35. Energía y dinámica de cuerpos que ruedan

35.1 Dos movimientos, una energía total

Un cuerpo que rueda posee simultáneamente velocidad del centro de masa y velocidad angular. Su energía cinética total es la suma de la energía de traslación del centro y la energía de rotación alrededor de un eje que atraviesa el centro de masa:

35.2 Por qué se usa I respecto del centro de masa

La descomposición de energía separa la traslación global del cuerpo y su movimiento relativo al centro de masa. Por eso el término rotacional utiliza I_CM, no el momento de inercia respecto del punto de contacto.

También puede describirse instantáneamente la rodadura como rotación alrededor del contacto. Usando el teorema de ejes paralelos:

Con v_CM = R|ω|, ambas descripciones producen la misma energía.

35.3 Incorporar la condición de rodadura

En rodadura sin deslizamiento, ω² = v_CM²/R². Sustituyendo:

El término I_CM/R² actúa como una contribución inercial adicional: parte de la energía debe alimentar el giro.

35.4 Factor de forma k

Para muchos cuerpos de radio R, el momento de inercia central puede escribirse:

El número adimensional k resume la distribución de masa. Entonces:

35.5 Descenso desde una altura

Un cuerpo parte del reposo a una altura vertical h y baja rodando sin deslizar. Si no hay pérdidas y la fricción estática no realiza trabajo neto, se conserva la energía mecánica:

Usando I_CM = kMR² y ω = v/R:

35.6 Rapidez al final de la pendiente

Despejando la rapidez del centro de masa:

La masa M y el radio R se cancelan. Para cuerpos con el mismo k que parten de la misma altura, el modelo ideal predice igual rapidez final aunque tengan masas y radios diferentes.

35.7 Reparto de la energía

En el punto inferior, la energía potencial inicial se reparte así:

Las fracciones de la energía total son:

Un aro, con k = 1, reparte la energía por mitades. Una esfera maciza destina 5/7 a traslación y 2/7 a rotación.

35.8 Qué cuerpo llega primero

En una misma pendiente, los cuerpos con menor k aceleran más. Entre una esfera maciza, un disco y un aro de radios comparables que ruedan sin deslizar:

La esfera maciza llega primero, luego el disco y finalmente el aro. No gana necesariamente el cuerpo de mayor masa ni el de mayor radio; importa la distribución relativa de masa expresada por k.

35.9 Análisis dinámico en una pendiente

Consideremos positiva la dirección cuesta abajo. Sobre el cuerpo actúan el peso, la normal y la fricción estática. En la dirección de la pendiente:

Respecto del centro de masa, el peso y la normal no producen torque en el modelo simétrico; la fricción proporciona el torque:

La rodadura exige a = Rα en módulos.

35.10 Aceleración del centro de masa

Sustituyendo α = a/R e I_CM = kMR²:

Al combinarlo con Mg senθ − f = Ma:

La aceleración es constante en una pendiente recta de ángulo constante y coincide con el resultado energético. Para k = 0 se recuperaría el modelo de una partícula que desliza sin fricción.

35.11 Magnitud y sentido de la fricción

En un cuerpo pasivo que desciende partiendo del reposo, la fricción estática apunta cuesta arriba para producir el torque que incrementa el giro. Su magnitud es:

Aunque apunta cuesta arriba, no hace que el cuerpo pierda energía mecánica en rodadura ideal, porque el punto instantáneo donde actúa está en reposo respecto de la superficie.

35.12 Fricción mínima necesaria

La fricción estática requerida debe satisfacer f ≤ μ_sN. Como N = Mg cosθ:

Si el coeficiente disponible es menor, la rodadura pura no puede mantenerse y aparece deslizamiento. Esta condición depende de k y de la inclinación, pero no de M ni de R.

35.13 Trabajo de la fricción estática

En una superficie fija y rodadura ideal, el punto material en contacto tiene velocidad instantánea cero. La potencia de la fricción sobre el cuerpo es:

La fricción estática redistribuye el efecto del peso entre traslación y rotación sin disipar energía. Esto no significa que toda fricción estática haga trabajo cero en cualquier situación: una cinta transportadora móvil, una superficie acelerada o cuerpos deformables requieren un análisis específico.

35.14 Aplicar una fuerza en el centro

Una fuerza horizontal F aplicada en el centro de una rueda sobre un piso horizontal no produce torque directo respecto del centro. Para que la rueda acelere sin deslizar, la fricción estática debe generar el torque de giro.

De estas ecuaciones:

En este caso la fricción apunta en sentido opuesto a F, porque debe hacer girar la rueda en el sentido compatible con el avance.

35.15 Aplicar un torque al eje

Si un motor aplica un torque a una rueda apoyada, el punto inferior tendería a deslizar hacia atrás. La fricción estática del suelo sobre la rueda apunta hacia adelante y acelera el centro de masa.

Con un torque motor τ y sin otras fuerzas horizontales:

El sentido de la fricción es opuesto al caso de una fuerza aplicada en el centro.

35.16 Subir rodando una pendiente

Si un cuerpo asciende rodando libremente, su energía cinética de traslación y rotación se transforma en energía potencial:

Un cuerpo que parte con la misma rapidez v₀ pero mayor k posee más energía rotacional y alcanza una altura mayor, siempre que continúe rodando sin deslizar.

35.17 Rodadura con deslizamiento

Cuando v_CM ≠ R|ω|, el punto de contacto se mueve respecto del suelo y actúa fricción cinética. La energía mecánica disminuye por disipación:

Durante esta etapa, v_CM y ω deben calcularse con ecuaciones dinámicas separadas. No puede imponerse a = Rα hasta el instante en que se alcanza la rodadura pura.

35.18 Resistencia a la rodadura

Los cuerpos y superficies reales se deforman. La fuerza normal efectiva puede desplazarse ligeramente respecto de la vertical que atraviesa el centro, generando un torque resistente. También existen pérdidas en rodamientos y deformaciones internas.

Una aproximación simple usa una fuerza de resistencia F_rr = C_rrN opuesta al movimiento. A diferencia de la fricción estática ideal, esta resistencia disipa energía y reduce la aceleración o requiere potencia para mantener una velocidad constante.

35.19 Potencia en una rueda motriz

Un torque motor τ que hace girar el eje con velocidad angular ω entrega potencia:

En rodadura sin deslizamiento, |ω| = v/R. En un régimen ideal de velocidad angular constante, donde el torque transmitido equilibra FR, la potencia útil asociada a una fuerza de tracción F también puede expresarse como:

La igualdad describe dos formas de observar el flujo de energía —rotacional en el eje y traslacional en el vehículo— bajo esas condiciones. Durante una aceleración, parte de la potencia cambia la energía rotacional de las ruedas y debe incluirse explícitamente.

35.20 Comparar energía y dinámica

35.21 Actividad interactiva: descenso por una pendiente

Modificá el factor de forma, la masa, el radio, la altura, el ángulo y la fricción disponible. El modelo calcula la solución ideal de rodadura y comprueba si la fricción estática alcanza para hacerla físicamente posible.

35.22 Implementación con JavaScript

function descensoRodando({
  masa,
  radio,
  factorForma,
  altura,
  angulo,
  coeficienteEstatico,
  gravedad = 9.81
}) {
  const theta = angulo * Math.PI / 180;
  const inercia = factorForma * masa * radio ** 2;
  const aceleracion =
    gravedad * Math.sin(theta) / (1 + factorForma);
  const rapidez = Math.sqrt(
    2 * gravedad * altura / (1 + factorForma)
  );
  const friccion = factorForma * masa * aceleracion;
  const coeficienteMinimo =
    factorForma * Math.tan(theta) / (1 + factorForma);

  return {
    inercia,
    aceleracion,
    rapidez,
    omegaFinal: rapidez / radio,
    friccion,
    coeficienteMinimo,
    puedeRodarSinDeslizar:
      coeficienteEstatico >= coeficienteMinimo,
    energiaTraslacional:
      masa * gravedad * altura / (1 + factorForma),
    energiaRotacional:
      factorForma * masa * gravedad * altura
      / (1 + factorForma)
  };
}

const resultado = descensoRodando({
  masa: 2,
  radio: 0.3,
  factorForma: 0.5,
  altura: 1.5,
  angulo: 30,
  coeficienteEstatico: 0.25
});
console.log(resultado);

La función calcula primero la solución candidata de rodadura pura y después verifica la desigualdad de fricción. Si puedeRodarSinDeslizar es falsa, la aceleración y la rapidez informadas no describen el movimiento real: debe utilizarse un modelo con fricción cinética y ecuaciones separadas para v y ω.

35.23 Ejemplos, errores frecuentes y ejercicios

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: un disco macizo baja desde h = 1,5 m:

Ejemplo 2: una esfera maciza desciende por una pendiente de 30°:

Ejemplo 3: para un aro en una pendiente de 20°:

Ejemplo 4: una esfera y un aro parten de igual altura. Sus rapideces satisfacen:

Ejemplo 5: un disco de 2 kg rueda a 3 m/s:

Errores frecuentes

• usar únicamente ½Mv² y olvidar la energía de rotación;
• usar I respecto del contacto dentro de la suma ½Mv² + ½Iω²;
• suponer que el cuerpo de mayor masa llega primero;
• creer que la fricción estática necesariamente disipa energía;
• asignar a la fricción el valor μ_sN sin comprobar cuánto se requiere;
• aplicar fórmulas de rodadura pura cuando la fricción disponible es insuficiente;
• confundir el factor k con el coeficiente de fricción;
• olvidar la ecuación de torque al resolver por dinámica;
• imponer a = Rα durante una etapa de deslizamiento;
• afirmar que la rapidez final depende del ángulo cuando se fija la misma altura y no hay pérdidas.

Ejercicios propuestos

1. Un aro de 3 kg y radio 0,4 m rueda a 5 m/s. Calculá su energía cinética total.
2. Un disco macizo parte del reposo desde una altura de 2 m. Hallá su rapidez final.
3. Una esfera maciza baja por una pendiente de 25°. Calculá su aceleración.
4. Compará las fracciones de energía traslacional de una esfera maciza y un aro.
5. Calculá μ_mín para que un disco ruede sin deslizar por una pendiente de 30°.
6. Una fuerza de 18 N tira del centro de un aro de 2 kg sobre un piso horizontal. Hallá la aceleración si rueda sin deslizar.
7. Un disco de 4 kg y radio 0,5 m rueda a 6 m/s. Calculá K_tras, K_rot y K total.
8. Un aro sube rodando con rapidez inicial de 4 m/s. Calculá la altura máxima ideal.
9. Explicá por qué el radio se cancela en la rapidez final de un cuerpo con I = kMR².
10. ¿Qué debe hacerse si μ_s es menor que [k/(1 + k)]tanθ?

35.24 Ideas para recordar

• La energía cinética de rodadura es K = ½Mv_CM² + ½I_CMω².
• Con I_CM = kMR² y rodadura pura, K = ½M(1 + k)v².
• Al bajar desde una altura h, v = √[2gh/(1 + k)].
• Un cuerpo con menor k acelera más y llega antes por la misma pendiente.
• En una pendiente, a = g senθ/(1 + k).
• La fricción requerida es f = [k/(1 + k)]Mg senθ y apunta cuesta arriba para un cuerpo pasivo que desciende.
• La condición de rodadura exige μ_s ≥ [k/(1 + k)]tanθ.
• La fricción estática ideal no disipa energía sobre una superficie fija.
• Si hay deslizamiento, v y ω deben evolucionar mediante ecuaciones separadas.
• El método energético relaciona estados; el dinámico permite hallar fuerzas, aceleración y tiempo.

En el próximo tema aprenderemos a representar ángulos, velocidades y cuerpos rotatorios con JavaScript, trasladando estas relaciones físicas a estructuras de datos y visualizaciones programables.