13. Reflexión, transmisión e impedancia entre medios

13.1 Una frontera cambia la propagación

Imaginemos dos cuerdas diferentes unidas y sometidas a tensión. Un pulso viaja por la primera hasta alcanzar la unión. Como las propiedades del medio cambian, la perturbación no puede continuar exactamente como antes.

En general aparecen dos nuevas ondas:

• una onda reflejada que regresa por el medio 1;
• una onda transmitida que avanza por el medio 2.

La onda que llega a la frontera se denomina incidente.

13.2 Incidencia, reflexión y transmisión

La forma de cada onda y el reparto de energía dependen de las propiedades de ambos medios y de las condiciones que deben cumplirse en la unión.

13.3 Condiciones en una unión ideal

Si dos cuerdas están unidas sin separación, el punto de unión no puede tener dos desplazamientos diferentes al mismo tiempo. El desplazamiento debe ser continuo.

Además, las fuerzas transversales ejercidas a ambos lados deben ser compatibles con el movimiento del punto de unión. Para una unión de masa despreciable, sus componentes deben equilibrarse instantáneamente.

Estas condiciones relacionan las amplitudes incidente, reflejada y transmitida. No podemos elegirlas de manera independiente.

13.4 La frecuencia se conserva en la frontera

La fuente fija el ritmo de oscilación. En una frontera estacionaria, el punto de unión debe seguir un único movimiento temporal, por lo que las ondas incidente, reflejada y transmitida tienen la misma frecuencia:

La rapidez puede ser diferente en cada medio. Como λ = v/f, la longitud de onda transmitida cambia si cambia v:

13.5 Rapideces en las dos cuerdas

Si ambas cuerdas comparten la misma tensión F_T y tienen densidades lineales μ₁ y μ₂:

La cuerda con mayor densidad lineal transmite la onda más lentamente. La frecuencia no cambia, de modo que también presenta una longitud de onda menor.

La rapidez por sí sola no determina por completo las amplitudes en la frontera. Necesitamos una cantidad que combine la respuesta dinámica del medio.

13.6 Impedancia característica

La impedancia mide la relación entre una acción aplicada y la respuesta de movimiento que produce una onda. Un medio de impedancia alta ofrece una respuesta diferente de uno de impedancia baja ante la misma perturbación.

Para ondas transversales en una cuerda ideal definimos:

Su unidad es kg/s, equivalente a N·s/m. Con igual tensión, una cuerda de mayor μ tiene mayor impedancia aunque la onda viaje más lentamente.

13.7 Coeficiente de reflexión de amplitud

Para el desplazamiento transversal de dos cuerdas ideales unidas bajo la misma tensión, definimos:

A_i es la amplitud incidente con signo y A_r la reflejada. El módulo |r| indica qué fracción de la amplitud regresa; su signo indica si el pulso de desplazamiento se invierte.

• Z₂ > Z₁ → r < 0: reflexión invertida;
• Z₂ < Z₁ → r > 0: reflexión sin inversión;
• Z₂ = Z₁ → r = 0: no hay reflexión ideal.

13.8 Coeficiente de transmisión de amplitud

Para la misma variable de desplazamiento:

La continuidad del desplazamiento en la unión produce t = 1 + r.

t puede ser mayor que 1 si la onda pasa hacia una impedancia menor. Esto no implica que la potencia transmitida supere la incidente: la potencia depende también de la impedancia del medio.

13.9 El signo de la onda reflejada

Si r es negativo, una cresta incidente produce un valle reflejado. Si r es positivo, produce una cresta reflejada.

13.10 Adaptación de impedancias

Cuando Z₁ = Z₂, los coeficientes son:

La onda pasa sin reflexión ideal aunque los medios puedan estar construidos de manera diferente. Esta condición se denomina adaptación de impedancias.

Reducir diferencias de impedancia mejora la transferencia de potencia entre sistemas. El principio se utiliza en dispositivos mecánicos, acústicos y eléctricos, aunque la definición concreta de Z depende del tipo de onda.

13.11 Extremo fijo como límite

Un soporte perfectamente rígido obliga al desplazamiento del extremo a ser cero. Puede modelarse como una impedancia de carga extremadamente grande:

La amplitud reflejada tiene la misma magnitud que la incidente y signo opuesto. Una cresta regresa como valle.

No se transmite potencia al soporte ideal si este no se mueve; toda la potencia media regresa en la onda reflejada.

13.12 Extremo libre como límite

En un extremo idealmente libre, la fuerza transversal debe anularse. Podemos asociarlo con una carga de impedancia muy pequeña:

El pulso reflejado conserva su orientación. La amplitud de desplazamiento en el extremo puede alcanzar momentáneamente el doble por superposición de la onda incidente y la reflejada.

Al igual que en el extremo fijo ideal, no hay un segundo medio que se lleve potencia; toda regresa por la cuerda.

13.13 Coeficientes de potencia

La fracción de potencia media reflejada es:

La fracción transmitida para esta unión ideal es:

Usamos 𝒯 para no confundirla con el período. En una frontera sin pérdidas:

Los coeficientes de amplitud no se suman de esa manera porque las potencias dependen del cuadrado de la amplitud y de la impedancia.

13.14 Ejemplo numérico

Dos cuerdas bajo 8 N tienen μ₁ = 1 kg/m y μ₂ = 2 kg/m:

Los coeficientes de desplazamiento son:

La reflexión está invertida. Las fracciones de potencia son R ≈ 0,029 y 𝒯 ≈ 0,971: cerca del 2,9 % se refleja y el 97,1 % se transmite.

13.15 El coeficiente depende de la variable

El signo de un coeficiente de reflexión depende de qué variable elegimos: desplazamiento, velocidad, fuerza o presión. Las fórmulas anteriores corresponden al desplazamiento transversal de una cuerda.

En acústica suele trabajarse con presión, y la convención habitual produce una expresión de signo diferente para su amplitud reflejada. La física no se contradice: distintas variables están relacionadas con orientaciones y signos propios.

13.16 Fronteras múltiples y reflexiones sucesivas

Una región finita tiene al menos dos fronteras. La onda transmitida en la primera puede reflejarse en la segunda y regresar, produciendo una secuencia de pulsos.

En cada encuentro se aplican nuevos coeficientes según el sentido y los medios involucrados. Las amplitudes suelen disminuir porque la potencia se reparte repetidamente.

Si las ondas reflejadas se superponen de manera periódica, pueden aparecer patrones estacionarios y resonancias, que se estudiarán en temas posteriores.

13.17 Límites del modelo ideal

Las fórmulas suponen una unión puntual, sin masa ni pérdidas, cuerdas flexibles, tensión común y perturbaciones pequeñas.

Una unión real puede:

• tener masa propia;
• disipar energía;
• variar gradualmente en lugar de ser abrupta;
• convertir parte del movimiento en otros tipos de onda;
• presentar una respuesta dependiente de la frecuencia.

En esos casos, R + 𝒯 puede ser menor que 1 para las ondas consideradas porque parte de la potencia se disipa o se transfiere a modos no incluidos.

13.18 Calcular coeficientes con JavaScript

Podemos obtener velocidades, impedancias y coeficientes a partir de las propiedades de ambas cuerdas.

function fronteraCuerdas(tensionN, mu1KgM, mu2KgM) {
  if ([tensionN, mu1KgM, mu2KgM].some(valor => valor <= 0)) {
    throw new Error("Los parámetros deben ser positivos");
  }

  const v1Mps = Math.sqrt(tensionN / mu1KgM);
  const v2Mps = Math.sqrt(tensionN / mu2KgM);
  const z1KgS = mu1KgM * v1Mps;
  const z2KgS = mu2KgM * v2Mps;
  const r = (z1KgS - z2KgS) / (z1KgS + z2KgS);
  const t = 2 * z1KgS / (z1KgS + z2KgS);
  const R = r ** 2;
  const Tpotencia = 4 * z1KgS * z2KgS / (z1KgS + z2KgS) ** 2;

  return { v1Mps, v2Mps, z1KgS, z2KgS, r, t, R, Tpotencia };
}

const resultado = fronteraCuerdas(8, 1, 2);
const redondeado = Object.fromEntries(
  Object.entries(resultado).map(([clave, valor]) => [clave, Number(valor.toFixed(3))])
);

console.log(redondeado);

La comprobación R + Tpotencia debe dar 1 dentro de la tolerancia numérica.

13.19 Laboratorio interactivo: un pulso en la unión

Un pulso positivo parte del medio 1. Al alcanzar la unión se reemplaza, en esta visualización idealizada, por los pulsos reflejado y transmitido calculados con r y t. El grosor de cada cuerda representa cualitativamente su densidad lineal.

• Elegí μ₂ > μ₁: el pulso reflejado se invierte.
• Elegí μ₂ < μ₁: el pulso reflejado conserva su orientación.
• Igualá μ₁ y μ₂: desaparece la reflexión ideal.
• Cambiá f: cambian λ₁ y λ₂, pero no los coeficientes en este modelo.

13.20 Ejercicio propuesto

Dos cuerdas están sometidas a la misma tensión de 12 N. Sus densidades lineales son μ₁ = 0,75 kg/m y μ₂ = 3 kg/m. Una onda de 2 Hz llega desde la cuerda 1.

1. Calculá v₁ y v₂.
2. Calculá Z₁ y Z₂.
3. Calculá r y t para el desplazamiento.
4. Calculá R y 𝒯 y comprobá su suma.
5. Calculá λ₁ y λ₂ e indicá la orientación del pulso reflejado.

const tensionN = 12;
const mu1KgM = 0.75;
const mu2KgM = 3;
const frecuenciaHz = 2;

const v1Mps = Math.sqrt(tensionN / mu1KgM);
const v2Mps = Math.sqrt(tensionN / mu2KgM);
const z1KgS = mu1KgM * v1Mps;
const z2KgS = mu2KgM * v2Mps;
const r = (z1KgS - z2KgS) / (z1KgS + z2KgS);
const t = 2 * z1KgS / (z1KgS + z2KgS);
const R = r ** 2;
const Tpotencia = 4 * z1KgS * z2KgS / (z1KgS + z2KgS) ** 2;

console.log({
  v1Mps,
  v2Mps,
  z1KgS,
  z2KgS,
  r: Number(r.toFixed(3)),
  t: Number(t.toFixed(3)),
  R: Number(R.toFixed(3)),
  Tpotencia: Number(Tpotencia.toFixed(3)),
  sumaPotencias: Number((R + Tpotencia).toFixed(3)),
  lambda1M: v1Mps / frecuenciaHz,
  lambda2M: v2Mps / frecuenciaHz
});

13.21 Ideas para recordar

• En una frontera aparecen ondas reflejada y transmitida.
• La frecuencia se conserva en una frontera estacionaria; v y λ pueden cambiar.
• Para una cuerda ideal, Z = μv = √(F_Tμ).
• El coeficiente de reflexión de desplazamiento es r = (Z₁−Z₂)/(Z₁+Z₂).
• Una reflexión hacia mayor impedancia se invierte; hacia menor, no.
• Con impedancias iguales no hay reflexión ideal.
• En una frontera sin pérdidas, R + 𝒯 = 1.
• El signo del coeficiente depende de la variable física utilizada.