3. Desplazamiento angular y longitud de arco

3.1 Del giro al camino recorrido

En el tema anterior medimos ángulos en radianes y definimos el desplazamiento angular. Ahora relacionaremos ese cambio con la distancia que recorre un punto sobre una circunferencia.

Imaginemos dos marcas sobre un disco: una cerca del eje y otra junto al borde. Cuando el disco gira, ambas comparten el mismo desplazamiento angular. Sin embargo, la marca exterior recorre un arco más largo porque su trayectoria posee mayor radio.

3.2 Qué es una longitud de arco

Un arco es una porción de circunferencia comprendida entre dos posiciones. Su longitud, que simbolizaremos con s, se mide siguiendo la curva y no mediante la línea recta que une sus extremos.

Esa línea recta es la cuerda. Salvo en el caso de un giro nulo, cuerda y arco no tienen la misma longitud. La longitud de arco representa el camino recorrido cuando el punto permanece sobre la circunferencia.

Para determinar s necesitamos conocer el radio r y el tamaño del ángulo central. La unidad angular debe ser el radián para usar la relación directa que desarrollaremos.

3.3 Deducción de la relación fundamental

La definición del ángulo en radianes es θ = s/r. Al multiplicar ambos lados por r obtenemos:

Esta fórmula no es una coincidencia ni una regla aislada: es la propia definición del radián reorganizada. Si usamos un desplazamiento angular Δθ, la distancia recorrida sobre la circunferencia es:

El valor absoluto aparece porque una longitud recorrida no es negativa. Si queremos conservar el sentido mediante una coordenada curvilínea, podemos escribir Δs = r·Δθ, donde el signo de Δs depende de la convención elegida.

3.4 Tres magnitudes relacionadas

Si mantenemos el ángulo:

• al duplicar el radio, se duplica el arco;
• al triplicar el radio, se triplica el arco.

Si mantenemos el radio:

• al duplicar el módulo del desplazamiento angular, se duplica la distancia;
• al cambiar únicamente el sentido, la distancia permanece igual y cambia el signo del desplazamiento curvilíneo.

3.5 Unidades y análisis dimensional

En el Sistema Internacional, r se expresa en metros, Δθ en radianes y s en metros. Como el radián es adimensional:

Es habitual conservar “rad” durante los cálculos para recordar que el valor es angular. Si el ángulo está en grados, primero debemos convertirlo:

Usar directamente 90 en s = rθ produciría un resultado incorrecto si 90 representa grados.

3.6 Longitud, desplazamiento con signo y posición final

Después de una vuelta completa, la longitud recorrida es 2πr, pero el vector desplazamiento entre los extremos es cero porque el punto regresa a la posición inicial. El desplazamiento angular acumulado, en cambio, vale ±2π rad según el sentido.

3.7 Puntos a diferentes radios

En un cuerpo rígido que rota, todos los puntos completan el mismo ángulo durante el mismo intervalo. Para dos puntos situados a radios r₁ y r₂:

Si una marca está a 10 cm del eje y otra a 30 cm, la segunda recorre tres veces más distancia para el mismo giro. Los puntos sobre el eje tienen r = 0 y no recorren arco, aunque pertenecen al cuerpo que cambia de orientación.

3.8 Vueltas completas y fracciones de vuelta

Para N vueltas, el módulo del desplazamiento angular es |Δθ| = 2πN. Por tanto:

Esta expresión dice que la distancia es el número de vueltas multiplicado por la longitud de una circunferencia. También sirve para fracciones: media vuelta corresponde a N = 1/2 y produce s = πr; un cuarto de vuelta produce s = πr/2.

3.9 Despejar la magnitud desconocida

La misma relación permite resolver tres clases de problemas, siempre que el ángulo esté en radianes:

Antes de despejar conviene identificar qué representa cada dato. Si buscamos el radio, un desplazamiento angular nulo no permite dividir: ningún recorrido informa el tamaño de una circunferencia cuando no hubo giro.

3.10 Posiciones inicial y final

Cuando conocemos θ_i y θ_f, primero calculamos Δθ = θ_f − θ_i y luego relacionamos ese cambio con el arco. Debemos conservar el historial de vueltas.

Por ejemplo, pasar de θ_i = π/6 a θ_f = 13π/6 representa Δθ = 2π rad si el valor final es acumulado: una vuelta completa. Si normalizáramos ambas orientaciones antes de restar, obtendríamos cero y perderíamos el camino recorrido.

3.11 Actividad interactiva: radio, giro y arco

Modificá el radio y el desplazamiento angular. El dibujo adapta el tamaño de la circunferencia para comparar visualmente los casos.

Duplicá primero el radio sin cambiar el ángulo. Luego conservá el radio y duplicá el ángulo. En ambos experimentos se duplica la longitud recorrida.

3.12 Calcular arcos con JavaScript

function gradosARadianes(grados) {
  return grados * Math.PI / 180;
}

function calcularArco(radioM, desplazamientoRad) {
  if (radioM < 0) {
    throw new RangeError("El radio no puede ser negativo");
  }

  return {
    longitudM: radioM * Math.abs(desplazamientoRad),
    desplazamientoM: radioM * desplazamientoRad
  };
}

const giroRad = gradosARadianes(-120);
console.log(calcularArco(1.5, giroRad));
// longitudM: 3.14159...
// desplazamientoM: -3.14159...

La función distingue la distancia no negativa del desplazamiento con signo. También valida que el radio sea físicamente aceptable. Los nombres incluyen unidades para evitar mezclar metros, centímetros, grados y radianes.

3.13 Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: cuarto de vuelta

Un punto está a 0,8 m del eje y gira π/2 rad:

Ejemplo 2: ángulo expresado en grados

Una rueda de radio 0,3 m gira 150°. Primero convertimos: 150° = 5π/6 rad.

Ejemplo 3: hallar el radio

Un punto recorre 6 m durante un giro de 2,5 rad:

Ejemplo 4: comparar dos puntos

Para Δθ = −π rad, dos marcas a 0,2 m y 0,5 m recorren 0,2π m y 0,5π m. La segunda recorre 2,5 veces más. Sus desplazamientos curvilíneos son negativos, pero sus longitudes son positivas.

3.14 Errores frecuentes

• Usar grados directamente en s = rθ: esta relación requiere radianes.
• Confundir arco con cuerda: el arco sigue la circunferencia; la cuerda une los extremos en línea recta.
• Dar una longitud negativa: el signo pertenece al desplazamiento orientado, no a la distancia total.
• Usar el diámetro como radio: el radio es la mitad del diámetro.
• Creer que todos los puntos recorren lo mismo: para igual giro, s es proporcional a r.
• Normalizar antes de calcular el recorrido: así pueden perderse vueltas completas.
• Mezclar unidades de longitud: radio y arco deben expresarse en unidades compatibles.
• Confundir desplazamiento angular con posición angular: el primero es el cambio entre dos estados.

3.15 Ejercicios propuestos

1. Calculá el arco recorrido por un punto a 2 m del centro durante un giro de π/3 rad.
2. Una rueda de radio 0,4 m gira 225°. Calculá la distancia recorrida por una marca del borde.
3. Un punto recorre 3 m sobre una circunferencia de radio 1,2 m. Hallá el desplazamiento angular en radianes.
4. Durante media vuelta, dos puntos están a 5 cm y 20 cm del eje. Compará sus recorridos.
5. Una marca completa 3,5 vueltas en una rueda de radio 0,25 m. ¿Qué distancia recorre?
6. Explicá por qué una vuelta produce desplazamiento vectorial cero pero longitud recorrida 2πr.
7. Desde θ_i = π/4 se llega a θ_f = 9π/4. Calculá Δθ y s para r = 0,6 m.
8. Usá la función JavaScript para r = 1,5 m y Δθ = −120°. Interpretá ambos resultados.

3.16 Ideas para recordar

• La relación fundamental es s = r|Δθ| cuando buscamos la longitud recorrida.
• El ángulo debe expresarse en radianes.
• Para igual giro, el arco es directamente proporcional al radio.
• Todos los puntos de un cuerpo rígido comparten el desplazamiento angular, pero no el recorrido lineal.
• La longitud recorrida, el desplazamiento con signo y el vector entre extremos son magnitudes diferentes.
• Las orientaciones equivalentes no conservan necesariamente el número de vueltas.
• Para N vueltas, la distancia recorrida es s = 2πrN.

En el próximo tema estudiaremos cómo expresar la repetición de los giros mediante el período y la frecuencia.