31. Momento angular de un cuerpo rígido alrededor de un eje fijo

31.1 De una partícula a un cuerpo rígido

Un cuerpo rígido puede imaginarse dividido en muchas partículas pequeñas cuyas distancias mutuas permanecen constantes. Si gira alrededor de un eje fijo, todas comparten la misma velocidad angular ω, pero sus velocidades lineales son diferentes: una partícula más alejada del eje recorre una circunferencia mayor en el mismo tiempo.

El momento angular total se obtiene sumando vectorialmente los aportes de todas las partículas. Para describir el giro alrededor del eje nos interesa especialmente la componente de esa suma paralela al eje.

31.2 Sistema y eje de referencia

Consideremos un cuerpo que gira alrededor de un eje z fijo en un sistema de referencia inercial. Para cada partícula i llamaremos r_i⊥ a su distancia perpendicular al eje. Esta distancia no debe confundirse con la distancia al origen: lo importante es el segmento más corto entre la partícula y la línea que forma el eje.

31.3 Aporte de una partícula a lo largo del eje

La partícula i tiene cantidad de movimiento p_i = m_iv_i y momento angular L_i = r_i × p_i. En una rotación alrededor de z, su rapidez tangencial es:

La componente del momento angular paralela al eje resulta:

El signo de ω incorpora el sentido de giro. Si el giro positivo se define mediante la regla de la mano derecha, L_i,z tiene ese mismo signo.

31.4 Suma de los aportes

La componente axial total es la suma de las componentes de todas las partículas:

Como ω es común a todo el cuerpo rígido, puede extraerse de la suma:

La expresión entre paréntesis es precisamente el momento de inercia respecto del eje z.

31.5 Relación fundamental: L = Iω

Definiendo I_z = Σm_ir_i⊥², obtenemos:

Esta igualdad escalar expresa la componente del momento angular a lo largo de un eje fijo. Para un cuerpo continuo, la suma se reemplaza por una integral:

La fórmula muestra dos maneras de aumentar |L_z|: elevar la rapidez de giro o distribuir más masa lejos del eje.

31.6 Interpretación física

El momento angular describe el estado de movimiento rotacional. A igualdad de ω, un cuerpo con mayor I posee mayor L y requiere un impulso angular mayor para alcanzar ese estado desde el reposo. A igualdad de L, un cuerpo con mayor I gira más lentamente.

31.7 Dirección y sentido

En la situación simple de un cuerpo simétrico que gira alrededor de su eje de simetría, L es paralelo a ω. La regla de la mano derecha determina ambos sentidos: los dedos siguen el giro y el pulgar señala el sentido positivo del eje.

Invertir el sentido de giro invierte el momento angular, aunque I permanece positivo porque depende de masas y distancias al cuadrado.

31.8 Una precisión vectorial importante

La escritura vectorial L = Iω es correcta cuando el eje de giro es un eje principal del cuerpo, como el eje de simetría de un disco, un cilindro o una esfera. Para un cuerpo asimétrico que gira alrededor de otro eje, el momento angular total puede tener componentes que no son paralelas a ω.

31.9 Por qué las componentes transversales pueden cancelarse

Cada partícula puede aportar un vector L_i con una componente perpendicular al eje. En un cuerpo simétrico existe, para cada elemento de masa, otro situado de manera tal que sus componentes transversales se cancelan. Las componentes paralelas al eje, en cambio, tienen el mismo sentido y se suman.

Esta cancelación explica por qué un disco homogéneo centrado en su eje posee un momento angular neto perfectamente axial aunque cada partícula individual no esté necesariamente en el plano que pasa por el origen elegido.

31.10 Unidades y dimensiones

La unidad coincide con la del momento angular de una partícula. No debe confundirse con J = kg·m²/s² ni con N·m. El radián se considera adimensional en el Sistema Internacional.

La dimensión de L es M L² T⁻¹, una potencia de tiempo menos que la dimensión del torque.

31.11 Relación con la energía cinética de rotación

Para el mismo cuerpo y el mismo eje:

El momento angular conserva el signo de ω, mientras que la energía cinética es siempre no negativa. Eliminando ω puede escribirse:

Esta última relación es útil cuando L se conserva: para un mismo momento angular, reducir I aumenta la energía cinética. Si una persona cambia por sí misma su distribución de masa, el aumento de energía proviene del trabajo interno que realiza.

31.12 Relación con el torque neto

El torque externo neto respecto del eje determina la rapidez con que cambia la componente axial del momento angular:

Si el cuerpo conserva su forma y el eje permanece fijo, I_z es constante. Entonces:

Así recuperamos la segunda ley de Newton para la rotación. La relación más general es la primera: torque neto igual a la derivada temporal del momento angular.

31.13 Qué ocurre si cambia el momento de inercia

En un sistema que puede redistribuir su masa, I no es constante. Al derivar el producto:

Por eso no siempre es válido reemplazar dL/dt por Iα. Si el torque externo axial es nulo:

Una patinadora que recoge los brazos disminuye I y aumenta |ω|. Este resultado se desarrollará con detalle al estudiar conservación del momento angular.

31.14 Momento angular de cuerpos simples

Al combinar L = Iω con momentos de inercia conocidos se obtienen expresiones directas:

Dos cuerpos con igual masa, radio y ω no tienen necesariamente el mismo momento angular: importa cómo está distribuida la masa dentro de ese radio.

31.15 Ejes paralelos

Si se conoce el momento de inercia I_CM respecto de un eje que atraviesa el centro de masa, el teorema de ejes paralelos permite calcularlo respecto de otro eje paralelo separado una distancia d:

El momento angular axial alrededor del nuevo eje fijo será:

Desplazar el eje sin modificar el cuerpo aumenta I y, para la misma ω, aumenta el módulo de L alrededor de ese eje.

31.16 Cuerpo rígido formado por partes

Para un conjunto rígido de componentes, todos giran con la misma ω y los momentos de inercia se suman respecto del eje común:

También pueden sumarse directamente los momentos angulares axiales L_total = ΣI_jω. Es indispensable trasladar cada I al eje real de rotación antes de sumarlo.

31.17 Momento angular y cantidad de movimiento

La analogía ayuda a organizar fórmulas, pero masa y momento de inercia no son intercambiables: I depende del eje y de la forma en que la masa está distribuida.

31.18 Sistema compuesto: giro y traslación

Un cuerpo puede trasladarse y rotar simultáneamente. Su momento angular respecto de un punto O puede separarse en una parte asociada al movimiento del centro de masa y otra asociada al giro alrededor del centro de masa:

En el problema de eje fijo tratado aquí, la descripción axial puede reducirse a L_z = I_zω usando el momento de inercia respecto del eje fijo. La separación anterior será importante en rodadura y movimiento general.

31.19 Actividad interactiva: distribuir masa y observar L

El siguiente modelo representa tres masas puntuales unidas rígidamente a un eje. Modificá sus masas, sus distancias al eje y la velocidad angular. Observá que cada aporte es m_ir_i²ω y que alejar una masa tiene un efecto cuadrático.

31.20 Implementación con JavaScript

function estadoRotacional({ particulas, omega }) {
  if (!Array.isArray(particulas) || particulas.length === 0) {
    throw new Error("Se necesita al menos una partícula");
  }

  const momentoInercia = particulas.reduce((suma, particula) => {
    const { masa, distanciaAlEje } = particula;
    if (masa <= 0 || distanciaAlEje < 0) {
      throw new Error("Masa y distancia no válidas");
    }
    return suma + masa * distanciaAlEje ** 2;
  }, 0);

  return {
    momentoInercia,
    momentoAngular: momentoInercia * omega,
    energiaCinetica: 0.5 * momentoInercia * omega ** 2
  };
}

console.log(estadoRotacional({
  particulas: [
    { masa: 2, distanciaAlEje: 1 },
    { masa: 1.5, distanciaAlEje: 2 },
    { masa: 1, distanciaAlEje: 2.5 }
  ],
  omega: 3
}));

reduce acumula los términos m_ir_i². El momento angular conserva el signo de omega; la energía usa su cuadrado. En una simulación tridimensional general habría que almacenar vectores y un tensor de inercia.

31.21 Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: disco macizo

Un disco de 4 kg y radio 0,5 m gira a 12 rad/s alrededor de su eje central:

Ejemplo 2: aro y disco con iguales M, R y ω

Para M = 3 kg, R = 0,4 m y ω = 10 rad/s:

El aro posee el doble porque toda su masa está a la distancia R.

Ejemplo 3: masas discretas

Dos masas de 2 kg y 3 kg están a 0,5 m y 0,8 m del eje y giran a −4 rad/s:

Ejemplo 4: cambio producido por un torque

Un volante con I = 5 kg·m² parte con ω = 2 rad/s. Un torque neto constante de 3 N·m actúa durante 4 s:

Ejemplo 5: eje desplazado

Un disco de 2 kg y radio 0,3 m gira a 8 rad/s alrededor de un eje paralelo al central y separado 0,4 m:

31.22 Errores frecuentes

• usar L = Mr²ω para cualquier cuerpo, como si toda la masa estuviera a un único radio;
• emplear el radio exterior en lugar de la distancia perpendicular de cada elemento al eje;
• calcular I respecto de un eje y L respecto de otro;
• olvidar el signo de ω al calcular el momento angular axial;
• asignar signo negativo a I cuando el giro es horario;
• confundir kg·m²/s con joules o con N·m;
• suponer que L siempre es paralelo a ω, incluso para un eje no principal;
• usar τ = Iα cuando I cambia con el tiempo;
• sumar momentos de inercia calculados respecto de ejes diferentes;
• creer que L = 0 implica necesariamente que cada partícula está en reposo.

31.23 Ejercicios propuestos

1. Un disco de 6 kg y radio 0,4 m gira a 5 rad/s. Calculá I y L alrededor de su eje central.
2. Un aro de 2 kg y radio 0,6 m gira a −8 rad/s. Hallá su momento angular axial.
3. Tres masas de 1 kg están a 0,2 m, 0,4 m y 0,6 m de un eje y giran a 10 rad/s. Calculá I y L.
4. Un volante tiene I = 3 kg·m² y L = 18 kg·m²/s. ¿Cuál es su velocidad angular?
5. Compará el momento angular de un aro y un disco de igual M, R y ω.
6. Una esfera maciza de 5 kg y radio 0,2 m gira a 30 rad/s. Calculá L respecto de un diámetro.
7. Un cuerpo con I = 4 kg·m² cambia su velocidad de 2 a 7 rad/s. Calculá ΔL.
8. Sobre el cuerpo anterior actúa un torque constante de 10 N·m. ¿Cuánto tarda en producir ese cambio?
9. Una varilla de 3 kg y 2 m gira a 4 rad/s alrededor de un eje perpendicular por su centro. Calculá L.
10. Explicá por qué alejar al doble una masa del eje cuadruplica su aporte a L si ω no cambia.

31.24 Ideas para recordar

• Un cuerpo rígido es un sistema de partículas que comparte una misma velocidad angular.
• La componente axial de cada aporte es L_i,z = m_ir_i⊥²ω.
• El momento angular alrededor de un eje fijo es L_z = I_zω.
• I depende de la distribución de masa y del eje elegido.
• L tiene el signo de ω; I nunca es negativo.
• Para un eje principal, L y ω son paralelos.
• El torque externo satisface Στ_z = dL_z/dt.
• Si I es constante, la ecuación anterior se reduce a Στ_z = Iα.
• Si I cambia, debe derivarse el producto Iω.
• Momento angular y energía son magnitudes diferentes: L = Iω y K = ½Iω².

En el próximo tema estudiaremos el impulso angular y el cambio del momento angular, incluyendo torques que actúan durante intervalos finitos.