5. Velocidad angular media e instantánea

5.1 No alcanza con conocer el ángulo

Dos discos pueden completar el mismo desplazamiento angular y tardar tiempos diferentes. El que realiza el giro en menos tiempo cambia su orientación más rápidamente. Para comparar esos ritmos introducimos la velocidad angular.

Esta magnitud desempeña en la descripción angular un papel semejante al de la velocidad en la cinemática lineal. No indica por sí sola el tamaño del cuerpo ni la distancia recorrida por cada punto.

5.2 Velocidad angular media

Si la posición angular cambia desde θ_i hasta θ_f durante un intervalo Δt = t_f − t_i, la velocidad angular media es:

Usamos la letra griega omega, ω. La fórmula emplea el desplazamiento angular acumulado, no una orientación normalizada. Si un eje realiza dos vueltas positivas en 4 s, Δθ = 4π rad y ω_media = π rad/s.

5.3 Unidad y dimensión

En el Sistema Internacional, el ángulo se expresa en radianes y el tiempo en segundos. La unidad de velocidad angular es:

El radián es adimensional, pero escribir rad/s distingue una velocidad angular de una frecuencia expresada en Hz. Ambas tienen dimensión T⁻¹, aunque no representan el mismo número: una vuelta corresponde a 2π rad.

5.4 El signo indica el sentido

Con la convención adoptada en el tema 2:

• ω > 0 indica giro antihorario;
• ω < 0 indica giro horario;
• ω = 0 indica que la orientación no cambia en ese instante.

El módulo |ω| expresa la rapidez angular, es decir, qué tan rápidamente cambia el ángulo sin considerar el sentido. Dos cuerpos con ω = +3 rad/s y ω = −3 rad/s tienen la misma rapidez angular y sentidos opuestos.

5.5 Media no significa necesariamente constante

La velocidad angular media resume todo un intervalo. Un disco podría girar rápido al comienzo, detenerse y continuar más lentamente, y aun así producir el mismo cociente Δθ/Δt que otro disco con ritmo constante.

Conocer la media no permite reconstruir todos los cambios internos del movimiento.

5.6 Velocidad angular instantánea

Para aproximar la velocidad angular en un instante calculamos velocidades medias en intervalos cada vez más pequeños alrededor de él. Si los valores se acercan a un límite, definimos:

Con notación de cálculo diferencial se escribe ω = dθ/dt. No significa dividir dos cantidades infinitamente pequeñas, sino describir la tasa de cambio local de θ.

En datos medidos o simulados aproximamos ese valor usando muestras cercanas. Reducir el intervalo mejora la resolución temporal, pero también puede hacer más visibles el ruido de medición y los errores numéricos.

5.7 Interpretar un gráfico de θ frente a t

En un gráfico de posición angular θ en función del tiempo, la pendiente representa la velocidad angular:

• una recta creciente tiene ω positiva y constante;
• una recta decreciente tiene ω negativa y constante;
• una línea horizontal representa ω = 0;
• una curva cuya inclinación cambia representa velocidad angular variable.

Una pendiente más pronunciada significa mayor |ω|. Si el gráfico usa un ángulo normalizado, aparecen saltos artificiales al completar vueltas; para analizar la pendiente debemos usar el ángulo acumulado.

5.8 Velocidad angular constante

Si ω permanece constante, iguales intervalos de tiempo producen iguales desplazamientos angulares. Partiendo de una orientación θ₀ en t = 0:

Esta ecuación permite calcular el ángulo acumulado. Para dibujar la orientación podemos normalizar el resultado después, sin reemplazar el valor acumulado.

Si ω = −1,5 rad/s y θ₀ = 0, después de 4 s se obtiene θ = −6 rad. El signo muestra que el giro fue horario.

5.9 Relación con período y frecuencia

En una vuelta el módulo del desplazamiento angular es 2π rad. Si el giro uniforme tarda un período T:

De aquí también obtenemos:

El signo de ω indica el sentido, mientras que T y f suelen informarse como cantidades positivas. Para ω = −4π rad/s, la frecuencia es 2 Hz y el período 0,5 s; el signo solo agrega que el giro es horario.

5.10 Rpm y velocidad angular

Si un eje gira a n revoluciones por minuto, convertimos vueltas a radianes y minutos a segundos:

Un motor a 600 rpm posee f = 10 Hz y |ω| = 20π rad/s ≈ 62,83 rad/s. No debemos tratar el valor numérico 600 como si ya estuviera expresado en rad/s.

5.11 Una magnitud común al cuerpo rígido

En una rotación alrededor de un eje fijo, todos los puntos del cuerpo rígido comparten la misma posición angular, el mismo desplazamiento angular y la misma velocidad angular. Sin embargo, no comparten la misma velocidad lineal: los puntos alejados del eje recorren arcos mayores en el mismo tiempo.

Esta diferencia será el centro del próximo tema. Por ahora debemos evitar afirmar que un punto del borde “tiene más velocidad angular” que uno interior: si pertenecen al mismo cuerpo rígido, sus ω son iguales.

5.12 La dirección del eje

En problemas planos representamos ω mediante un signo. En tres dimensiones, la velocidad angular se asocia con un vector ubicado sobre el eje de rotación. Su sentido se determina con la regla de la mano derecha: los dedos siguen el giro y el pulgar señala el vector.

Visto de frente, un giro antihorario corresponde a un vector que apunta hacia el observador; un giro horario apunta en la dirección opuesta. En este curso usaremos principalmente el tratamiento con signo hasta que el carácter vectorial resulte necesario.

5.13 Actividad interactiva: controlá ω

Elegí una velocidad angular y un intervalo de cálculo. La animación conserva el ángulo acumulado aunque la flecha repita orientaciones.

Compará +2 rad/s y −2 rad/s: el período y la frecuencia conservan sus valores, pero cambian el sentido y el signo del desplazamiento angular.

5.14 Calcular con JavaScript

function movimientoAngularUniforme({
  anguloInicialRad,
  velocidadAngularRadS,
  tiempoS
}) {
  const desplazamientoRad = velocidadAngularRadS * tiempoS;
  const anguloAcumuladoRad = anguloInicialRad + desplazamientoRad;
  const vuelta = 2 * Math.PI;

  return {
    desplazamientoRad,
    anguloAcumuladoRad,
    orientacionRad: ((anguloAcumuladoRad % vuelta) + vuelta) % vuelta
  };
}

console.log(movimientoAngularUniforme({
  anguloInicialRad: Math.PI / 2,
  velocidadAngularRadS: -2,
  tiempoS: 4
}));

El cálculo conserva por separado el ángulo acumulado y la orientación normalizada. El tiempo debe expresarse en segundos para que una velocidad en rad/s produzca un desplazamiento en radianes.

5.15 Ejemplos resueltos y errores frecuentes

Ejemplo 1: velocidad angular media

Un disco pasa de θ_i = π/3 a θ_f = 7π/3 en 2 s:

Ejemplo 2: orientación con ω constante

Con θ₀ = π/4, ω = −0,5 rad/s y t = 3 s:

Errores frecuentes

• usar grados en una fórmula que espera radianes;
• confundir rad/s con Hz y olvidar el factor 2π;
• calcular con orientaciones normalizadas y perder vueltas completas;
• interpretar el signo negativo como una rapidez imposible en lugar de un sentido;
• creer que una velocidad media determina lo ocurrido en cada instante;
• asignar distintas velocidades angulares a puntos del mismo cuerpo rígido;
• mezclar segundos y minutos al convertir rpm;
• usar T = 2π/|ω| cuando ω cambia durante la vuelta.

5.16 Ejercicios propuestos

1. Un eje gira +5π rad en 10 s. Calculá su velocidad angular media.
2. Un disco gira con ω = −3 rad/s durante 4 s. Hallá Δθ e indicá el sentido.
3. Con θ₀ = π/2 y ω = 2 rad/s, calculá θ a los 3 s.
4. Calculá frecuencia y período para |ω| = 8π rad/s.
5. Convertí 240 rpm a Hz y rad/s.
6. Dos puntos están a diferentes radios en un disco rígido. Compará sus velocidades angulares.
7. Explicá por qué la media de un intervalo no asegura que ω haya sido constante.
8. Usá la función JavaScript con θ₀ = 0, ω = −π rad/s y t = 3 s. Interpretá los tres resultados.

5.17 Ideas para recordar

• ω_media = Δθ/Δt resume el cambio angular durante un intervalo.
• La velocidad angular instantánea describe la tasa de cambio local de θ.
• Su unidad SI es rad/s.
• El signo indica el sentido; el módulo |ω| es la rapidez angular.
• Para ω constante, θ = θ₀ + ωt.
• En giro uniforme, |ω| = 2πf = 2π/T.
• Todos los puntos de un cuerpo rígido comparten ω, aunque no compartan su velocidad lineal.

En el próximo tema estudiaremos precisamente la relación entre velocidad angular y velocidad tangencial para puntos ubicados a diferentes distancias del eje.