6. Relación entre velocidad angular y velocidad tangencial

6.1 Dos formas de describir el mismo movimiento

La velocidad angular ω indica cuánto cambia el ángulo por unidad de tiempo. La velocidad lineal describe cómo cambia la posición de un punto. En un movimiento circular, ambas descripciones corresponden al mismo movimiento, pero responden preguntas diferentes.

Una marca cercana al eje y otra junto al borde de un disco completan cada vuelta al mismo tiempo. Comparten ω, aunque la marca exterior debe recorrer un arco mayor en ese intervalo.

6.2 De la longitud de arco a la rapidez tangencial

En el tema 3 obtuvimos s = r|Δθ|. Si el radio permanece constante, dividimos el recorrido por el intervalo:

Al considerar intervalos muy pequeños, s/Δt se aproxima a la rapidez instantánea y |Δθ|/Δt a la rapidez angular. Por tanto:

Usamos v_t para el módulo de la velocidad tangencial. Si trabajamos sobre una coordenada circular orientada, la relación con signo puede escribirse v_t,signed = rω.

6.3 Dirección tangente a la trayectoria

La velocidad instantánea de un punto es tangente a su trayectoria. En una circunferencia, la tangente es perpendicular al radio que une el centro con el punto.

• en giro antihorario, el vector apunta a lo largo de la tangente en el sentido positivo;
• en giro horario, apunta sobre la misma tangente en sentido opuesto;
• si ω = 0, la velocidad debida a esa rotación es cero.

La palabra “tangencial” no indica una nueva clase de velocidad: destaca la dirección del vector velocidad en ese instante.

6.4 Módulo, dirección y sentido

Dar solamente r|ω| proporciona rapidez, no el vector completo. Para representar la velocidad debemos agregar su dirección y sentido en la posición considerada.

6.5 Unidades y análisis dimensional

El radián es adimensional, de modo que el resultado tiene unidad de velocidad lineal. El ángulo debe estar expresado en radianes: multiplicar un radio por un número en grados por segundo no produce directamente m/s.

Si ω se conoce en rpm, primero la convertimos a rad/s mediante |ω| = rpm·2π/60.

6.6 Comparar puntos de un mismo cuerpo rígido

Para dos puntos del mismo cuerpo que rota con velocidad angular ω:

Un punto a 0,6 m del eje se mueve tres veces más rápido que otro a 0,2 m. El punto sobre el eje tiene r = 0 y, por tanto, v_t = 0.

Esto no contradice que todos compartan ω: en el mismo tiempo giran el mismo ángulo, pero sus arcos tienen longitudes diferentes.

6.7 Relación con período y frecuencia

En una vuelta, un punto recorre 2πr durante un período T. Por ello:

Como |ω| = 2π/T = 2πf, recuperamos v_t = r|ω|. Las tres expresiones son equivalentes cuando el giro es uniforme.

6.8 Despejar radio o velocidad angular

Si conocemos los módulos y el valor no es nulo:

Estas expresiones pueden ayudar a estimar el radio de una trayectoria o el ritmo angular. En el eje, r = 0, no podemos obtener ω dividiendo v/r: cualquier velocidad angular produce v = 0 exactamente sobre el eje.

6.9 Forma vectorial

En tres dimensiones, la relación completa es:

El vector r⃗ va desde el eje hasta el punto y ω⃗ se orienta sobre el eje según la regla de la mano derecha. El producto vectorial produce un vector perpendicular a ambos: exactamente la dirección tangente.

Cuando ω⃗ es perpendicular a r⃗, el módulo se reduce a v = ωr. Esta es la situación de los puntos de un cuerpo que rota alrededor de un eje fijo.

6.10 Velocidad tangencial no significa aceleración

Aunque el módulo v_t permanezca constante, el vector velocidad cambia de dirección mientras el punto recorre la circunferencia. Por eso existe aceleración incluso en movimiento circular uniforme.

No debemos orientar la velocidad hacia el centro: esa dirección corresponderá a una componente de la aceleración que estudiaremos más adelante. La velocidad es tangente; el radio y la velocidad son perpendiculares.

6.11 Rotación más traslación

La relación v⃗ = ω⃗ × r⃗ entrega la velocidad del punto debida a la rotación respecto del eje. Si el eje o el centro también se trasladan, debemos sumar la velocidad de traslación:

Esta relación explica por qué los puntos de una rueda que avanza pueden tener velocidades diferentes respecto del suelo. La rodadura se desarrollará en temas posteriores; aquí basta con reconocer que las contribuciones se suman vectorialmente.

6.12 Actividad interactiva: dos radios, una misma ω

Modificá la velocidad angular y las distancias de dos puntos al eje. Las flechas verdes representan sus velocidades tangenciales.

6.13 Calcular vectores con JavaScript

En un plano xy, con el eje de rotación perpendicular a la pantalla, la forma vectorial puede implementarse sin una biblioteca tridimensional:

function velocidadPorRotacion(posicionRelativaM, omegaRadS) {
  const { x, y } = posicionRelativaM;
  return {
    x: -omegaRadS * y,
    y:  omegaRadS * x
  };
}

const posicion = { x: 3, y: 4 }; // radio de 5 m
const velocidad = velocidadPorRotacion(posicion, 2);

console.log(velocidad);             // { x: -8, y: 6 } m/s
console.log(Math.hypot(velocidad.x, velocidad.y)); // 10 m/s

El módulo coincide con r|ω| = 5·2 = 10 m/s. Además, el producto escalar entre posición y velocidad es cero, lo cual verifica que ambos vectores son perpendiculares.

6.14 Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: punto del borde

Un disco de radio 0,4 m gira a 6 rad/s:

Ejemplo 2: usando frecuencia

Una marca a 0,25 m del eje gira a 3 Hz:

Ejemplo 3: usando rpm

Una rueda de radio 0,15 m gira a 300 rpm. f = 5 Hz y |ω| = 10π rad/s:

Ejemplo 4: hallar el radio

Si v_t = 12 m/s y |ω| = 8 rad/s, r = 12/8 = 1,5 m.

6.15 Errores frecuentes

• Confundir ω con v: se miden en rad/s y m/s, respectivamente.
• Olvidar el radio: una misma ω produce distintas velocidades tangenciales.
• Orientar v⃗ hacia el centro: la velocidad instantánea es tangente.
• Usar grados por segundo directamente: primero deben convertirse a rad/s.
• Usar diámetro en lugar de radio: esto duplica incorrectamente el resultado.
• Asignar ω diferentes a puntos del mismo cuerpo rígido: todos comparten el giro.
• Ignorar el sentido: r|ω| da rapidez; el vector requiere orientación.
• Olvidar la traslación del centro: en movimiento combinado hay que sumar ambas velocidades.

6.16 Ejercicios propuestos

1. Calculá v_t para r = 0,75 m y |ω| = 4 rad/s.
2. Dos marcas están a 0,2 m y 0,8 m del eje de un disco. Compará sus rapideces.
3. Una rueda de radio 0,5 m gira a 2 Hz. Calculá la rapidez del borde.
4. Convertí 180 rpm a rad/s y calculá v_t para r = 0,3 m.
5. Un punto se mueve a 15 m/s en una circunferencia mientras |ω| = 5 rad/s. Hallá el radio.
6. Para r⃗ = (2, −3) m y ω = +4 rad/s, calculá v⃗ con la función JavaScript y verificá la perpendicularidad.
7. Explicá por qué un punto sobre el eje tiene velocidad lineal nula aunque el cuerpo posea ω no nula.
8. En el laboratorio, igualá ambos radios y cambiá el signo de ω. Describí qué cambia y qué permanece igual.

6.17 Ideas para recordar

• La rapidez tangencial es v_t = r|ω|.
• El vector velocidad es tangente a la trayectoria y perpendicular al radio.
• Todos los puntos de un cuerpo rígido comparten ω, pero v_t aumenta con r.
• En giro uniforme, v_t = 2πr/T = 2πrf.
• La forma vectorial es v⃗ = ω⃗ × r⃗.
• Si el centro se traslada, su velocidad se suma vectorialmente a la debida a la rotación.

En el próximo tema estudiaremos la aceleración angular, que describe cómo cambia la velocidad angular con el tiempo.