ω y Δθ luego de 3 s.
6. Un volante gira con ω = +6 rad/s y tiene α = −2 rad/s². ¿Cuándo se detiene?
7. Compará α para un disco y un aro de igual M y R sometidos al mismo torque.
8. Explicá por qué una reacción aplicada en el eje puede afectar la traslación sin aparecer en Στ respecto de ese eje.

27.23 Ideas para recordar

• Para un cuerpo rígido y un eje fijo, Στ_eje = I_ejeα.
• Torque, momento de inercia y aceleración deben referirse al mismo eje.
• El signo de α coincide con el del torque resultante.
• El signo de α no determina por sí solo si aumenta la rapidez angular.
• Una fuerza aporta τ = rF senθ = Fd_⊥.
• Las reacciones cuya línea de acción pasa por el eje tienen torque nulo respecto de él.
• Στ = 0 implica α = 0, pero ω puede ser distinta de cero.
• Con torque e I constantes, α es constante y se aplican las ecuaciones cinemáticas angulares.
• Para el mismo torque, un momento de inercia mayor produce menor aceleración angular.

En el próximo tema estudiaremos el trabajo realizado por un torque y la energía cinética asociada a la rotación.