29. Potencia en sistemas rotatorios

29.1 La rapidez de transferir energía

En el tema anterior calculamos el trabajo realizado por un torque y el cambio de energía cinética rotacional. Dos motores pueden realizar el mismo trabajo y, sin embargo, necesitar tiempos muy distintos. La potencia permite distinguirlos.

Una máquina potente no necesariamente ejerce el mayor torque. Puede alcanzar una potencia elevada mediante un torque moderado a gran velocidad angular.

29.2 Potencia media

Si durante un intervalo Δt se realiza un trabajo ΔW, la potencia media es:

Por ejemplo, realizar 6000 J en 3 s requiere una potencia media de 2000 W. La misma transferencia en 12 s corresponde a 500 W.

La potencia media describe el intervalo completo, pero no revela si la transferencia fue uniforme o tuvo máximos y mínimos.

29.3 Potencia instantánea

Al hacer cada vez más pequeño el intervalo temporal obtenemos la tasa instantánea de transferencia de energía:

Esta es la potencia en un instante determinado. Si P cambia con el tiempo, el trabajo acumulado entre t_i y t_f se obtiene integrando:

29.4 Deducción de P = τω

Para una rotación alrededor de un eje fijo, el trabajo elemental es dW = τdθ. Dividiendo por dt:

Como dθ/dt = ω:

τ es la componente del torque sobre el eje elegido y ω es la velocidad angular con signo respecto de ese mismo eje. La igualdad es instantánea y sigue siendo válida aunque τ y ω cambien.

29.5 Interpretar el producto

Un torque puede ser distinto de cero y tener potencia instantánea nula si el eje está momentáneamente detenido. Aun así, ese torque puede producir aceleración y hacer que la potencia deje de ser cero inmediatamente después.

29.6 Torque, potencia y aceleración no son lo mismo

En el arranque, un motor puede ejercer torque máximo con ω = 0: la aceleración es distinta de cero, pero la potencia mecánica instantánea es cero. Cuando el rotor gana velocidad, el mismo torque desarrolla más potencia.

29.7 Unidad y análisis dimensional

El watt (W) equivale a un joule por segundo. No debe confundirse el símbolo del trabajo W con la unidad watt W; el contexto y la tipografía de las ecuaciones permiten diferenciarlos.

• 1 kW = 1000 W;
• 1 MW = 10⁶ W;
• 1 hp mecánico ≈ 745,7 W;
• 1 CV ≈ 735,5 W.

29.8 Relación con la potencia de una fuerza

Para una fuerza aplicada a un punto que se mueve con velocidad v, la potencia es P = F·v. En una rotación, la componente tangencial cumple v_t = rω y τ = rF_t:

La potencia rotacional es la misma transferencia física expresada mediante variables angulares. Una componente radial ideal es perpendicular a la velocidad tangencial y aporta potencia nula.

29.9 Potencias individuales y potencia neta

Cada torque realiza trabajo a su propio ritmo. Si varios torques actúan sobre el mismo cuerpo:

Para un motor de +15 N·m, un torque resistente de −5 N·m y ω = +20 rad/s:

El motor entrega 300 W, pero la energía cinética aumenta a razón de 200 J/s. Los otros 100 W se transfieren fuera de la energía mecánica del rotor.

29.10 Potencia neta y energía cinética

Como el trabajo neto cambia la energía cinética:

Para I constante, derivar K_rot = ½Iω² da:

Si la potencia neta es positiva aumenta K; si es negativa disminuye. Esta afirmación es más precisa que decir que un torque positivo siempre acelera, porque el aumento o disminución de la rapidez depende también del signo de ω.

29.11 Torque constante no implica potencia constante

Supongamos un cuerpo inicialmente en reposo sometido a torque neto constante, con I constante. Entonces α = τ/I y ω = αt:

La potencia comienza en cero y crece linealmente mientras aumenta la velocidad. El trabajo acumulado crece como t² y coincide con K = ½Iω².

Por el contrario, mantener potencia constante mientras ω aumenta exige reducir el torque según τ = P/ω.

29.12 Recuperar trabajo a partir de la potencia

Si la potencia es constante durante Δt:

Si varía, debe calcularse el área algebraica bajo el gráfico P–t:

Una región por encima del eje temporal representa energía entregada; una región por debajo representa energía extraída. Una potencia que crece linealmente de P_i a P_f durante Δt realiza el trabajo ½(P_i+P_f)Δt.

29.13 Convertir revoluciones por minuto

Las máquinas rotatorias suelen informar la velocidad en revoluciones por minuto (rpm), pero P = τω requiere rad/s:

Un eje a 1500 rpm gira a 1500·2π/60 = 50π ≈ 157,08 rad/s. Si entrega 20 N·m, su potencia mecánica es aproximadamente 3142 W.

29.14 Curvas torque–velocidad

Un motor real no suele entregar el mismo torque a cualquier velocidad. Su comportamiento se representa mediante una curva τ(ω). La potencia en cada punto se obtiene multiplicando las coordenadas:

En un modelo lineal simple, el torque disminuye desde el torque de arranque τ₀ hasta cero en la velocidad sin carga ω₀:

La potencia de este modelo es cero tanto en el arranque como a velocidad sin carga y alcanza su máximo ideal en ω = ω₀/2, donde τ = τ₀/2.

29.15 Regiones de torque y potencia constantes

Muchos accionamientos controlados trabajan aproximadamente con torque constante hasta una velocidad base. En esa región, P = τω crece con ω. Por encima de la velocidad base pueden operar en una región aproximadamente de potencia constante:

Por eso las fichas técnicas deben leerse como curvas o rangos operativos. El torque máximo, la potencia nominal y la velocidad máxima no necesariamente ocurren en el mismo punto.

29.16 Potencia nominal y potencia máxima

La potencia nominal es la que una máquina puede sostener bajo las condiciones especificadas, generalmente con límites térmicos definidos. La potencia máxima o pico suele estar disponible solo durante un intervalo breve.

También deben distinguirse:

• potencia de entrada, recibida desde una fuente eléctrica, química o mecánica;
• potencia útil de salida, disponible en el eje o en la carga;
• potencia perdida, transformada principalmente en calor, sonido o deformaciones.

Comparar motores solo por el valor máximo impreso puede llevar a una selección incorrecta si el servicio requiere operación continua.

29.17 Rendimiento

Ninguna máquina real convierte toda la potencia de entrada en potencia útil. El rendimiento η se define, para flujos positivos, como:

El rendimiento es adimensional y suele expresarse en porcentaje. Si un motor recibe 5 kW y entrega 4,2 kW en el eje, η = 4,2/5 = 0,84 = 84 % y las pérdidas son 0,8 kW.

29.18 Transmisiones ideales

Engranajes, correas y reductores intercambian torque por velocidad. En una transmisión ideal sin pérdidas se conserva la potencia:

Si la salida gira cinco veces más lento, puede entregar idealmente cinco veces más torque. Una transmisión real tiene η < 1:

Los engranajes no crean energía. El aumento de torque se paga con una disminución de velocidad angular y con pérdidas reales.

29.19 Frenado y regeneración

Cuando el torque de una máquina se opone a ω, su potencia mecánica es negativa: recibe energía desde el sistema giratorio. Un freno por fricción la transforma principalmente en calor. Un generador puede convertir una parte en energía eléctrica recuperable.

En un frenado regenerativo, el rendimiento limita la potencia eléctrica recuperada:

El signo negativo describe la dirección del flujo mecánico; no significa que la cantidad de energía recuperada sea una magnitud negativa.

29.20 Actividad interactiva: mapa torque–velocidad

Modificá el torque y la velocidad del eje. El punto se desplaza entre los cuatro cuadrantes: cuando τ y ω tienen el mismo signo, la máquina entrega potencia mecánica; cuando tienen signos opuestos, absorbe potencia y puede funcionar como generador.

El modelo representa un punto de operación estacionario y pérdidas globales mediante un único rendimiento. No calcula consumo eléctrico en reposo, calentamiento por corriente ni variaciones reales de η con el torque y la velocidad.

29.21 Implementación con JavaScript

function puntoDeOperacion({
  torque,
  rpm,
  rendimiento,
  tiempo
}) {
  if (rendimiento <= 0 || rendimiento > 1) {
    throw new Error("El rendimiento debe estar entre 0 y 1");
  }

  const omega = rpm * 2 * Math.PI / 60;
  const potenciaMecanica = torque * omega;
  const energiaMecanica = potenciaMecanica * tiempo;

  if (potenciaMecanica >= 0) {
    const potenciaEntrada = potenciaMecanica / rendimiento;
    return {
      modo: "motor",
      omega,
      potenciaMecanica,
      potenciaIntercambio: potenciaEntrada,
      perdidas: potenciaEntrada - potenciaMecanica,
      energiaMecanica
    };
  }

  const potenciaRecuperada =
    Math.abs(potenciaMecanica) * rendimiento;
  return {
    modo: "generador",
    omega,
    potenciaMecanica,
    potenciaIntercambio: potenciaRecuperada,
    perdidas: Math.abs(potenciaMecanica) - potenciaRecuperada,
    energiaMecanica
  };
}

console.log(puntoDeOperacion({
  torque: 20,
  rpm: 1500,
  rendimiento: 0.85,
  tiempo: 10
}));

El signo de torque·ω decide el modo mecánico. En modo motor se calcula la potencia de entrada dividiendo por η; en modo generador se multiplica la potencia absorbida por η para estimar la potencia recuperable.

29.22 Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: potencia de un eje

Un eje entrega 12 N·m a 40 rad/s:

Ejemplo 2: velocidad expresada en rpm

Un motor entrega 30 N·m a 1200 rpm:

Ejemplo 3: potencia resistente

Un freno ejerce −8 N·m sobre un volante que gira con ω = +25 rad/s:

El freno extrae energía mecánica a razón de 200 J cada segundo.

Ejemplo 4: rendimiento de un motor

Un motor entrega 6 kW con rendimiento del 80 %:

Ejemplo 5: reductor ideal

Un reductor recibe 10 N·m a 100 rad/s y entrega una velocidad de 20 rad/s. Sin pérdidas:

29.23 Errores frecuentes y ejercicios

Errores frecuentes

• usar rpm directamente en P = τω sin convertir a rad/s;
• confundir torque elevado con potencia elevada;
• ignorar el signo de τ o de ω;
• afirmar que P = 0 implica necesariamente τ = 0;
• usar el torque de una fuerza en lugar del torque referido al eje correcto;
• sumar módulos de potencias motoras y resistentes;
• usar W = PΔt aunque la potencia no sea constante;
• multiplicar por el rendimiento cuando se busca la entrada de un motor;
• suponer que una transmisión aumenta simultáneamente torque y velocidad;
• confundir potencia nominal sostenida con potencia máxima momentánea.

Ejercicios propuestos

1. Un torque de 15 N·m actúa sobre un eje que gira a 30 rad/s. Calculá la potencia.
2. Un freno produce −6 N·m cuando ω = +50 rad/s. Calculá e interpretá la potencia.
3. Un motor realiza 18 kJ de trabajo en 6 s. Calculá su potencia media.
4. Convertí 900 rpm a rad/s.
5. Una máquina entrega 25 N·m a 1800 rpm. Calculá la potencia en kW.
6. Actúan torques de +20 N·m y −7 N·m con ω = +12 rad/s. Calculá las potencias individuales y la neta.
7. Un motor entrega 8 kW con η = 0,80. Hallá la potencia de entrada y las pérdidas.
8. Un generador absorbe 5 kW mecánicos y tiene η = 0,88. ¿Qué potencia eléctrica entrega?
9. Un reductor ideal recibe 4 N·m a 300 rad/s y entrega a 60 rad/s. Calculá el torque de salida.
10. Explicá por qué un motor detenido puede ejercer torque y tener potencia mecánica instantánea nula.

29.24 Ideas para recordar

• La potencia media es P_media = ΔW/Δt.
• La potencia instantánea es P = dW/dt.
• En un eje fijo, la potencia de un torque es P = τω.
• P > 0 entrega energía mecánica; P < 0 la extrae.
• Torque distinto de cero no garantiza potencia distinta de cero: también se necesita ω ≠ 0.
• La potencia neta satisface P_neta = dK_rot/dt.
• Para usar rpm, se convierte mediante ω = rpm·2π/60.
• El trabajo es el área algebraica bajo el gráfico P–t.
• El rendimiento relaciona potencia útil y potencia de entrada.
• Una transmisión intercambia torque por velocidad; no crea potencia.

En el próximo tema comenzaremos el estudio del momento angular de una partícula respecto de un punto, una magnitud central para describir y conservar el estado rotacional.