7. Aceleración angular media e instantánea

7.1 Cuando cambia el ritmo de giro

La velocidad angular describe la rapidez y el sentido con que cambia una orientación. En muchas situaciones ese valor no permanece constante: un ventilador acelera al encenderse, un disco reduce su giro por rozamiento y un motor puede invertir el sentido.

Para describir esos cambios usamos la aceleración angular, simbolizada con la letra griega alfa, α.

7.2 Aceleración angular media

Si la velocidad angular cambia desde ω_i hasta ω_f durante un intervalo Δt, definimos:

Por ejemplo, si ω pasa de 2 rad/s a 8 rad/s en 3 s, Δω = 6 rad/s y α_media = 2 rad/s². Esto significa que, en promedio, la velocidad angular aumenta 2 rad/s durante cada segundo.

El cociente resume el intervalo completo. No prueba que el cambio haya sido uniforme dentro de él.

7.3 Unidad y dimensión

Dividimos una velocidad angular en rad/s por un tiempo en segundos:

El radián es adimensional, pero conviene conservarlo para distinguir α de otras tasas de cambio. Leer 3 rad/s² como “tres radianes por segundo por cada segundo” ayuda a interpretar la unidad.

7.4 Aceleración angular instantánea

La aceleración angular media pertenece a un intervalo. Para describir el cambio en un instante usamos intervalos cada vez más pequeños:

Con notación diferencial, α = dω/dt. En mediciones y programas no disponemos de intervalos nulos: aproximamos el valor instantáneo comparando muestras cercanas.

Un intervalo menor ofrece más detalle temporal, pero puede amplificar ruido de sensores y errores de redondeo. La escala adecuada depende del fenómeno.

7.5 El signo de α

El signo de α indica hacia qué lado cambia ω:

• α > 0 significa que ω se desplaza hacia valores más positivos;
• α < 0 significa que ω se desplaza hacia valores más negativos;
• α = 0 significa que ω no cambia en ese intervalo o instante.

Esto no equivale automáticamente a “acelerar” o “frenar”. Para saber si aumenta la rapidez angular |ω| debemos comparar los signos de ω y α.

7.6 Aumentar o disminuir la rapidez angular

7.7 Detenerse e invertir el sentido

Si un cuerpo posee ω positiva y α negativa durante suficiente tiempo, su velocidad angular puede llegar a cero. Si α continúa actuando, ω se vuelve negativa y el cuerpo comienza a girar en sentido horario.

En el instante de la detención, ω = 0, pero α puede ser distinta de cero. Reposo angular instantáneo no implica ausencia de aceleración, del mismo modo que un objeto lanzado verticalmente puede tener velocidad cero en su punto más alto y seguir acelerado.

7.8 Interpretar el gráfico de ω frente a t

En un gráfico ω(t), la pendiente representa la aceleración angular:

• recta creciente: α positiva y constante;
• recta decreciente: α negativa y constante;
• línea horizontal: α = 0;
• curva: α cambia con el tiempo.

Que la gráfica esté debajo de cero indica ω negativa, no α negativa. Para conocer α debemos mirar la pendiente, no solamente la posición vertical.

El área con signo bajo una gráfica α(t) representa el cambio de velocidad angular Δω, una relación que utilizaremos al integrar movimientos en temas posteriores.

7.9 Relación cualitativa con θ(t)

La pendiente de θ(t) es ω. Si esa pendiente se vuelve cada vez mayor, α es positiva; si disminuye, α es negativa. Una curva de posición angular contiene así información sobre velocidad y aceleración.

7.10 Estimar α a partir de datos

Con muestras discretas podemos aproximar la aceleración alrededor del instante t_i. Una diferencia hacia adelante usa:

Si disponemos de una muestra anterior y otra posterior igualmente separadas, una diferencia central suele dar una mejor aproximación:

Las marcas de tiempo reales deben utilizarse si el muestreo no es perfectamente uniforme.

7.11 Magnitud común al cuerpo rígido

En una rotación alrededor de un eje fijo, todos los puntos del cuerpo rígido comparten ω y también α. Sin embargo, el cambio de velocidad lineal tangencial depende del radio.

Más adelante veremos que el módulo de la aceleración tangencial es proporcional a r|α|. Por ello un punto del borde cambia su velocidad lineal más rápidamente que uno cercano al eje, aunque ambos compartan la misma aceleración angular.

7.12 Dirección vectorial

En tres dimensiones, α⃗ describe el cambio de ω⃗. Para un eje fijo, ambos vectores se encuentran sobre el eje: si tienen igual sentido aumenta |ω| y si tienen sentidos opuestos disminuye.

En problemas planos basta usar valores con signo, siempre que declaremos el sentido positivo. No debemos dibujar α como un vector tangente a la circunferencia: la aceleración angular se asocia con el eje.

7.13 Actividad interactiva: compará ω inicial y final

Elegí dos velocidades angulares y la duración del cambio. El gráfico une los estados extremos y muestra la aceleración angular media.

Probá valores con signos opuestos. Un cambio que atraviesa ω = 0 incluye una detención y una inversión; el cociente sigue siendo una media del intervalo completo.

7.14 Calcular y clasificar con JavaScript

function aceleracionAngularMedia(omegaInicial, omegaFinal, intervaloS) {
  if (intervaloS <= 0) {
    throw new RangeError("El intervalo debe ser positivo");
  }
  return (omegaFinal - omegaInicial) / intervaloS;
}

function cambiaRapidez(omega, alfa) {
  if (alfa === 0) return "rapidez constante";
  if (omega === 0) return "comienza a girar";
  return Math.sign(omega) === Math.sign(alfa)
    ? "aumenta la rapidez"
    : "disminuye la rapidez";
}

const alfa = aceleracionAngularMedia(-6, -2, 2);
console.log(alfa);                   // +2 rad/s²
console.log(cambiaRapidez(-6, alfa)); // disminuye la rapidez

Aunque α es positiva en el ejemplo, el módulo de ω disminuye de 6 a 2 rad/s. Esta es la razón para no usar el signo de α como sinónimo de acelerar o frenar.

7.15 Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: aumento antihorario

ω cambia de +1 a +7 rad/s en 3 s:

ω y α son positivas: aumenta la rapidez angular.

Ejemplo 2: frenado horario

ω cambia de −10 a −4 rad/s en 2 s:

Los signos son opuestos: disminuye |ω|.

Ejemplo 3: inversión

ω pasa de +3 a −5 rad/s en 4 s:

El intervalo incluye un cambio de sentido. La aceleración media no informa cuándo ocurrió la detención.

7.16 Errores frecuentes y ejercicios

Errores frecuentes

• confundir α positiva con aumento de rapidez;
• restar ω sin respetar sus signos;
• dividir por el tiempo final en vez de por Δt;
• usar rad/s como unidad de α en lugar de rad/s²;
• suponer que α media fue constante;
• creer que ω = 0 obliga a que α = 0;
• leer la altura de ω(t) en lugar de su pendiente;
• dibujar α tangente a la trayectoria.

Ejercicios propuestos

1. ω cambia de 2 a 14 rad/s en 4 s. Calculá α_media.
2. ω cambia de −3 a −9 rad/s en 2 s. Calculá α y decidí si aumenta |ω|.
3. ω cambia de −8 a −2 rad/s en 3 s. Interpretá los signos.
4. Un rotor pasa de +5 a −5 rad/s en 2,5 s. Calculá la media e indicá qué información falta.
5. ¿Puede un cuerpo tener ω = 0 y α ≠ 0? Explicá.
6. Tres muestras igualmente separadas son ω = 1, 2,2 y 3,8 rad/s en t = 0, 0,5 y 1 s. Estimá α en t = 0,5 s mediante diferencia central.
7. Dos puntos de un disco se encuentran a radios diferentes. Compará sus α.

7.17 Ideas para recordar

• α_media = Δω/Δt mide el cambio medio de velocidad angular.
• La aceleración angular instantánea es la tasa de cambio local de ω.
• Su unidad SI es rad/s².
• El signo de α indica cómo cambia ω, no por sí solo cómo cambia |ω|.
• Igual signo de ω y α aumenta la rapidez; signos opuestos la reducen.
• En un gráfico ω(t), la pendiente representa α.
• Todos los puntos de un cuerpo rígido comparten α.

En el próximo tema estudiaremos la rotación con velocidad angular constante, el caso en que α = 0.