11. Principio de superposición y suma de perturbaciones

11.1 Varias perturbaciones en el mismo medio

Dos personas pueden generar pulsos desde extremos opuestos de una cuerda. Durante un tiempo, cada pulso ocupa una región diferente; luego ambos se superponen y finalmente vuelven a separarse.

Mientras coinciden no necesitamos inventar una nueva regla para cada posible combinación. Si la cuerda responde linealmente, calculamos qué aportaría cada pulso y sumamos esos aportes.

Esta idea permite analizar desde el cruce de dos pulsos hasta señales formadas por muchas componentes.

11.2 Enunciado del principio

Sean u₁(x,t), u₂(x,t), ... las perturbaciones que producirían distintas ondas por separado. El principio de superposición establece:

La suma se realiza para la misma posición y el mismo instante. No se suman valores tomados en lugares o tiempos diferentes.

El resultado u_total es la perturbación que medimos respecto del equilibrio.

11.3 Sumar desviaciones, no valores absolutos

Las variables deben expresarse como desviaciones respecto de una referencia común. Para el sonido, por ejemplo, se suman variaciones de presión y no varias veces la presión atmosférica de equilibrio.

Si p = p₀ + Δp, dos ondas aportan:

La presión de equilibrio p₀ se agrega una sola vez. Sumar (p₀ + Δp₁) + (p₀ + Δp₂) duplicaría incorrectamente la referencia.

11.4 Suma punto por punto

Supongamos que, en cierta posición e instante, el primer pulso produce u₁ = +0,30 m y el segundo u₂ = +0,20 m. La perturbación observada es:

En otra posición los valores podrían ser diferentes. Para construir la forma completa debemos repetir la suma en todos los puntos del medio.

Gráficamente, elegimos una posición, leemos la altura con signo de cada curva y colocamos el resultado a la altura de su suma.

11.5 El signo importa

Una perturbación positiva y otra negativa se restan algebraicamente. Si u₁ = +0,40 m y u₂ = −0,15 m:

Si ambas tienen igual magnitud y signos opuestos, la suma instantánea es cero en ese punto. Esto no implica necesariamente que las ondas hayan desaparecido: cada componente puede continuar existiendo y separarse después.

11.6 Antes, durante y después del cruce

En una cuerda ideal lineal, dos pulsos que se acercan atraviesan tres etapas:

1. Antes: ocupan regiones distintas y se observan por separado.
2. Durante: sus perfiles se superponen y solo se observa la suma.
3. Después: reaparecen con sus formas y sentidos originales.

Durante el cruce no rebotan entre sí como objetos materiales. Cada onda continúa propagándose según la dinámica lineal del medio.

11.7 Los pulsos conservan su identidad matemática

Aunque el medio presenta una única perturbación total, podemos mantener separadas las funciones u₁ y u₂ en el modelo. Esto permite calcular qué forma tendría cada una si la otra no estuviera presente.

La “identidad” no significa que el material etiquete físicamente cada onda. Es una propiedad de la solución matemática lineal: la suma evoluciona como suma de soluciones individuales.

Cuando vuelven a separarse, reconocemos los mismos perfiles porque cada componente siguió su propagación.

11.8 Pulsos con igual o diferente orientación

La tabla supone que ambos perfiles tienen la misma forma y coinciden exactamente. Si sus centros o anchos no coinciden, el resultado cambia con la posición.

11.9 Superponer funciones viajeras

Un pulso que viaja hacia +x puede escribirse F(x − vt) y otro que viaja hacia −x, G(x + vt). Su superposición es:

Las formas F y G no necesitan ser iguales. Pueden tener amplitudes, signos y anchos diferentes.

También podemos sumar ondas que viajan en el mismo sentido. En todos los casos, primero se evalúa cada función en el mismo x y t, y luego se suman los resultados.

11.10 Varias fuentes y un receptor

Un sensor puede recibir ondas procedentes de varias fuentes. En un modelo lineal, su lectura es la suma de todos los aportes que han llegado en ese instante.

Cada contribución puede tener:

• una amplitud diferente;
• un retardo debido a su distancia;
• una frecuencia y fase propias;
• una atenuación distinta.

La suma de señales simples puede producir una forma compleja. Esta idea será esencial para estudiar interferencia, batidos y espectros.

11.11 Qué significa que el medio sea lineal

Un sistema es lineal dentro de un régimen si cumple dos propiedades:

1. Escalamiento: multiplicar la entrada por un factor multiplica la respuesta por el mismo factor.
2. Aditividad: la respuesta a dos entradas simultáneas es la suma de las respuestas individuales.

L representa la regla dinámica del medio. Si u₁ y u₂ son soluciones de una ecuación lineal homogénea, su combinación también es una solución.

11.12 Cuándo puede fallar la superposición simple

Muchos medios son aproximadamente lineales solo para perturbaciones pequeñas. Con amplitudes grandes pueden cambiar la tensión, la rigidez o la relación entre presión y densidad.

En un régimen no lineal pueden aparecer:

• deformación de los perfiles;
• generación de nuevas frecuencias;
• rapidez dependiente de la amplitud;
• interacciones que no se describen mediante una suma simple.

Aplicar superposición exige declarar el rango en el que el modelo lineal representa adecuadamente al sistema.

11.13 Superponer amplitudes no equivale a sumar energías

Las perturbaciones se suman linealmente, pero la energía suele depender del cuadrado de la amplitud. Para dos contribuciones:

El término cruzado 2u₁u₂ depende de la relación entre ambas ondas. Por eso la energía local de la suma no es, en general, la suma simple de las energías calculadas por separado.

Esta diferencia conduce a patrones de refuerzo y cancelación que analizaremos sistemáticamente al estudiar interferencia.

11.14 Sumar muestras discretas

En una simulación, cada onda puede almacenarse como un arreglo con valores en las mismas posiciones. La suma es elemento por elemento.

function sumarPerturbaciones(...ondas) {
  if (ondas.length === 0) return [];

  const cantidad = ondas[0].length;
  if (!ondas.every(onda => onda.length === cantidad)) {
    throw new Error("Todas las ondas deben usar la misma grilla");
  }

  return Array.from({ length: cantidad }, (_, i) =>
    ondas.reduce((suma, onda) => suma + onda[i], 0)
  );
}

const pulso1 = [0, 0.2, 0.8, 0.2, 0];
const pulso2 = [0, -0.1, -0.4, -0.1, 0];
const total = sumarPerturbaciones(pulso1, pulso2);

console.log(total); // [0, 0.1, 0.4, 0.1, 0]

Los arreglos deben corresponder a la misma grilla espacial y al mismo instante. Sumar índices de discretizaciones incompatibles carece de significado físico.

11.15 Superponer funciones sin perder componentes

Para animar pulsos conviene calcular cada contribución y el total sin sobrescribir los valores individuales:

function gaussiana(x, centro, amplitud, ancho) {
  const distancia = (x - centro) / ancho;
  return amplitud * Math.exp(-(distancia ** 2));
}

function estadoEn(x, tiempo, rapidez) {
  const u1 = gaussiana(x, 2 + rapidez * tiempo, 1, 0.7);
  const u2 = gaussiana(x, 10 - rapidez * tiempo, -0.6, 0.7);
  return { u1, u2, total: u1 + u2 };
}

console.log(estadoEn(6, 4, 1));
// En el cruce: { u1: 1, u2: -0.6, total: 0.4 }

Conservar u₁ y u₂ permite dibujar componentes, depurar el modelo y comprobar la suma.

11.16 Laboratorio interactivo: cruce de dos pulsos

El pulso 1 viaja hacia la derecha y el pulso 2 hacia la izquierda. Las líneas discontinuas muestran lo que produciría cada uno por separado; la línea amarilla continua muestra la suma observable.

• Usá amplitudes positivas: durante el cruce, la suma alcanza 1,80 m.
• Elegí +1 m y −1 m: durante la coincidencia completa, la suma es cero.
• Observá después del cruce: ambos pulsos recuperan sus perfiles.
• Cambiá la rapidez: cambia el instante de cruce, no la regla de suma.

11.17 Ejercicio propuesto

Dos pulsos triangulares coinciden completamente. El primero tiene amplitud +0,60 m y el segundo −0,25 m. Ambos tienen el mismo ancho y forma.

1. Calculá la amplitud de la suma durante la coincidencia.
2. Indicá la orientación del pulso resultante.
3. Explicá qué ocurre después del cruce en un medio lineal ideal.
4. Calculá el resultado si la amplitud del segundo fuera −0,60 m.
5. Explicá por qué no podemos sumar directamente las energías mediante las amplitudes.

function amplitudDuranteCoincidencia(amplitud1M, amplitud2M) {
  return amplitud1M + amplitud2M;
}

const parcialM = amplitudDuranteCoincidencia(0.6, -0.25);
const completaM = amplitudDuranteCoincidencia(0.6, -0.6);

console.log("Superposición parcial:", parcialM.toFixed(2), "m");
console.log("Cancelación instantánea:", completaM.toFixed(2), "m");

11.18 Ideas para recordar

• En un medio lineal, las perturbaciones se suman punto por punto y en el mismo instante.
• Se suman desviaciones respecto del equilibrio, no referencias absolutas repetidas.
• Los signos determinan si los aportes se refuerzan o se reducen.
• Durante el cruce se observa una única suma, pero las componentes continúan propagándose.
• La superposición requiere escalamiento y aditividad.
• El modelo puede fallar para perturbaciones grandes o respuestas no lineales.
• Sumar perturbaciones no equivale a sumar directamente energías.
• En código, todas las ondas deben evaluarse sobre la misma grilla y el mismo tiempo.