32. Impulso angular y cambio del momento angular

32.1 El efecto acumulado de un torque

El torque neto describe la rapidez instantánea con que cambia el momento angular. Sin embargo, en muchos problemas interesa el resultado de una interacción que dura cierto intervalo: arrancar un volante, frenar una rueda, golpear una pelota o accionar una llave durante algunos segundos.

La magnitud que reúne estas ideas se llama impulso angular.

32.2 Partir de la ley del momento angular

Respecto de un punto O fijo en un sistema inercial, o respecto de un eje fijo z, la relación fundamental es:

Multiplicando por dt e integrando desde un instante inicial t_i hasta un instante final t_f:

El miembro derecho es el cambio del momento angular.

32.3 Definición de impulso angular

El impulso angular neto durante un intervalo se define como la integral temporal del torque externo neto:

El teorema del impulso angular establece:

32.4 Torque constante

Cuando el torque neto conserva módulo, dirección y sentido durante todo el intervalo, sale de la integral:

En un problema unidimensional alrededor de un eje fijo:

Esta forma no debe utilizarse con un torque variable reemplazándolo arbitrariamente por un valor inicial o máximo.

32.5 Interpretación gráfica

En un gráfico de torque en función del tiempo, el impulso angular es el área algebraica comprendida entre la curva y el eje temporal:

Las áreas negativas se restan de las positivas. La suma de áreas geométricas no representa el impulso neto si el torque cambia de signo.

32.6 Naturaleza vectorial

Torque, impulso angular y momento angular son vectores. La integral debe conservar sus componentes:

En rotación alrededor de un eje fijo trabajamos con componentes escalares con signo. En tres dimensiones, torques en direcciones distintas pueden cambiar tanto el módulo como la dirección de L.

32.7 Dirección y signo alrededor de un eje

Elegido el sentido positivo del eje mediante la regla de la mano derecha, el signo del impulso coincide con el signo del área de torque:

Un impulso negativo no significa necesariamente que el cuerpo termine girando en sentido negativo. Puede simplemente reducir un momento angular inicialmente positivo.

32.8 Unidades y dimensiones

El impulso angular tiene las mismas unidades y dimensiones que el momento angular, como exige J_angular = ΔL. Aunque N·m también puede escribirse como joule por equivalencia dimensional, N·m·s no representa energía multiplicada por tiempo en este contexto.

Su dimensión es M L² T⁻¹.

32.9 Torque medio

El torque medio durante un intervalo se define como el torque constante que produciría el mismo impulso:

Por lo tanto:

El torque medio es un promedio temporal con signo; no es, en general, el promedio entre el valor máximo y el mínimo.

32.10 Cuerpo rígido con momento de inercia constante

Si un cuerpo gira alrededor de un eje fijo y su momento de inercia I permanece constante, L = Iω. Entonces:

Para torque constante también se obtiene:

Esta ecuación coincide con ω_f = ω_i + αΔt porque α = τ/I.

32.11 Torques por etapas

Si el torque toma valores constantes diferentes en intervalos sucesivos, el impulso total es la suma de los impulsos parciales:

El momento angular se actualiza acumulativamente:

Este procedimiento es natural en programas y simulaciones: cada paso agrega el impulso producido durante su pequeño intervalo.

32.12 Torque que varía continuamente

Cuando se conoce una función τ(t), debe integrarse. Por ejemplo, si τ(t) = at entre 0 y T:

Si el gráfico es triangular y alcanza un torque máximo τ_máx, el impulso puede obtenerse geométricamente:

Para datos medidos en instantes discretos, la integral puede aproximarse sumando áreas de rectángulos o trapecios.

32.13 Conexión con el impulso lineal de una fuerza

Si una fuerza F actúa en un punto cuya posición r respecto de O permanece aproximadamente constante durante una interacción breve:

Como ∫Fdt es el impulso lineal J_lineal:

La posición debe tratarse dentro de la integral si cambia apreciablemente. Además, solo la componente del impulso lineal perpendicular a r produce impulso angular.

32.14 Torques externos e internos

Para un sistema de partículas, el cambio de su momento angular total está gobernado por el impulso de los torques externos. Los torques internos aparecen por pares y, bajo las condiciones habituales de fuerzas internas centrales, no cambian el momento angular total del sistema.

Al definir el sistema hay que decidir qué interacciones son internas. Si el sistema es solo una rueda, el torque del motor es externo; si incluye rueda y motor, la clasificación cambia.

32.15 Impactos e interacciones breves

Durante un golpe, el torque puede ser muy grande pero actuar durante milisegundos. La fuerza exacta cambia rápidamente y suele ser difícil de conocer, mientras que el impulso angular puede determinarse a partir de los estados anterior y posterior:

Durante el breve impacto, los impulsos de torques externos no impulsivos —como el peso— a menudo son pequeños frente al del contacto y pueden aproximarse como despreciables. Esa aproximación debe justificarse comparando escalas.

32.16 Frenado, detención e inversión

Supongamos L_i > 0 y un impulso J < 0:

La comparación correcta se realiza entre el impulso y el momento angular inicial, no solamente entre los signos del torque y de ω.

32.17 Impulso angular y energía

El impulso determina ΔL, pero no determina por sí solo el trabajo ni el cambio de energía cinética. El trabajo de un torque depende del desplazamiento angular:

Para I constante, conocidos L_i y L_f:

Dos impulsos iguales aplicados a estados iniciales diferentes producen el mismo ΔL, pero pueden producir cambios de energía distintos.

32.18 Cuando cambia el momento de inercia

El teorema del impulso angular sigue siendo válido aunque I cambie:

Lo que deja de ser válido es simplificar ΔL como IΔω usando un único I. Si el impulso externo neto es cero, I_fω_f = I_iω_i, anticipando la conservación del momento angular.

32.19 Comparación entre impulso lineal y angular

32.20 Actividad interactiva: área de torque y cambio de L

Aplicá dos torques sucesivos a un volante. Cada rectángulo del gráfico aporta un impulso J_i = τ_iΔt_i. Compará el área algebraica total con L_f − L_i y explorá aceleración, frenado, detención e inversión.

32.21 Implementación con JavaScript

function aplicarTorquesPorEtapas({
  momentoInercia,
  omegaInicial,
  etapas
}) {
  if (momentoInercia <= 0) {
    throw new Error("El momento de inercia debe ser positivo");
  }

  let momentoAngular = momentoInercia * omegaInicial;
  let tiempo = 0;

  const historial = etapas.map(({ torque, duracion }) => {
    if (duracion < 0) {
      throw new Error("La duración no puede ser negativa");
    }
    const impulsoAngular = torque * duracion;
    momentoAngular += impulsoAngular;
    tiempo += duracion;
    return {
      tiempo,
      impulsoAngular,
      momentoAngular,
      omega: momentoAngular / momentoInercia
    };
  });

  return {
    momentoAngularFinal: momentoAngular,
    omegaFinal: momentoAngular / momentoInercia,
    historial
  };
}

console.log(aplicarTorquesPorEtapas({
  momentoInercia: 4,
  omegaInicial: 3,
  etapas: [
    { torque: 6, duracion: 2 },
    { torque: -4, duracion: 3 }
  ]
}));

El algoritmo actualiza L sumando τΔt en cada etapa y obtiene ω mediante L/I. Esta formulación evita perder el signo y se extiende fácilmente a muchas etapas. Para un torque medido continuamente se usan pasos pequeños y, preferentemente, una integración numérica de mayor precisión.

32.22 Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: torque constante desde el reposo

Un torque neto de 5 N·m actúa durante 3 s sobre un disco inicialmente en reposo:

Ejemplo 2: velocidad final

Un volante con I = 2,5 kg·m² gira inicialmente a 4 rad/s. Recibe un impulso angular de −6 N·m·s:

Ejemplo 3: torque triangular

El torque crece linealmente desde cero hasta 12 N·m en 4 s:

Ejemplo 4: torques sucesivos

Actúan +8 N·m durante 2 s y luego −3 N·m durante 4 s:

El momento angular final supera al inicial en 4 kg·m²/s.

Ejemplo 5: detener una rueda

Una rueda tiene L_i = +30 kg·m²/s. Un freno ejerce un torque medio de −6 N·m. El tiempo para detenerla satisface:

32.23 Errores frecuentes y ejercicios

Errores frecuentes

• confundir torque con impulso angular;
• omitir el intervalo de tiempo en J = τΔt;
• usar τΔt cuando el torque varía sin calcular un torque medio adecuado;
• sumar áreas geométricas sin respetar el signo;
• interpretar un impulso negativo como una velocidad final necesariamente negativa;
• mezclar el punto o eje usado para el torque con el usado para L;
• usar IΔω si el momento de inercia cambia;
• confundir N·m·s con N·m o con joules;
• sumar solo torques aplicados y olvidar torques resistentes;
• suponer que impulso angular nulo significa que no hubo torque en ningún instante.

Ejercicios propuestos

1. Un torque constante de 7 N·m actúa durante 4 s. Calculá el impulso angular.
2. Un volante pasa de L = 12 a L = 30 kg·m²/s en 3 s. Hallá el torque neto medio.
3. Un disco con I = 2 kg·m² parte con ω = 5 rad/s y recibe J = −14 N·m·s. Calculá L_f y ω_f.
4. Un torque de +10 N·m actúa 2 s y otro de −4 N·m actúa 5 s. Calculá el impulso total.
5. Un gráfico τ–t forma un triángulo de base 6 s y altura 8 N·m. Hallá ΔL.
6. ¿Qué impulso se necesita para detener una rueda cuyo momento angular es −25 kg·m²/s?
7. Una fuerza produce un impulso lineal de 6 N·s perpendicular a un radio de 0,4 m. Calculá el impulso angular respecto del centro.
8. Un cuerpo cambia de I_i = 5 kg·m² y ω_i = 2 rad/s a I_f = 4 kg·m² y ω_f = 4 rad/s. Hallá el impulso angular externo.
9. Un torque varía como τ(t) = 3t N·m entre 0 y 4 s. Calculá el impulso.
10. Explicá cómo puede ser cero el impulso total si actuaron torques no nulos.

32.24 Ideas para recordar

• El impulso angular es la integral temporal del torque externo neto.
• J_angular = ΔL.
• Para torque constante, J = τΔt.
• En un gráfico τ–t, el impulso es el área algebraica bajo la curva.
• Impulsos de signos opuestos pueden compensarse.
• El torque medio satisface τ_medio = ΔL/Δt.
• Si I es constante, J = I(ω_f − ω_i).
• Si I cambia, debe usarse J = I_fω_f − I_iω_i.
• Un impulso opuesto al giro puede frenar, detener o invertir el movimiento.
• Impulso angular y trabajo son conceptos diferentes: uno cambia L y el otro cambia la energía.

En el próximo tema estudiaremos la conservación del momento angular y sus condiciones: cuándo L permanece constante y cómo utilizar esa propiedad para resolver sistemas que cambian su distribución de masa.