34. Rodadura sin deslizamiento y vínculo entre traslación y rotación

34.1 Un movimiento compuesto

Cuando una rueda se desplaza sobre una superficie, cada punto del cuerpo participa simultáneamente en dos movimientos: la traslación del centro de masa y la rotación alrededor del centro. Ninguno de ellos por separado describe correctamente la velocidad de todos los puntos.

La suma vectorial de traslación y rotación produce velocidades diferentes en la parte superior, el centro, los lados y la zona de contacto.

34.2 Qué significa rodar sin deslizar

Rodadura sin deslizamiento significa que las superficies en contacto no poseen velocidad relativa tangencial en el punto de contacto. Si el suelo está en reposo, el punto material de la rueda que lo toca también está instantáneamente en reposo respecto del suelo.

34.3 Relación geométrica entre distancia y ángulo

Si una rueda de radio R gira un ángulo Δθ sin resbalar, la longitud de arco que apoya sobre el suelo coincide con el desplazamiento del centro:

Para una rueda que avanza hacia la derecha, tomando x positivo a la derecha y ángulos positivos en sentido antihorario, el giro es horario y Δθ es negativo:

La forma con módulos es suficiente cuando solo interesan magnitudes; la forma con signo evita perder el sentido.

34.4 Condición de velocidades

Derivando la relación anterior respecto del tiempo:

Con la convención de signos indicada:

34.5 Velocidad de cualquier punto de la rueda

La velocidad de un punto P de un cuerpo rígido se obtiene sumando la velocidad del centro de masa y la velocidad relativa por rotación:

r_P/CM va desde el centro hacia P. Esta ecuación es válida tanto si existe rodadura pura como si la rueda está deslizando; la condición v_CM = R|ω| es una restricción adicional.

34.6 El punto de contacto

En la parte inferior, la velocidad rotacional es opuesta a la velocidad de traslación cuando la rueda avanza:

Sin deslizamiento, ambas tienen igual módulo y sentidos opuestos:

El centro continúa avanzando aunque el punto inferior esté instantáneamente quieto.

34.7 El punto superior

En la parte superior, las velocidades de traslación y rotación apuntan en el mismo sentido. Para rodadura sin deslizamiento:

Por eso el punto superior de una rueda que avanza posee, instantáneamente, el doble de la rapidez del centro respecto del suelo.

34.8 Los puntos laterales

En los puntos izquierdo y derecho del borde, la velocidad rotacional es vertical, mientras que la velocidad del centro es horizontal. En rodadura pura ambas componentes tienen módulo v_CM, de modo que:

Las direcciones son diagonales: el punto delantero se mueve hacia abajo y adelante; el trasero, hacia arriba y adelante, para una rueda que avanza a la derecha.

34.9 Centro instantáneo de rotación

Como el punto de contacto tiene velocidad cero en ese instante, todo el movimiento puede verse momentáneamente como una rotación alrededor de ese punto, con la misma velocidad angular ω.

El centro está a distancia R y tiene rapidez |ω|R. El punto superior está a distancia 2R y tiene rapidez 2|ω|R. Esta herramienta reproduce las velocidades instantáneas, pero el centro instantáneo cambia a medida que la rueda avanza.

34.10 Trayectoria de un punto del borde

Un punto marcado sobre el borde no describe una circunferencia respecto del suelo. La combinación de traslación y rotación genera una cicloide. Para una rueda de radio R que avanza hacia la derecha puede parametrizarse como:

La curva posee cúspides en los contactos sucesivos con el suelo, donde la velocidad del punto se anula instantáneamente.

34.11 Velocidad cero no implica aceleración cero

El punto de contacto está instantáneamente en reposo, pero generalmente tiene aceleración. En rodadura uniforme sobre un plano horizontal, la aceleración del centro es cero y cada punto conserva una aceleración centrípeta relativa al centro:

En el punto inferior esa aceleración apunta hacia el centro, es decir, verticalmente hacia arriba. Confundir velocidad nula con aceleración nula es un error frecuente.

34.12 Relación de aceleraciones

Si se mantiene la rodadura sin deslizamiento y el radio es constante, al derivar v_CM,x = −Rω:

En módulos:

Esta relación vincula la aceleración lineal del centro con la aceleración angular. No representa por sí sola la aceleración completa de un punto del borde, que también contiene el término centrípeto.

34.13 El papel de la fricción estática

En rodadura pura, el contacto no desliza, por lo que la fricción —si es necesaria— es estática. Su función puede ser proporcionar el torque o la fuerza horizontal requeridos para que traslación y rotación satisfagan simultáneamente la restricción.

La fricción estática no tiene por qué valer μ_sN. Ese producto es su valor máximo posible:

Si la fricción requerida supera ese máximo, comienza el deslizamiento y deja de cumplirse v_CM = R|ω|.

34.14 La fricción no siempre se opone al avance

La fricción se opone a la tendencia de deslizamiento relativo en el contacto, no necesariamente a la velocidad del centro. En una rueda pasiva que baja por una pendiente puede apuntar cuesta arriba para generar el giro. En una rueda motriz, el torque del eje hace que el neumático tienda a empujar el suelo hacia atrás y la fricción del suelo sobre la rueda apunta hacia adelante.

34.15 ¿Puede haber rodadura sin fricción?

Sí. Una rueda que ya rueda uniformemente sobre una superficie horizontal ideal puede continuar con v_CM y ω constantes sin fuerza de fricción. No se necesita una fuerza para mantener las velocidades cuando la resultante y el torque neto son cero.

La fricción se vuelve necesaria cuando otras fuerzas o torques tenderían a romper la condición de rodadura, como en una pendiente, durante una aceleración o al aplicar un torque motor.

34.16 Rodadura en una pendiente

Al bajar por una pendiente sin deslizar, la energía potencial puede transformarse simultáneamente en movimiento de traslación y rotación. Cinemáticamente se mantiene:

La rapidez de aceleración depende de la distribución de masa, porque diferentes cuerpos tienen distintos momentos de inercia. El análisis energético y dinámico completo se desarrollará en el tema siguiente.

34.17 Rodadura con deslizamiento

Si la velocidad del punto de contacto respecto del suelo no es cero, la rueda está deslizando. Con x positivo a la derecha y ω positivo antihorario:

34.18 De deslizamiento a rodadura pura

Durante el deslizamiento actúa fricción cinética. Esta modifica v_CM mediante una fuerza y modifica ω mediante un torque. Si las condiciones lo permiten, ambos cambios conducen a:

A partir de ese instante desaparece el deslizamiento y la fricción pasa a ser estática. No es correcto imponer la condición de rodadura desde el comienzo si el problema indica que la rueda fue lanzada deslizando.

34.19 Vueltas, distancia y tiempo

Una vuelta completa corresponde a un avance igual a la circunferencia:

Después de N vueltas sin deslizamiento:

Si la rapidez del centro es constante, el período de giro es T = 2πR/v_CM y la frecuencia f = v_CM/(2πR).

34.20 Correspondencia entre variables lineales y angulares

34.21 Actividad interactiva: traslación, giro y contacto

Modificá el radio, la velocidad del centro y la velocidad angular. El laboratorio suma las velocidades en cuatro puntos del borde y evalúa v_contacto,x = v_CM,x + ωR. Probá tanto signos opuestos como iguales.

34.22 Implementación con JavaScript

function estadoDeRueda({
  radio,
  velocidadCentro,
  velocidadAngular,
  tolerancia = 1e-9
}) {
  if (radio <= 0) {
    throw new Error("El radio debe ser positivo");
  }

  // Convención: +x a la derecha y ω positiva antihoraria.
  const velocidadContacto =
    velocidadCentro + velocidadAngular * radio;
  const velocidadSuperior =
    velocidadCentro - velocidadAngular * radio;
  const rapidezLateral = Math.hypot(
    velocidadCentro,
    velocidadAngular * radio
  );

  return {
    ruedaSinDeslizar:
      Math.abs(velocidadContacto) <= tolerancia,
    velocidadContacto,
    velocidadSuperior,
    rapidezLateral,
    frecuencia: Math.abs(velocidadAngular) / (2 * Math.PI)
  };
}

console.log(estadoDeRueda({
  radio: 1,
  velocidadCentro: 6,
  velocidadAngular: -6
}));

La condición con signo se comprueba directamente en el punto de contacto. Math.hypot combina las componentes perpendiculares de un punto lateral. La tolerancia evita que pequeños errores numéricos clasifiquen una rodadura ideal como deslizamiento.

34.23 Ejemplos, errores frecuentes y ejercicios

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: una rueda de radio 0,4 m avanza sin deslizar a 8 m/s. Su rapidez angular es:

Si avanza hacia +x, ω = −20 rad/s con la convención utilizada.

Ejemplo 2: un punto superior de una rueda en rodadura pura cuyo centro avanza a 5 m/s posee rapidez 10 m/s; el punto inferior posee rapidez cero.

Ejemplo 3: una rueda de radio 0,25 m gira a 12 rad/s y avanza a 2 m/s hacia la derecha:

Está deslizando; el punto de contacto se mueve hacia la izquierda respecto del suelo.

Ejemplo 4: una rueda de radio 0,3 m recorre 18π m sin deslizar:

Ejemplo 5: si R = 0,5 m y α = −6 rad/s², entonces a_CM,x = −Rα = +3 m/s².

Errores frecuentes

• usar v = Rω sin aclarar si se trabaja con módulos o signos;
• creer que todos los puntos de la rueda poseen velocidad v_CM;
• afirmar que el punto de contacto es siempre la misma partícula;
• suponer que velocidad instantánea cero implica aceleración cero;
• aplicar la condición de rodadura a una rueda que está deslizando;
• considerar que la fricción estática siempre vale μ_sN;
• afirmar que la fricción siempre apunta contra el movimiento del centro;
• confundir la velocidad relativa al centro con la velocidad respecto del suelo;
• olvidar el término centrípeto al calcular aceleraciones de puntos del borde;
• usar el diámetro en lugar del radio en Δx = RΔθ.

Ejercicios propuestos

1. Una rueda de radio 0,5 m rueda sin deslizar a 4 m/s. Calculá |ω|.
2. Para el ejercicio anterior, hallá las rapideces de los puntos superior, inferior y lateral.
3. Una rueda de radio 0,2 m gira a 15 rad/s. ¿Qué rapidez debe tener el centro para rodar sin deslizar?
4. Una rueda de radio 0,4 m avanza a +3 m/s y tiene ω = −5 rad/s. Calculá la velocidad del contacto y decidí si desliza.
5. Repetí el ejercicio anterior con ω = −7,5 rad/s.
6. ¿Cuántas vueltas da una rueda de radio 0,35 m al recorrer 70π m sin deslizar?
7. Una rueda rueda hacia la izquierda a 6 m/s. Indicá el signo y el módulo de ω si R = 0,75 m.
8. Si una rueda tiene α = +4 rad/s² y R = 0,3 m, calculá a_CM,x manteniendo rodadura pura.
9. Explicá por qué el punto superior se mueve al doble de rapidez que el centro.
10. ¿Puede una rueda girar con su centro quieto y estar en rodadura sin deslizamiento sobre suelo fijo? Justificá.

34.24 Ideas para recordar

• La rodadura combina traslación del centro y rotación alrededor del centro.
• Sin deslizamiento, |Δx_CM| = R|Δθ|.
• En módulos, v_CM = R|ω| y a_CM = R|α|.
• Con +x a la derecha y giro antihorario positivo, v_CM,x = −Rω.
• La velocidad de un punto es v_P = v_CM + ω × r_P/CM.
• El contacto está instantáneamente en reposo y el punto superior se mueve a 2v_CM.
• El contacto actúa como centro instantáneo de rotación.
• La trayectoria de un punto del borde es una cicloide.
• La fricción estática evita la tendencia al deslizamiento y no siempre apunta contra el avance.
• Si v_CM,x + ωR ≠ 0, existe deslizamiento.

En el próximo tema estudiaremos la energía y la dinámica de cuerpos que ruedan, incorporando fuerzas, torques, momento de inercia y conservación de la energía.