28. Trabajo realizado por un torque y energía cinética de rotación

28.1 De la dinámica a la energía

En el tema anterior usamos Στ = Iα para conocer cómo cambia la velocidad angular. Existe otra manera de describir el mismo proceso: seguir la energía que los torques transfieren mientras el cuerpo recorre un ángulo.

El enfoque energético suele simplificar problemas en los que interesan los estados inicial y final, pero no el tiempo empleado.

28.2 Trabajo elemental de un torque

Si un cuerpo gira un ángulo infinitesimal dθ alrededor de un eje y la componente del torque sobre ese eje es τ, el trabajo elemental es:

El producto usa magnitudes angulares referidas al mismo eje y una convención de signos común. Al acumular todos los desplazamientos entre θ_i y θ_f:

En esta fórmula, el límite superior representa θ_f. La notación integral permite que el torque cambie con la posición angular.

28.3 Torque constante

Cuando τ no cambia durante el giro puede salir de la integral:

La expresión no contiene el tiempo. Un torque de 6 N·m que acompaña un giro de 4 rad realiza 24 J, tanto si el movimiento tarda un segundo como si tarda diez. La rapidez de la transferencia se estudiará mediante la potencia.

28.4 El signo del trabajo

Elegimos, por ejemplo, el sentido antihorario como positivo. El signo de W surge del producto entre el torque y el desplazamiento angular, no del torque aislado.

Un freno que se opone al movimiento suele realizar trabajo negativo. Sin embargo, el nombre “motor” o “resistente” no sustituye el análisis de signos: si el cuerpo invierte su giro, también puede cambiar el signo instantáneo del trabajo.

28.5 Unidad y análisis dimensional

El radián es adimensional en el Sistema Internacional, por eso el resultado se expresa en joules. Aunque torque y energía comparten la combinación N·m, representan conceptos distintos: el torque es una acción capaz de modificar la rotación; el joule mide una transferencia o una cantidad de energía.

Conviene conservar “N·m” para torques y “J” para trabajos y energías. Esa escritura evita confundir magnitudes físicamente diferentes.

28.6 De una fuerza al trabajo rotacional

Una fuerza tangencial F_t aplicada a distancia r del eje produce τ = rF_t. Cuando el punto de aplicación recorre el arco ds = r dθ:

Así, la fórmula rotacional no es una regla independiente: es la expresión de dW = F·dr adaptada a una rotación alrededor de un eje fijo.

La componente radial de la fuerza no realiza trabajo durante una rotación ideal porque es perpendicular al desplazamiento tangencial instantáneo. Tampoco produce torque respecto del eje.

28.7 Energía cinética de una partícula en rotación

Una partícula de masa m, situada a distancia perpendicular r del eje, tiene rapidez v = ωr. Su energía cinética es:

Como mr² es el momento de inercia de esa partícula respecto del eje, obtenemos la forma rotacional K = ½Iω².

28.8 Energía cinética de un cuerpo rígido

En un cuerpo rígido todos los puntos comparten la misma velocidad angular, aunque sus rapideces lineales sean diferentes. Sumando las energías de sus partículas:

El momento de inercia y la velocidad angular deben corresponder al mismo eje. Para un cuerpo continuo, la suma que define I se reemplaza por la integral ∫r²dm.

28.9 Qué determina la energía de rotación

K_rot depende de la distribución de masa mediante I y del cuadrado de la rapidez angular:

• si I se duplica y ω no cambia, K se duplica;
• si el módulo de ω se duplica e I no cambia, K se cuadruplica;
• ω y −ω producen la misma energía cinética;
• K nunca es negativa, pues I > 0 y ω² ≥ 0.

El signo de ω informa el sentido de giro, pero la energía cinética mide la capacidad asociada al movimiento, no su orientación.

28.10 Analogía entre traslación y rotación

La analogía ayuda a organizar las ecuaciones, pero no permite reemplazar masa por momento de inercia sin considerar el eje y la distribución de masa.

28.11 Teorema trabajo–energía rotacional

Para un cuerpo rígido que rota alrededor de un eje fijo:

Si el trabajo neto es positivo, la energía cinética final es mayor. Si es negativo, disminuye. Si es cero, la rapidez angular final tiene el mismo módulo que la inicial, aunque esta afirmación por sí sola no especifica el sentido.

“Neto” significa que se incluye el trabajo de todos los torques externos relevantes. Usar solo el trabajo del motor cuando también actúan rozamiento o frenos produce un balance incompleto.

28.12 Deducción desde la segunda ley rotacional

Para I constante comenzamos con Στ = Iα. Como α = dω/dt y ω = dθ/dt:

Multiplicamos la segunda ley por dθ e integramos entre los estados inicial y final:

Esta deducción muestra que dinámica y energía no son teorías separadas. El teorema trabajo–energía es una consecuencia integrada de la ecuación de movimiento.

28.13 Varios torques y trabajos individuales

Si actúan varios torques durante el mismo desplazamiento angular, cada uno realiza su propio trabajo:

Por ejemplo, durante un giro positivo de 5 rad, un motor ejerce +12 N·m y un freno −4 N·m:

Los 60 J entregados por el motor no se convierten íntegramente en energía cinética: 20 J salen del sistema por la acción resistente y el aumento neto es 40 J.

28.14 Fuerza constante aplicada a un radio

Si una fuerza F forma un ángulo φ con el radio, su torque tiene módulo rF senφ. Si r, F y φ permanecen constantes durante Δθ:

Solo la componente tangencial F senφ realiza trabajo asociado a la rotación. Una fuerza aplicada directamente sobre el eje o cuya línea de acción lo atraviesa tiene brazo nulo y no aporta trabajo rotacional alrededor de ese eje.

28.15 Torque variable y área bajo la curva

En un gráfico τ en función de θ, el trabajo es el área algebraica entre la curva y el eje horizontal:

• las regiones con τ y dθ del mismo signo suman trabajo positivo;
• las regiones de signo opuesto suman trabajo negativo;
• el resultado total puede ser cero aunque el torque no haya sido nulo.

Si el torque crece linealmente desde τ_i hasta τ_f durante un intervalo Δθ, el área es la de un trapecio:

28.16 Ejemplo de torque dependiente del ángulo

Un resorte torsional ideal ejerce un torque restaurador τ = −κθ, donde κ se mide en N·m/rad y θ se mide desde el equilibrio. El trabajo que realiza al pasar de θ_i a θ_f es:

Este resultado anticipa una energía potencial elástica rotacional U = ½κθ². Si no existen pérdidas, lo que disminuye U puede aumentar K_rot.

28.17 Despejar la rapidez angular final

El teorema permite relacionar estados sin calcular la aceleración ni el tiempo:

La raíz entrega el módulo. El sentido final debe deducirse de la evolución física, los torques y las condiciones del problema. La energía por sí sola no distingue +ω de −ω.

28.18 Trabajo necesario para detener una rotación

Para llevar un cuerpo desde ω_i hasta el reposo:

El trabajo debe ser negativo y su módulo debe igualar toda la energía cinética inicial. Con torque resistente constante de módulo τ_r, la magnitud del ángulo de frenado es:

Un momento de inercia mayor o una rapidez angular inicial mayor requieren más trabajo y, para el mismo torque resistente, una distancia angular de frenado mayor.

28.19 Actividad interactiva: balance de trabajo y energía

Elegí un cuerpo, su estado inicial y dos torques constantes. El laboratorio calcula el movimiento durante el intervalo y comprueba que la suma de los trabajos coincide con ΔK_rot, incluso si el cuerpo se frena o invierte su giro.

28.20 Implementación con JavaScript

function balanceRotacional({
  momentoInercia,
  omegaInicial,
  torques,
  desplazamientoAngular
}) {
  if (momentoInercia <= 0) {
    throw new Error("El momento de inercia debe ser positivo");
  }

  const trabajos = torques.map(
    torque => torque * desplazamientoAngular
  );
  const trabajoNeto = trabajos.reduce(
    (total, trabajo) => total + trabajo,
    0
  );
  const energiaInicial =
    momentoInercia * omegaInicial ** 2 / 2;
  const energiaFinal = energiaInicial + trabajoNeto;

  return {
    trabajos,
    trabajoNeto,
    energiaInicial,
    energiaFinal
  };
}

const resultado = balanceRotacional({
  momentoInercia: 2.88,
  omegaInicial: 1,
  torques: [8, -2],
  desplazamientoAngular: 12.375
});

console.log(resultado);

Los torques y el desplazamiento se guardan con signo. El programa calcula primero cada trabajo y luego verifica el balance energético. Si se pretende obtener |ω_f| desde la energía final, antes debe comprobarse que esta no sea negativa.

28.21 Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: trabajo de un torque constante

Un torque constante de +5 N·m actúa mientras una rueda gira +8 rad:

El torque entrega 40 J a la rueda.

Ejemplo 2: rapidez final de un disco

Un disco tiene I = 2 kg·m², parte con ω_i = 3 rad/s y recibe 16 J de trabajo neto:

Ejemplo 3: motor y rozamiento

Un motor produce +10 N·m y el rozamiento −3 N·m durante un giro de +6 rad:

La energía cinética rotacional aumenta 42 J.

Ejemplo 4: torque que crece con el ángulo

Un torque τ(θ) = 2θ N·m actúa desde θ = 0 hasta θ = 3 rad:

Ejemplo 5: frenado

Un volante con I = 4 kg·m² gira a 6 rad/s. Para detenerlo, el trabajo neto debe ser:

28.22 Errores frecuentes y ejercicios

Errores frecuentes

• usar grados en W = τΔθ sin convertirlos a radianes;
• multiplicar el módulo del torque por el módulo del giro y perder el signo;
• confundir el trabajo de un torque particular con el trabajo neto;
• escribir la energía cinética como ½Iω en lugar de ½Iω²;
• asignar energía cinética negativa cuando ω es negativa;
• usar un momento de inercia calculado respecto de otro eje;
• aplicar W = τΔθ cuando el torque varía, sin integrar ni hallar el área;
• interpretar N·m de torque y J de energía como si fueran la misma magnitud;
• elegir automáticamente el signo de ω_f a partir de una raíz cuadrada;
• sumar trabajo de fuerzas internas al balance de un cuerpo rígido ideal.

Ejercicios propuestos

1. Un torque constante de 7 N·m actúa durante un giro de 5 rad en su mismo sentido. Calculá el trabajo.
2. Un freno ejerce −4 N·m mientras una rueda gira +12 rad. Calculá su trabajo e interpretá el signo.
3. Un disco de I = 0,80 kg·m² gira a 10 rad/s. Calculá su energía cinética.
4. Un aro y un disco tienen la misma masa, radio y ω. Compará sus energías cinéticas.
5. Un rotor con I = 3 kg·m² pasa de 2 rad/s a 6 rad/s. Calculá el trabajo neto.
6. Sobre una rueda actúan +9 N·m y −3 N·m durante Δθ = +4 rad. Calculá los trabajos individuales y el neto.
7. Un torque crece linealmente de 2 N·m a 8 N·m durante 3 rad. Calculá el trabajo mediante el área del trapecio.
8. Un volante con I = 5 kg·m² gira a 4 rad/s. ¿Qué trabajo debe realizar un freno para detenerlo?
9. Una fuerza tangencial de 20 N actúa en el borde de una rueda de radio 0,30 m durante media vuelta. Calculá el trabajo.
10. Explicá por qué conocer K_f no basta para determinar el sentido final de giro.

28.23 Ideas para recordar

• El trabajo elemental de un torque es dW = τdθ.
• Para torque constante, W = τΔθ y el ángulo se expresa en radianes.
• El signo del trabajo depende de los signos del torque y del desplazamiento angular.
• La energía cinética de rotación es K_rot = ½Iω².
• K_rot nunca es negativa y no informa el sentido de giro.
• El momento de inercia y ω deben referirse al mismo eje.
• El trabajo del torque neto cumple W_neto = ΔK_rot.
• Los trabajos de torques motores y resistentes se suman algebraicamente.
• Para torque variable, el trabajo es ∫τ(θ)dθ: el área algebraica en el gráfico τ–θ.
• El enfoque energético relaciona estados sin necesitar el tiempo del proceso.

En el próximo tema estudiaremos la potencia en sistemas rotatorios: la rapidez con la que un torque realiza trabajo y transfiere energía.