10. Energía, potencia e intensidad transportadas por una onda

10.1 La energía que llega sin transportar la cuerda

Al mover el extremo de una cuerda, la mano ejerce una fuerza a lo largo de un desplazamiento y realiza trabajo. Una región distante comienza luego a moverse, aunque la materia cercana a la mano no haya viajado hasta allí.

La onda es el mecanismo mediante el cual la energía entregada por la fuente se propaga a través del sistema. Un receptor puede usarla para mover una pieza, producir calor o generar una señal eléctrica.

10.2 Fuente, medio y receptor

Un análisis energético distingue tres participantes:

• la fuente entrega energía mediante trabajo;
• el medio almacena y transmite energía entre regiones vecinas;
• el receptor absorbe parte de la energía que le llega.

En una cuerda ideal sin pérdidas, la energía que cruza una sección continúa propagándose. En una cuerda real, parte se transforma en energía interna por rozamientos y deformaciones no perfectamente elásticas.

10.3 Energía cinética local

Las pequeñas porciones del medio adquieren velocidad cuando pasa la onda. Por tener masa y movimiento, poseen energía cinética.

En una cuerda de densidad lineal μ, un tramo pequeño de longitud Δx tiene masa aproximada μΔx. Si su rapidez transversal instantánea es vy, su energía cinética es:

Esta velocidad local no es la rapidez de propagación de la onda. Puede cambiar de sentido mientras el patrón continúa avanzando en la misma dirección.

10.4 Energía potencial elástica

Una cuerda deformada tiene tramos inclinados y ligeramente estirados respecto de la configuración recta. La tensión realiza trabajo al cambiar esa deformación, por lo que asociamos una energía potencial elástica con la forma local.

Durante el movimiento, la energía se intercambia entre formas cinética y potencial. Además, las fuerzas entre tramos vecinos transfieren energía a lo largo de la cuerda.

No debemos imaginar paquetes materiales de energía pegados a una partícula. La energía es una propiedad del estado y puede fluir a través de regiones sucesivas.

10.5 Energía por unidad de longitud

Para comparar regiones de una cuerda resulta útil definir una densidad lineal de energía: energía por unidad de longitud. Su unidad es joule por metro (J/m).

En una onda sinusoidal transversal ideal, el promedio temporal de la energía total por unidad de longitud es:

A es la amplitud, ω la frecuencia angular y μ la masa por longitud. La barra indica un promedio sobre un ciclo. La fórmula supone perturbaciones pequeñas y una onda sinusoidal progresiva.

10.6 De energía por longitud a potencia

Si una región de longitud vΔt atraviesa una posición durante el intervalo Δt, la energía media asociada con esa región es:

Dividiendo por Δt obtenemos la energía transferida por unidad de tiempo:

La energía por longitud indica cuánto contiene, en promedio, cada metro del patrón. Multiplicarla por los metros que pasan por segundo produce joules por segundo.

10.7 Potencia media en una cuerda

Sustituyendo la densidad lineal de energía:

La potencia media se mide en watts (W), equivalentes a joules por segundo. La fórmula muestra que la transferencia depende de:

• la densidad lineal μ;
• el cuadrado de la frecuencia angular ω²;
• el cuadrado de la amplitud A²;
• la rapidez de propagación v.

Como v = √(FT/μ), los parámetros no son todos independientes cuando describimos una misma cuerda.

10.8 Dependencia cuadrática con la amplitud

Si mantenemos los demás parámetros constantes, la potencia media es proporcional a A²:

Duplicar la altura visual de la onda no duplica la energía transmitida: la cuadruplica dentro del modelo lineal.

10.9 Dependencia con la frecuencia

Como ω = 2πf, la potencia media también es proporcional a f² si A, μ y v permanecen constantes:

Duplicar f multiplica P̄ por cuatro. Este resultado supone que la fuente mantiene la misma amplitud a la nueva frecuencia, algo que puede requerir más capacidad de trabajo.

En un dispositivo real, la amplitud puede disminuir cuando aumenta la frecuencia. No debemos aplicar la proporción f² si cambian simultáneamente otros parámetros.

10.10 Influencia de la cuerda

Sustituyendo v = √(FT/μ) en la potencia:

Si A y f se mantienen, aumentar la tensión eleva la potencia media con la raíz cuadrada de F_T. Aumentar μ también eleva esta expresión, aunque reduce la rapidez.

Esto no significa que una cuerda más pesada cree energía. La fuente debe realizar el trabajo necesario para sostener la amplitud y la frecuencia indicadas.

10.11 Pulso y onda periódica

Para un pulso aislado suele interesar la energía total que transporta. Para una onda periódica sostenida resulta más útil la potencia media, porque la fuente continúa entregando energía ciclo tras ciclo.

10.12 Intensidad

Cuando la onda se propaga a través de una superficie, definimos la intensidad media I como la potencia media que atraviesa una unidad de área perpendicular a la propagación:

Usamos S para el área y evitamos confundirla con la amplitud A. La unidad SI es W/m².

Una cuerda es un modelo esencialmente unidimensional, por lo que solemos hablar directamente de potencia. La intensidad cobra especial importancia para ondas que se expanden en dos o tres dimensiones, como el sonido.

10.13 Potencia e intensidad no son energía

Las tres cantidades responden preguntas diferentes:

• energía: ¿cuánto se transfirió en total?;
• potencia: ¿con qué rapidez se transfiere?;
• intensidad: ¿cómo se distribuye la potencia sobre un área?

Una fuente de baja potencia funcionando durante mucho tiempo puede transferir más energía total que una fuente potente activa durante un instante.

10.14 Balance de energía y pérdidas

En un medio ideal, la potencia que entra en una región coincide con la que sale si no cambia la energía almacenada. En un medio real, parte puede transformarse en energía interna:

Si la onda pierde energía al avanzar, su amplitud disminuye. Esa atenuación no contradice la conservación de la energía: la energía mecánica ordenada se transforma en otras formas.

La absorción y la atenuación durante la propagación se estudiarán con mayor detalle más adelante.

10.15 Comprobación de unidades

Para la potencia media en una cuerda:

Para la densidad lineal de energía:

Un newton es equivalente a joule por metro, por lo que el resultado es consistente.

10.16 Ejemplo numérico

Una cuerda tiene μ = 0,050 kg/m, una tensión de 20 N, amplitud A = 0,10 m y frecuencia f = 1 Hz.

La potencia media es:

Si la amplitud aumenta a 0,20 m sin cambiar lo demás, la potencia se cuadruplica hasta aproximadamente 0,790 W.

10.17 Calcular potencia e intensidad con JavaScript

Una función puede calcular las magnitudes y validar que los datos representen cantidades físicas positivas.

function transporteEnCuerda({ muKgM, tensionN, amplitudM, frecuenciaHz }) {
  if ([muKgM, tensionN, amplitudM, frecuenciaHz].some(valor => valor <= 0)) {
    throw new Error("Los parámetros deben ser positivos");
  }

  const rapidezMps = Math.sqrt(tensionN / muKgM);
  const omegaRadS = 2 * Math.PI * frecuenciaHz;
  const energiaMediaJm = 0.5 * muKgM * omegaRadS ** 2 * amplitudM ** 2;
  const potenciaMediaW = energiaMediaJm * rapidezMps;

  return { rapidezMps, omegaRadS, energiaMediaJm, potenciaMediaW };
}

const resultado = transporteEnCuerda({
  muKgM: 0.05,
  tensionN: 20,
  amplitudM: 0.1,
  frecuenciaHz: 1
});

const redondeado = Object.fromEntries(
  Object.entries(resultado).map(([clave, valor]) => [clave, Number(valor.toFixed(3))])
);

console.log(redondeado);

Para una onda que atraviesa uniformemente un área S, la intensidad se obtendría con potenciaMediaW / areaM2.

10.18 Laboratorio interactivo: amplitud y potencia

El panel superior anima la onda sobre una cuerda ideal. El gráfico inferior muestra cómo cambia la potencia media al variar la amplitud, manteniendo los demás controles. El punto amarillo identifica el estado seleccionado.

• Duplicá A: la potencia se multiplica por cuatro.
• Duplicá f: si lo demás permanece fijo, la potencia también se multiplica por cuatro.
• Cambiá F_T: cambia v y, por lo tanto, el flujo de energía.
• Cambiá μ: cambia la energía por metro y también la rapidez.

10.19 Ejercicio propuesto

Una onda sinusoidal se propaga por una cuerda con μ = 0,080 kg/m y tensión de 32 N. La amplitud es 0,050 m y la frecuencia 4 Hz.

1. Calculá la rapidez de propagación.
2. Calculá la frecuencia angular.
3. Calculá la energía media por unidad de longitud.
4. Calculá la potencia media.
5. Indicá la nueva potencia si la amplitud se triplica.

const muKgM = 0.08;
const tensionN = 32;
const amplitudM = 0.05;
const frecuenciaHz = 4;

const rapidezMps = Math.sqrt(tensionN / muKgM);
const omegaRadS = 2 * Math.PI * frecuenciaHz;
const energiaMediaJm = 0.5 * muKgM * omegaRadS ** 2 * amplitudM ** 2;
const potenciaMediaW = energiaMediaJm * rapidezMps;
const potenciaTripleAmplitudW = 9 * potenciaMediaW;
const redondear = valor => Number(valor.toFixed(3));

console.log({
  rapidezMps: redondear(rapidezMps),
  omegaRadS: redondear(omegaRadS),
  energiaMediaJm: redondear(energiaMediaJm),
  potenciaMediaW: redondear(potenciaMediaW),
  potenciaTripleAmplitudW: redondear(potenciaTripleAmplitudW)
});

10.20 Ideas para recordar

• La fuente realiza trabajo y la onda transporta energía a través del medio.
• Una cuerda almacena energía cinética y potencial elástica.
• La energía media por longitud es ē = ½ μω²A².
• La potencia media de una onda sinusoidal es P̄ = ½ μω²A²v.
• La potencia es proporcional a A² y f² si los demás parámetros permanecen constantes.
• La intensidad es potencia por unidad de área: I = P̄/S.
• Energía, potencia e intensidad responden preguntas diferentes.
• Las pérdidas reducen la energía mecánica de la onda, pero no violan su conservación total.