9. Rotación con aceleración angular constante

9.1 Un modelo para arranques y frenados

La rotación uniforme supone ω constante. Durante el arranque o frenado de una rueda, un motor o una plataforma, la velocidad angular cambia. El modelo más sencillo para describirlo considera una aceleración angular constante.

Si α = 2 rad/s², la velocidad angular aumenta algebraicamente 2 rad/s durante cada segundo. Si α = −2 rad/s², disminuye 2 rad/s por segundo.

9.2 Supuestos y variables

Trabajaremos con rotación alrededor de un eje fijo y una convención de signos mantenida durante todo el problema. Las variables son:

• θ₀: posición angular inicial;
• θ: posición angular final;
• ω₀: velocidad angular inicial;
• ω: velocidad angular final;
• α: aceleración angular constante;
• Δt = t − t₀: tiempo transcurrido.

En unidades SI usamos rad, rad/s, rad/s² y s.

9.3 Evolución de la velocidad angular

Partimos de α = Δω/Δt. Como α es constante:

La ecuación muestra que ω cambia linealmente con el tiempo. El término αΔt es el cambio de velocidad angular. Con ω₀ = 3 rad/s, α = −0,5 rad/s² y Δt = 4 s, obtenemos ω = 1 rad/s.

9.4 Velocidad angular media del intervalo

Cuando α es constante, ω(t) cambia linealmente. Su valor medio durante el intervalo es el promedio de los extremos:

Entonces el desplazamiento angular puede calcularse como:

Esta igualdad no debe usarse con cualquier movimiento variable: depende de que la aceleración angular sea constante.

9.5 Ecuación de la posición angular

Al sustituir la evolución lineal de ω en el desplazamiento se obtiene:

El término ω₀Δt representa lo que aportaría la velocidad inicial si permaneciera constante. El término ½α(Δt)² agrega el efecto acumulado de la aceleración.

El tiempo aparece al cuadrado: duplicar la duración cuadruplica el aporte de α, aunque no necesariamente el desplazamiento total si ω₀ también interviene.

9.6 Ecuación sin tiempo

Al combinar las ecuaciones anteriores podemos eliminar Δt:

Es útil cuando conocemos el cambio angular pero no el tiempo. Como aparecen cuadrados, al despejar ω debemos elegir el signo compatible con el movimiento. La ecuación determina |ω|, no siempre el sentido por sí sola.

9.7 Elegir la ecuación adecuada

Primero listamos datos e incógnitas con signos y unidades. Luego elegimos una ecuación que contenga la incógnita y solo cantidades conocidas. Memorizar fórmulas sin identificar el modelo y las variables suele producir errores.

9.8 Signos: acelerar, frenar e invertir

Si α mantiene signo opuesto a ω₀ durante suficiente tiempo, ω llega a cero y luego cambia de signo. A partir de esa detención, el cuerpo invierte el sentido y su rapidez vuelve a crecer.

9.9 Tiempo y ángulo hasta detenerse

Para encontrar la detención imponemos ω = 0:

Solo representa un tiempo futuro si el resultado es positivo. El desplazamiento hasta detenerse puede hallarse con:

Si ω₀ y α tienen signos opuestos, Δθ_det conserva el signo del movimiento inicial.

9.10 Gráficos angulares

• α(t): línea horizontal en el valor constante de α.
• ω(t): recta con pendiente α e intersección ω₀.
• θ(t): parábola cuya pendiente en cada instante es ω.

El área con signo bajo ω(t) es Δθ. En un frenado que atraviesa ω = 0, las áreas anterior y posterior tienen signos opuestos: el desplazamiento angular neto puede ser menor que la distancia angular total recorrida.

9.11 Analogía con la cinemática lineal

La analogía ayuda a organizar las ecuaciones, pero no convierte ángulos en distancias. Para relacionarlos sigue siendo necesario conocer el radio.

9.12 Alcance del modelo

Estas ecuaciones solo se aplican cuando α puede considerarse constante y el eje de rotación permanece fijo. Si el torque o el momento de inercia cambian de manera importante, α puede variar y necesitaremos métodos por tramos o integración numérica.

El modelo describe cómo gira el sistema, pero todavía no explica qué interacción produce α. Esa relación dinámica se desarrollará al estudiar torque y momento de inercia.

9.13 Actividad interactiva: construí el movimiento

Modificá el estado inicial, la aceleración y el tiempo. El disco muestra la orientación final y el gráfico representa ω(t).

9.14 Solución analítica con JavaScript

function estadoAngular({ theta0Rad, omega0RadS, alfaRadS2, tiempoS }) {
  if (tiempoS < 0) throw new RangeError("El tiempo no puede ser negativo");

  const omegaRadS = omega0RadS + alfaRadS2 * tiempoS;
  const desplazamientoRad =
    omega0RadS * tiempoS + 0.5 * alfaRadS2 * tiempoS ** 2;
  const thetaRad = theta0Rad + desplazamientoRad;
  const vuelta = 2 * Math.PI;

  return {
    omegaRadS,
    desplazamientoRad,
    thetaRad,
    orientacionRad: ((thetaRad % vuelta) + vuelta) % vuelta
  };
}

La solución calcula directamente el estado en el instante solicitado. Resulta útil como referencia exacta para verificar futuras simulaciones discretas mientras se cumpla el supuesto de α constante.

9.15 Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: arranque desde el reposo

ω₀ = 0, α = 3 rad/s² y t = 4 s:

Ejemplo 2: frenado

ω₀ = 10 rad/s y α = −2 rad/s²:

Ejemplo 3: sin conocer el tiempo

ω₀ = 2 rad/s, α = 4 rad/s² y Δθ = 6 rad:

Elegimos la raíz positiva porque el giro comienza positivo y α también es positiva.

9.16 Errores frecuentes y ejercicios

Errores frecuentes

• usar estas ecuaciones cuando α no es constante;
• olvidar el término ½ en la ecuación de posición;
• confundir tiempo final con tiempo transcurrido;
• perder los signos de ω, α o Δθ;
• elegir una raíz sin comprobar el sentido físico;
• creer que α negativa siempre significa frenado;
• normalizar θ antes de calcular el desplazamiento;
• mezclar rpm, grados y unidades SI sin convertir.

Ejercicios propuestos

1. Desde el reposo, un rotor tiene α = 2,5 rad/s² durante 6 s. Calculá ω y Δθ.
2. ω₀ = 8 rad/s y α = −1,5 rad/s² durante 4 s. Hallá el estado final.
3. Un disco pasa de 3 a 15 rad/s con α = 4 rad/s². ¿Cuánto tarda?
4. Calculá el desplazamiento del ejercicio anterior usando la velocidad media.
5. Una rueda con ω₀ = −12 rad/s frena con α = +3 rad/s². Hallá tiempo y ángulo de detención.
6. Con ω₀ = 5 rad/s, α = 2 rad/s² y Δθ = 20 rad, calculá ω sin usar el tiempo.
7. Explicá qué ocurre después de t = 2 s si ω₀ = 4 rad/s y α = −2 rad/s² continúa actuando.

9.17 Ideas para recordar

• α constante produce cambios iguales de ω en tiempos iguales.
• ω = ω₀ + αΔt.
• θ = θ₀ + ω₀Δt + ½α(Δt)².
• ω² = ω₀² + 2αΔθ elimina el tiempo.
• Para α constante, ω_media = (ω₀ + ω)/2.
• Signos opuestos de ω y α reducen inicialmente la rapidez.
• Una aceleración que continúa después de ω = 0 invierte el sentido.

En el próximo tema organizaremos estas variables mediante tablas y gráficos de posición, velocidad y aceleración angular.