8. Rotación con velocidad angular constante

8.1 Qué significa rotación uniforme

Una rotación tiene velocidad angular constante cuando ω mantiene el mismo valor y signo a lo largo del tiempo. El cuerpo recorre ángulos iguales durante intervalos iguales.

Si ω = 2 rad/s, cada segundo agrega 2 rad al ángulo acumulado. Si ω = −2 rad/s, cada segundo agrega −2 rad: el ritmo tiene el mismo módulo, pero el giro ocurre en sentido horario.

Que α = 0 no significa que los puntos del cuerpo carezcan de aceleración lineal: la dirección de sus velocidades tangenciales continúa cambiando. Esa aceleración radial se estudiará en el tema 13.

8.2 Ecuación de la posición angular

La definición ω = Δθ/Δt puede reorganizarse cuando ω es constante:

Como Δθ = θ − θ₀:

Si elegimos t₀ = 0, queda θ(t) = θ₀ + ωt. Esta ecuación entrega un ángulo acumulado y conserva las vueltas completas.

8.3 Interpretar cada término

Las unidades deben ser compatibles: si ω está en rad/s, el intervalo se expresa en segundos y los ángulos en radianes.

8.4 Signos y sentido de giro

Con el sentido antihorario positivo, una ω positiva hace crecer θ y una ω negativa lo hace disminuir. La orientación inicial puede poseer cualquier signo sin determinar el sentido de movimiento.

Por ejemplo, θ₀ = −1 rad solo indica una orientación equivalente a 2π − 1 rad. Si ω = +0,5 rad/s, el cuerpo gira en sentido antihorario aunque el ángulo inicial sea negativo.

8.5 Ángulo acumulado y orientación normalizada

Después de varias vueltas, θ puede superar 2π o ser menor que −2π. Ese valor acumulado sirve para calcular desplazamientos y vueltas. Para dibujar una orientación solemos normalizarlo al intervalo [0, 2π):

Con θ = 9π/2 rad, la orientación normalizada es π/2 rad. La flecha apunta hacia arriba, pero el valor acumulado informa que hubo dos vueltas y un cuarto desde cero.

8.6 Número de vueltas

Durante un intervalo, el número de vueltas con signo es:

El módulo |N| indica cuántas vueltas o fracciones de vuelta se recorrieron; el signo conserva el sentido. Con ω = −π rad/s durante 5 s, N = −2,5 vueltas.

Si buscamos solo vueltas completas terminadas, debemos distinguir entre el valor continuo 2,5 y el conteo entero 2.

8.7 Período y frecuencia constantes

Una velocidad angular constante distinta de cero produce vueltas de igual duración:

El período y la frecuencia usan el módulo porque suelen expresarse como cantidades positivas. El signo de ω se informa por separado para indicar el sentido.

Si ω = 0, no se completan vueltas. La frecuencia es cero y no existe un período finito: no corresponde informar T = 0.

8.8 Gráficos del movimiento uniforme

Un gráfico de orientación normalizada tiene saltos al pasar entre 2π y 0. Esos saltos no representan cambios físicos instantáneos; desaparecen al graficar θ acumulado.

8.9 Determinar el tiempo de un giro

Si conocemos un desplazamiento compatible con el sentido de ω:

El resultado físico debe ser no negativo. Si Δθ y ω tienen signos opuestos, los datos describen sentidos incompatibles o se eligió una vuelta equivocada.

Para recorrer un ángulo de módulo φ sin importar el sentido usamos Δt = φ/|ω|.

8.10 Cuándo se alcanza una orientación

Una misma orientación se repite cada vuelta. Si buscamos cuándo se alcanza θ_objetivo, debemos considerar toda la familia:

El entero k selecciona una vuelta posible. Calculamos los tiempos y conservamos aquellos con Δt ≥ 0. El “primer instante” corresponde al menor tiempo no negativo.

Por ejemplo, desde θ₀ = 0 con ω = π rad/s, la orientación π/2 aparece por primera vez a 0,5 s y vuelve a aparecer cada 2 s.

8.11 Relación con distancias lineales

Un punto a radio r recorre durante Δt:

Por tanto, su rapidez tangencial constante es v_t = r|ω|. Todos los puntos del cuerpo comparten ω y período, pero los más alejados del eje recorren mayor distancia y tienen mayor rapidez lineal.

8.12 Alcance y límites del modelo

La rotación uniforme es una idealización útil cuando las variaciones de ω son despreciables durante el intervalo estudiado. Puede describir aproximadamente un motor estabilizado o una plataforma controlada.

No debe aplicarse durante el arranque, el frenado o una perturbación que cambie ω. Tampoco explica qué fuerzas o torques mantienen el movimiento: es un modelo cinemático, no dinámico.

8.13 Actividad interactiva: evolución angular

Elegí θ₀, ω y un instante. El disco muestra la orientación y el gráfico representa la recta θ(t) acumulada.

8.14 Resolver el modelo con JavaScript

const DOS_PI = 2 * Math.PI;

function normalizar(anguloRad) {
  return ((anguloRad % DOS_PI) + DOS_PI) % DOS_PI;
}

function rotacionUniforme({ theta0Rad, omegaRadS, tiempoS }) {
  const desplazamientoRad = omegaRadS * tiempoS;
  const thetaRad = theta0Rad + desplazamientoRad;
  return {
    desplazamientoRad,
    thetaRad,
    orientacionRad: normalizar(thetaRad),
    vueltas: desplazamientoRad / DOS_PI
  };
}

console.log(rotacionUniforme({
  theta0Rad: Math.PI / 4,
  omegaRadS: -2,
  tiempoS: 5
}));

La función calcula el estado directamente para cualquier instante: no acumula pequeños errores sumando paso tras paso. Esta solución analítica será una referencia útil cuando más adelante comparemos métodos numéricos.

8.15 Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: calcular el ángulo

θ₀ = π/3, ω = 2 rad/s y t = 4 s:

Ejemplo 2: giro horario

Desde θ₀ = π, un disco gira con ω = −π/2 rad/s durante 6 s:

La orientación final normalizada es 0 rad y el desplazamiento corresponde a −1,5 vueltas.

Ejemplo 3: hallar ω

Un eje completa 12 vueltas positivas en 8 s:

Ejemplo 4: hallar el tiempo

Para girar 5π rad con |ω| = 2π rad/s se necesitan Δt = 2,5 s.

8.16 Errores frecuentes y ejercicios

Errores frecuentes

• omitir θ₀ al calcular la posición angular;
• usar t en lugar de t − t₀ cuando el reloj no comienza en cero;
• mezclar grados, radianes, segundos y minutos;
• normalizar antes de calcular Δθ o las vueltas;
• confundir α = 0 con ausencia de aceleración lineal;
• usar el signo de θ para decidir el sentido del giro;
• informar T = 0 cuando ω = 0;
• elegir una solución de tiempo negativa o ignorar vueltas posibles.

Ejercicios propuestos

1. Con θ₀ = 0,5 rad y ω = 3 rad/s, calculá θ a los 4 s.
2. Un disco gira con ω = −2π rad/s durante 3,5 s. Calculá Δθ y N.
3. Hallá T y f para |ω| = 5π rad/s.
4. ¿Cuánto tarda un giro de −6 rad si ω = −1,5 rad/s?
5. Desde θ₀ = π/2 se llega a θ = 9π/2 en 2 s. Hallá ω.
6. Explicá por qué el gráfico normalizado puede tener saltos aunque el giro sea uniforme.
7. Un punto a 0,4 m gira con ω = 3 rad/s durante 5 s. Calculá el arco recorrido.

8.17 Ideas para recordar

• Rotación uniforme significa ω constante y α = 0.
• La ecuación general es θ = θ₀ + ω(t − t₀).
• El signo de ω determina el sentido de giro.
• El ángulo acumulado conserva vueltas; la orientación normalizada no.
• N = ωΔt/2π expresa las vueltas con signo.
• T = 2π/|ω| y f = |ω|/2π.
• El gráfico θ(t) es una recta cuya pendiente es ω.

En el próximo tema extenderemos el modelo a la rotación con aceleración angular constante.