33. Conservación del momento angular y sus condiciones

33.1 Qué significa conservar el momento angular

Una magnitud se conserva cuando mantiene el mismo valor durante la evolución de un sistema. Para el momento angular, esto significa que el vector L total no cambia con el tiempo: conserva módulo, dirección y sentido.

Conservar L no implica que cada objeto del sistema conserve por separado su momento angular, ni que las velocidades angulares sean constantes. Las partes pueden intercambiar momento angular mientras la suma total permanece igual.

33.2 La condición fundamental

La ley dinámica del momento angular respecto de un punto O fijo en un sistema inercial es:

Por lo tanto, si el torque externo neto es cero durante un intervalo:

33.3 Forma integral y condición durante un intervalo

El teorema del impulso angular permite comparar directamente dos estados:

Si el impulso angular externo neto es nulo:

Esto también puede ocurrir cuando el torque externo no es cero en cada instante, pero sus impulsos positivos y negativos se compensan. En ese caso L no fue constante durante todo el proceso, aunque sus valores inicial y final coincidan.

33.4 Tres decisiones antes de aplicar la conservación

Una aplicación automática de I_iω_i = I_fω_f sin estas decisiones puede ocultar una violación de las condiciones físicas.

33.5 Elegir correctamente el sistema

Si una persona está sobre una plataforma giratoria, tomar solamente a la persona como sistema hace que las fuerzas de contacto de la plataforma sean externas. Si se elige persona más plataforma, esos contactos son internos y se cancelan al calcular el cambio del momento angular total.

Ampliar el sistema puede transformar un intercambio externo en uno interno, pero no elimina torques provenientes del ambiente, como la fricción con un soporte o la acción de un motor que quedó fuera del sistema.

33.6 Elegir el punto o eje de referencia

El valor de un torque y el momento angular de una partícula dependen de la referencia. Una fuerza externa puede producir torque cero respecto de un punto y torque no nulo respecto de otro.

En problemas de eje fijo suele elegirse el propio eje: las fuerzas de apoyo aplicadas sobre él tienen brazo de palanca nulo. En problemas orbitales se elige el centro de fuerza, porque una fuerza central también posee torque nulo respecto de ese punto.

33.7 Torque neto cero no significa fuerza neta cero

Una fuerza puede ser distinta de cero y no producir torque respecto de la referencia si su línea de acción pasa por ella:

Una partícula sometida a una fuerza central puede acelerar y cambiar su cantidad de movimiento lineal, mientras conserva su momento angular respecto del centro. Conservación lineal y conservación angular tienen condiciones diferentes.

33.8 Conservación vectorial y conservación de una componente

Si el torque externo neto vectorial es cero, se conserva todo el vector L. Si solo una componente del torque es cero, se conserva la componente correspondiente:

Puede existir un torque externo horizontal que cambie L_x y L_y mientras L_z permanece constante. Muchos problemas con simetría axial requieren únicamente esta conservación parcial.

33.9 Cuerpo rígido con I constante

Para un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje principal fijo:

Si no existe torque externo axial y la distribución de masa no cambia, I es constante:

En este caso la conservación de L implica velocidad angular constante. Esta conclusión no vale si cambia I.

33.10 Redistribución de masa

Un sistema puede cambiar su geometría mediante fuerzas internas. Si el torque externo axial es nulo:

Si la masa se acerca al eje, I disminuye y |ω| aumenta. Si se aleja, I aumenta y |ω| disminuye. El sentido no cambia por una simple redistribución si L total no es cero.

33.11 La patinadora que recoge los brazos

Una patinadora que gira con los brazos extendidos posee un momento de inercia relativamente grande. Al recogerlos ejerce fuerzas internas que acercan masa al eje y reducen I. Si el torque externo de fricción es despreciable:

La velocidad angular aumenta. El proceso inverso —extender los brazos— reduce la rapidez de giro. La patinadora controla ω modificando la distribución de su masa, no creando momento angular.

33.12 Energía durante una redistribución

Aunque L se conserve, la energía cinética de rotación no tiene por qué permanecer constante. Usando K = L²/(2I):

Al disminuir I, aumenta K. La energía adicional proviene del trabajo interno realizado para mover la masa contra los efectos inerciales. Al extenderse, parte de la energía puede transformarse en energía interna.

33.13 Intercambio entre partes del sistema

Dos partes pueden ejercer torques internos iguales y opuestos. Sus momentos angulares cambian, pero la suma se conserva:

Una persona sobre una plataforma inicialmente quieta puede hacer girar una rueda con las manos. La rueda adquiere momento angular en un sentido y la persona con la plataforma giran en el sentido opuesto.

33.14 Dos cuerpos que se acoplan

Dos discos coaxiales con momentos de inercia I₁ e I₂ y velocidades iniciales ω₁ y ω₂ se ponen en contacto. Si la fricción entre ellos es interna al sistema y el torque externo es despreciable, el momento angular se conserva. Cuando terminan girando juntos:

Las velocidades deben introducirse con signo. Dos discos que giran en sentidos opuestos pueden terminar detenidos si sus momentos angulares iniciales se cancelan.

33.15 Colisiones rotacionales inelásticas

Cuando objetos que giran se adhieren o acoplan, suele conservarse el momento angular durante la interacción breve, pero disminuye la energía cinética. La fricción interna transforma energía mecánica en calor, sonido y deformación.

La pérdida de energía puede calcularse comparando ½I₁ω₁² + ½I₂ω₂² con ½(I₁ + I₂)ω_f².

33.16 Fuerzas centrales y movimiento orbital

Una fuerza central apunta siempre hacia un punto O o se aleja de él. Como r y F son paralelos o antiparalelos:

La gravedad ideal entre dos cuerpos es una fuerza central. En una órbita, el objeto aumenta su rapidez tangencial cuando se acerca al centro y la reduce cuando se aleja, manteniendo el momento angular.

33.17 Velocidad areolar constante

Para una partícula, el momento angular y la rapidez con que el radio barre área se relacionan mediante:

Si L se conserva bajo una fuerza central:

El radio barre áreas iguales en tiempos iguales. Esta es la base dinámica de la segunda ley de Kepler: cerca del centro el arco recorrido debe ser más largo por unidad de tiempo para compensar el radio menor.

33.18 Conservación aproximada

En sistemas reales casi siempre existen pequeños torques externos. La conservación puede ser una excelente aproximación si su impulso durante el intervalo es mucho menor que el momento angular característico:

Durante una colisión muy breve, el peso puede producir un torque no nulo pero un impulso angular pequeño. En intervalos largos, ese mismo torque puede acumular un cambio importante. La validez depende de la escala temporal.

33.19 Método para resolver problemas

1. Definí el sistema e indicá qué cuerpos forman parte de él.
2. Elegí el punto o eje respecto del cual calcularás torques y momentos angulares.
3. Analizá los torques externos durante el intervalo de interés.
4. Decidí si la conservación es exacta o aproximada; si no se conserva, incluí el impulso externo.
5. Escribí L_i y L_f con signos y con los momentos de inercia correctos.
6. Aplicá L_f = L_i + J_ext, resolvé la incógnita y comprobá unidades y sentido.

33.20 Actividad interactiva: masa que cambia de radio

El modelo contiene una plataforma de momento de inercia I₀ y dos masas iguales que se desplazan radialmente. Compará los estados inicial y final. Con J_ext = 0, L se conserva; al introducir un impulso externo, la diferencia entre ambos momentos angulares es exactamente ese impulso.

33.21 Implementación con JavaScript

function redistribuirMasa({
  inerciaBase,
  masas,
  radioInicial,
  radioFinal,
  omegaInicial,
  impulsoExterno = 0
}) {
  if (inerciaBase < 0 || masas.some(masa => masa <= 0)) {
    throw new Error("Parámetros inerciales no válidos");
  }

  const masaTotalMovil = masas.reduce(
    (suma, masa) => suma + masa,
    0
  );
  const inerciaInicial =
    inerciaBase + masaTotalMovil * radioInicial ** 2;
  const inerciaFinal =
    inerciaBase + masaTotalMovil * radioFinal ** 2;
  const momentoInicial = inerciaInicial * omegaInicial;
  const momentoFinal = momentoInicial + impulsoExterno;

  return {
    inerciaInicial,
    inerciaFinal,
    momentoInicial,
    momentoFinal,
    omegaFinal: momentoFinal / inerciaFinal,
    seConserva: Math.abs(impulsoExterno) < 1e-12
  };
}

console.log(redistribuirMasa({
  inerciaBase: 2,
  masas: [1, 1],
  radioInicial: 2,
  radioFinal: 1,
  omegaInicial: 2
}));

La ecuación central del programa es momentoFinal = momentoInicial + impulsoExterno. La conservación aparece como el caso particular en que el impulso externo es cero. Comparar con una tolerancia evita exigir igualdad binaria exacta a números de punto flotante.

33.22 Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: patinadora

Una patinadora reduce su momento de inercia de 4 a 1,6 kg·m² mientras gira inicialmente a 2 rad/s:

Ejemplo 2: persona y plataforma

El sistema parte en reposo. Una persona hace girar una rueda con L_rueda = +6 kg·m²/s:

Ejemplo 3: discos que se acoplan

I₁ = 2 kg·m², ω₁ = +6 rad/s, I₂ = 4 kg·m² y ω₂ = 0:

Ejemplo 4: discos en sentidos opuestos

I₁ = 3 kg·m², ω₁ = +4 rad/s, I₂ = 2 kg·m² y ω₂ = −3 rad/s:

Ejemplo 5: pequeño impulso externo

Un sistema tiene L_i = 50 kg·m²/s y recibe J_ext = −2 kg·m²/s:

La conservación exacta no es válida, pero puede ser una aproximación aceptable o no según la precisión requerida.

33.23 Errores frecuentes y ejercicios

Errores frecuentes

• afirmar que L se conserva solo porque el sistema está girando;
• buscar fuerzas externas nulas en lugar de torque externo neto nulo;
• no definir qué cuerpos forman el sistema;
• calcular torques y momentos angulares respecto de referencias diferentes;
• conservar por separado el momento angular de cada parte cuando existen torques internos;
• usar I_iω_i = I_fω_f cuando actúa un impulso externo;
• ignorar los signos de velocidades angulares opuestas;
• suponer que la energía cinética siempre se conserva junto con L;
• confundir conservación exacta con una aproximación de corta duración;
• creer que al reducir I el sistema crea momento angular.

Ejercicios propuestos

1. Un cuerpo reduce I de 6 a 2 kg·m² y gira inicialmente a 3 rad/s. Sin torque externo, calculá ω_f.
2. Una persona y una plataforma tienen I = 5 kg·m². Una rueda adquiere L = +10 kg·m²/s desde el reposo. Hallá la velocidad angular de persona y plataforma.
3. Dos discos, I₁ = 1 kg·m² y I₂ = 3 kg·m², giran a +8 y 0 rad/s. Se acoplan. Calculá ω_f.
4. Repetí el ejercicio anterior si el segundo disco gira inicialmente a −4 rad/s.
5. Un sistema pasa de I = 4 a 8 kg·m² conservando L. ¿Qué relación existe entre ω_f y ω_i?
6. Una partícula se mueve bajo una fuerza siempre dirigida hacia O. Explicá qué magnitud angular se conserva.
7. Un sistema con L_i = 15 kg·m²/s recibe un impulso externo de −5 N·m·s. Hallá L_f.
8. Una patinadora reduce I a la mitad. Calculá el factor de cambio de ω y de K si L se conserva.
9. Dos discos idénticos giran con velocidades +6 y −6 rad/s y luego se acoplan. Hallá la velocidad final.
10. Explicá por qué una fuerza externa no nula aplicada sobre el eje puede ser compatible con la conservación de L respecto de ese eje.

33.24 Ideas para recordar

• El momento angular se conserva si el torque externo neto es cero.
• Entre dos estados, L_f = L_i cuando el impulso angular externo neto es nulo.
• Definir el sistema determina qué torques son externos.
• Torque y momento angular deben referirse al mismo punto o eje.
• Fuerza externa no nula no implica necesariamente torque externo no nulo.
• Puede conservarse una componente de L aunque el vector completo cambie.
• Con I variable y J_ext = 0, se cumple I_iω_i = I_fω_f.
• Las partes de un sistema pueden intercambiar momento angular conservando la suma.
• La conservación de L no garantiza la conservación de energía cinética.
• En procesos breves, pequeños impulsos externos pueden justificar una conservación aproximada.

En el próximo tema estudiaremos la rodadura sin deslizamiento y el vínculo entre traslación y rotación, donde el movimiento del centro de masa se combina con el giro del cuerpo.