30. Momento angular de una partícula respecto de un punto

30.1 Una nueva descripción del movimiento

La cantidad de movimiento lineal p = mv describe el movimiento de una partícula sin privilegiar ningún lugar. Para estudiar su efecto rotacional necesitamos además indicar respecto de qué punto observamos ese movimiento.

Una partícula no necesita recorrer una circunferencia para tener momento angular. Incluso un movimiento rectilíneo puede poseerlo respecto de un punto situado fuera de su trayectoria.

30.2 Definición vectorial

El momento angular de una partícula respecto del punto O se define como:

r es la posición medida desde O, no necesariamente desde el origen de un sistema de coordenadas global. Por eso el subíndice O forma parte esencial de la definición.

30.3 Módulo del momento angular

El módulo de un producto vectorial es el producto de los módulos por el seno del ángulo φ entre ellos:

Solo la componente de p perpendicular a r contribuye:

Si la partícula se mueve radialmente hacia O o alejándose de O, φ vale 0 o π y el momento angular respecto de O es nulo.

30.4 Dirección y regla de la mano derecha

L es perpendicular al plano formado por r y p. Su sentido se determina curvando los dedos de la mano derecha desde r hacia p por el giro menor:

30.5 Cálculo por componentes en tres dimensiones

Sean r = (x, y, z) y p = (p_x, p_y, p_z). El producto vectorial puede organizarse mediante un determinante:

El orden importa: p × r = −L. Intercambiar los vectores invierte el sentido.

30.6 Caso plano: una fórmula escalar con signo

Si la partícula se mueve en el plano xy, entonces z = v_z = 0 y L solo tiene componente z:

Aquí x e y son las componentes de la posición relativa a O. El signo de L_z contiene la dirección: positivo sale del plano y negativo entra en él.

Esta forma es especialmente útil en programas y simulaciones bidimensionales, porque evita construir explícitamente vectores tridimensionales.

30.7 Distancia perpendicular a la trayectoria

La recta instantánea definida por la velocidad pasa a una distancia perpendicular b del punto O. Como r senφ = b:

b desempeña para la cantidad de movimiento un papel análogo al brazo de palanca de una fuerza. No es necesariamente la distancia actual r entre O y la partícula, sino la menor distancia desde O hasta la línea de movimiento.

30.8 Unidad y dimensiones

El momento angular no se mide en joules ni en N·m. Aunque contiene una longitud al cuadrado, representa una cantidad de movimiento angular, no energía ni torque.

Su dimensión es M L² T⁻¹. El torque tiene dimensión M L² T⁻², consistente con la relación torque = cambio de momento angular por unidad de tiempo.

30.9 Dependencia del punto de referencia

La misma partícula puede tener distintos momentos angulares respecto de distintos puntos:

R es la posición global de la partícula y O la posición global del punto elegido. Si O está sobre la línea de movimiento, L_O = 0. Al desplazar O fuera de esa línea, el módulo aumenta proporcionalmente a la distancia perpendicular.

30.10 Movimiento circular alrededor de O

En un movimiento circular centrado en O, r es perpendicular a la velocidad. Entonces senφ = 1 y v = r|ω|:

Con signo o en forma vectorial, cuando el movimiento ocurre en un plano perpendicular al eje:

Para una única partícula, I_O = mr², de modo que L_O = I_Oω. En el tema siguiente se extenderá esta idea a cuerpos rígidos.

30.11 Momento angular y velocidad areolar

Durante un intervalo infinitesimal, el vector posición barre un área dA aproximadamente triangular:

Por lo tanto:

El momento angular mide también la rapidez con que la línea desde O hasta la partícula barre área, multiplicada por 2m. Esta interpretación será útil al estudiar fuerzas centrales y conservación.

30.12 Relación entre torque y momento angular

El torque neto externo respecto del mismo punto O determina la variación temporal de L_O:

Esta es la forma angular de la segunda ley de Newton para una partícula. Torque y momento angular deben calcularse respecto del mismo punto; mezclar referencias invalida la ecuación.

30.13 Deducción para un punto fijo

Partimos de L_O = r × p y derivamos:

Como dr/dt = v, p = mv y dos vectores paralelos tienen producto vectorial nulo:

Usando dp/dt = ΣF queda:

La deducción supone que O está fijo en un sistema de referencia inercial. Un punto móvil requiere analizar términos adicionales.

30.14 Fuerzas radiales y tangenciales

Una fuerza radial cuya línea de acción pasa por O tiene torque nulo respecto de O, por lo que no cambia L_O. Puede cambiar la dirección de la velocidad sin cambiar el momento angular.

Una fuerza tangencial sí produce torque:

En movimiento circular, una fuerza centrípeta pura mantiene constante el módulo de la velocidad y también el momento angular respecto del centro.

30.15 Torque nulo y constancia de L

Si el torque externo neto respecto de O es cero durante un intervalo:

Esto no exige que la partícula esté quieta ni que L sea cero. Significa que el vector conserva módulo, dirección y sentido. Las condiciones y aplicaciones de esta conservación se estudiarán con mayor profundidad en temas posteriores.

30.16 Partícula libre en movimiento rectilíneo

Una partícula libre tiene p constante y recorre una línea recta. Respecto de un punto O fuera de esa línea:

Aunque r cambia, la distancia perpendicular b desde O hasta la trayectoria permanece fija. El cambio de la componente de r paralela a p no afecta el producto vectorial.

Este caso demuestra por qué “tener momento angular” no equivale a “estar girando en círculo”. Es una propiedad relacional entre el movimiento y el punto de referencia.

30.17 Cuándo cambia el signo en el plano

L_z cambia de signo cuando la orientación de r hacia p pasa de antihoraria a horaria o viceversa. Para una partícula con velocidad continua, esto ocurre al cruzar una línea de movimiento que pasa por O, donde momentáneamente L_z = 0.

En un movimiento rectilíneo que no atraviesa O, el signo permanece constante: la partícula pasa siempre por el mismo lado del punto de referencia.

30.18 Comparar cantidad de movimiento y momento angular

30.19 Elegir estratégicamente el punto O

La elección de O no cambia el movimiento real, pero puede simplificar mucho el análisis. Son elecciones frecuentes:

• el centro de una trayectoria circular;
• un punto por el que pasan fuerzas desconocidas, anulando sus torques;
• el origen indicado explícitamente en el problema;
• un punto fijo respecto del sistema inercial para aplicar directamente Στ_O = dL_O/dt.

Una vez elegido, todas las posiciones, brazos y torques del cálculo deben referirse coherentemente al mismo punto.

30.20 Actividad interactiva: posición, trayectoria y L

Modificá la masa, la posición, la velocidad y el punto O. El laboratorio calcula L_O,z de dos formas equivalentes y dibuja la distancia perpendicular desde O hasta la línea instantánea de movimiento.

30.21 Implementación con JavaScript

function momentoAngularPlano({
  masa,
  posicion,
  velocidad,
  referencia = { x: 0, y: 0 }
}) {
  if (masa <= 0) {
    throw new Error("La masa debe ser positiva");
  }

  const rx = posicion.x - referencia.x;
  const ry = posicion.y - referencia.y;
  const px = masa * velocidad.x;
  const py = masa * velocidad.y;
  const lz = rx * py - ry * px;
  const rapidez = Math.hypot(velocidad.x, velocidad.y);
  const distanciaPerpendicular = rapidez === 0
    ? 0
    : Math.abs(rx * velocidad.y - ry * velocidad.x)
      / rapidez;

  return {
    posicionRelativa: { x: rx, y: ry },
    momentoLineal: { x: px, y: py },
    momentoAngularZ: lz,
    distanciaPerpendicular
  };
}

console.log(momentoAngularPlano({
  masa: 2,
  posicion: { x: 3, y: 2 },
  velocidad: { x: -1, y: 2 }
}));

La resta inicial hace explícito que r se mide desde la referencia. Math.hypot calcula módulos sin expandir manualmente las sumas de cuadrados. Cuando la rapidez es cero, L y la distancia asociada a una línea de movimiento se informan como cero en este modelo.

30.22 Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: vectores perpendiculares

Una partícula de 3 kg está a 2 m de O y se mueve perpendicularmente a r con rapidez 4 m/s:

Ejemplo 2: cálculo por componentes

m = 2 kg, r = (3, 1) m y v = (2, 4) m/s:

El signo positivo indica que L sale del plano.

Ejemplo 3: movimiento radial

Si r = (2, 4) m y v = (1, 2) m/s, los vectores son paralelos:

Ejemplo 4: trayectoria rectilínea

Una partícula de 0,5 kg viaja a 8 m/s por una recta que pasa a 3 m de O:

Ejemplo 5: órbita circular

Una partícula de 4 kg describe una circunferencia de radio 0,5 m con ω = −6 rad/s:

30.23 Errores frecuentes y ejercicios

Errores frecuentes

• calcular L sin indicar el punto de referencia;
• usar la posición global en lugar de la posición relativa a O;
• reemplazar el producto vectorial por el producto de módulos sin senφ;
• usar r como brazo perpendicular aunque la velocidad no sea tangencial;
• intercambiar r × p por p × r;
• perder el signo de L_z en problemas planos;
• creer que una trayectoria rectilínea siempre tiene L = 0;
• confundir kg·m²/s con las unidades de torque o energía;
• usar τ y L calculados respecto de puntos diferentes;
• suponer que L = mr²ω sirve para cualquier trayectoria y cualquier origen.

Ejercicios propuestos

1. Una partícula de 2 kg está a 3 m de O y se mueve perpendicularmente a r con 5 m/s. Calculá L.
2. Calculá L_z para m = 4 kg, r = (2, −1) m y v = (3, 2) m/s.
3. Una partícula de 1,5 kg se mueve a 6 m/s por una recta situada a 2 m de O. Hallá el módulo de L.
4. ¿Qué valor tiene L si la velocidad apunta directamente hacia O?
5. Una masa de 0,8 kg gira en una circunferencia de radio 0,4 m con ω = 10 rad/s. Calculá L.
6. Para m = 2 kg, R = (4, 3) m, O = (1, 1) m y v = (−2, 5) m/s, hallá L_O,z.
7. Una fuerza neta es radial respecto de O. ¿Cómo cambia L_O?
8. Una partícula tiene r = (1, 2, 0) m y p = (3, 0, 4) kg·m/s. Calculá L.
9. Explicá por qué una partícula libre puede conservar un L distinto de cero respecto de O.
10. ¿Qué ocurre con L_O si O se elige sobre la línea instantánea de movimiento?

30.24 Ideas para recordar

• El momento angular de una partícula es L_O = r × p.
• Siempre debe especificarse el punto O respecto del cual se calcula.
• Su módulo es L = mrv senφ = mvb.
• En el plano xy, L_z = m(xv_y − yv_x).
• La regla de la mano derecha determina la dirección de L.
• Una partícula en movimiento rectilíneo puede tener momento angular no nulo.
• El movimiento radial respecto de O tiene L_O = 0.
• Para movimiento circular centrado en O, L = mr²ω.
• Torque y momento angular se relacionan mediante Στ_O = dL_O/dt.
• Si el torque neto respecto de O es cero, L_O permanece constante.

En el próximo tema extenderemos el concepto al momento angular de un cuerpo rígido alrededor de un eje fijo.