16.1 Un patrón que permanece en el espacio
En una onda viajera, crestas y valles se desplazan por el medio. En una onda estacionaria, la forma cambia con el tiempo, pero las posiciones características del patrón permanecen fijas.
Hay puntos que nunca se apartan del equilibrio y regiones que oscilan con amplitudes diferentes. No observamos una cresta que recorra todo el sistema; cada punto oscila alrededor de su propia posición.
El patrón surge por superposición, no porque la onda haya dejado de evolucionar.
16.2 Dos ondas viajeras opuestas
Consideremos dos ondas sinusoidales con la misma amplitud A, el mismo número de onda k y la misma frecuencia angular ω:
La primera viaja hacia valores crecientes de x y la segunda hacia valores decrecientes. Su suma produce la perturbación observable:
16.3 Ecuación de la onda estacionaria
Aplicando la identidad trigonométrica para la suma de senos obtenemos:
La ecuación queda separada en dos factores:
2A sen(kx)determina la amplitud y el signo espacial;cos(ωt)describe la oscilación temporal común.
Esta separación muestra por qué el patrón no se traslada: la dependencia espacial no contiene el tiempo.
16.4 Amplitud dependiente de la posición
Cada punto oscila con la misma frecuencia, pero su amplitud depende de x:
La amplitud local varía entre 0 y 2A. Esto contrasta con cada onda componente, cuya amplitud es A en todas las posiciones.
El valor absoluto expresa el tamaño máximo de la oscilación; el signo de sen(kx) informa la fase relativa entre distintas regiones.
16.5 Nodos
Un nodo es una posición cuya amplitud es cero. Allí las dos ondas componentes siempre se cancelan:
Como k = 2π/λ, las posiciones nodales son:
El punto material ubicado en un nodo permanece en equilibrio en el modelo ideal.
16.6 Antinodos o vientres
Un antinodo, también llamado vientre, es una posición donde la amplitud alcanza su máximo valor 2A:
Sus posiciones, para la ecuación elegida, son:
Un antinodo no es un punto permanentemente alto o bajo. Oscila entre los desplazamientos +2A y −2A.
16.7 Distancias características
| Posiciones comparadas | Distancia |
|---|---|
| Dos nodos consecutivos | λ/2 |
| Dos antinodos consecutivos | λ/2 |
| Un nodo y el antinodo vecino | λ/4 |
Midiendo la distancia d entre nodos consecutivos podemos obtener la longitud de onda:
16.8 Regiones entre nodos
El tramo comprendido entre dos nodos consecutivos se denomina vientre o lazo. Todos los puntos dentro de ese tramo oscilan en fase: alcanzan sus máximos positivos, cruzan el equilibrio y alcanzan sus máximos negativos al mismo tiempo.
Dos tramos vecinos oscilan en oposición de fase. Cuando uno se desplaza hacia un lado del equilibrio, el siguiente lo hace hacia el lado contrario.
16.9 Fotografías instantáneas del patrón
Cuando cos(ωt) = 1, el patrón alcanza una forma extrema. Un cuarto de período después, cos(ωt) = 0 y todos los puntos cruzan simultáneamente la posición de equilibrio.
Otro cuarto de período después, cos(ωt) = −1: la forma extrema aparece invertida.
| Instante | Factor temporal | Estado |
|---|---|---|
| t = 0 | cos(ωt) = 1 | Forma extrema |
| t = T/4 | cos(ωt) = 0 | Todo el sistema cruza el equilibrio |
| t = T/2 | cos(ωt) = −1 | Forma extrema invertida |
| t = 3T/4 | cos(ωt) = 0 | Nuevo cruce del equilibrio |
16.10 La envolvente
Las curvas:
delimitan todos los desplazamientos posibles. Forman una envolvente fija: toca cero en los nodos y alcanza ±2A en los antinodos.
La cuerda o el medio oscilante permanece dentro de esa región. La envolvente no representa dos ondas adicionales.
16.11 Formación mediante reflexión
Una manera habitual de producir una onda estacionaria consiste en superponer una onda incidente y su reflexión. Si ambas tienen igual frecuencia, igual amplitud y sentidos opuestos, se forma un patrón estacionario ideal.
La posición exacta de los nodos depende del cambio de fase introducido por la reflexión. Un extremo fijo y uno libre no imponen la misma condición, como se estudiará al analizar sistemas concretos.
En este tema elegimos el origen de modo que x = 0 sea un nodo.
16.12 Condiciones para un patrón ideal
Para obtener nodos perfectamente inmóviles, las ondas opuestas deben compartir:
- la misma frecuencia y longitud de onda;
- la misma velocidad en el medio;
- la misma amplitud;
- la misma dirección geométrica, pero sentidos contrarios;
- una relación de fase estable.
Si sus amplitudes son diferentes, queda una combinación de onda estacionaria y transporte neto. Los mínimos ya no alcanzan necesariamente desplazamiento cero.
16.13 Energía en una onda estacionaria
Cada onda viajera transporta energía en su sentido de propagación. En el patrón ideal, los transportes medios de ambas componentes son iguales y opuestos, por lo que el flujo neto promedio es cero.
La energía no desaparece: se intercambia localmente entre formas cinética y potencial. En distintos instantes se concentra de manera diferente dentro de cada región delimitada por nodos.
Una onda estacionaria perfecta almacena energía en el patrón, pero no la transporta en promedio de un extremo al otro.
16.14 Onda viajera frente a onda estacionaria
| Característica | Onda viajera | Onda estacionaria ideal |
|---|---|---|
| Patrón | Se desplaza | Permanece fijo |
| Amplitud | Igual en cada posición, sin pérdidas | Depende de la posición |
| Nodos permanentes | No | Sí |
| Transporte neto medio | Distinto de cero | Cero |
| Fase espacial | Cambia continuamente con x | Igual por tramos y opuesta entre tramos vecinos |
16.15 Ejemplo resuelto
Dos ondas de amplitud A = 0,030 m y longitud de onda λ = 1,20 m forman una onda estacionaria.
Amplitud máxima:
Separación entre nodos:
Distancia desde un nodo hasta el antinodo vecino:
Si elegimos un nodo en x = 0, los siguientes nodos están en 0,60 m, 1,20 m y 1,80 m; los primeros antinodos, en 0,30 m, 0,90 m y 1,50 m.
16.16 Calcular nodos y antinodos con JavaScript
El siguiente programa obtiene las posiciones dentro de un tramo de longitud determinada.
function posicionesEstacionarias(longitudOnda, longitudTramo) {
const nodos = [];
const antinodos = [];
const tolerancia = 1e-10;
for (let n = 0; n * longitudOnda / 2 <= longitudTramo + tolerancia; n++) {
nodos.push(Number((n * longitudOnda / 2).toFixed(3)));
}
for (let n = 0; (2 * n + 1) * longitudOnda / 4 <= longitudTramo + tolerancia; n++) {
antinodos.push(Number(((2 * n + 1) * longitudOnda / 4).toFixed(3)));
}
return {
separacionNodos: longitudOnda / 2,
nodos,
antinodos
};
}
console.log(posicionesEstacionarias(1.2, 2.4));16.17 Laboratorio interactivo de ondas estacionarias
Observá por separado las dos ondas viajeras y su suma. Modificá la amplitud, la longitud de onda y la frecuencia; los nodos permanecen fijos mientras la resultante oscila dentro de su envolvente.
Modelo: y(x,t) = 2,00 sen(3,142x) cos(3,142t).
Los puntos verdes son nodos: la interferencia los mantiene en equilibrio durante toda la oscilación.
16.18 Ejercicio resuelto: reconocer posiciones
Para una onda estacionaria con λ = 0,80 m, clasifiquemos varias posiciones como nodo, antinodo o punto intermedio.
const longitudOnda = 0.8;
const posiciones = [0, 0.2, 0.4, 0.55, 0.6, 0.8];
const k = 2 * Math.PI / longitudOnda;
const tolerancia = 1e-9;
const clasificacion = posiciones.map(x => {
const factorEspacial = Math.abs(Math.sin(k * x));
let tipo = "intermedio";
if (factorEspacial < tolerancia) {
tipo = "nodo";
} else if (Math.abs(factorEspacial - 1) < tolerancia) {
tipo = "antinodo";
}
return { x, tipo };
});
console.log(clasificacion);Los nodos aparecen cada 0,40 m y los antinodos a mitad de camino, cada 0,20 m desde el nodo más cercano.
16.19 Errores frecuentes
- Creer que una onda estacionaria no cambia con el tiempo.
- Confundir un nodo con un punto que solo cruza momentáneamente el equilibrio.
- Suponer que un antinodo permanece siempre en el máximo desplazamiento.
- Usar λ como separación entre nodos consecutivos en lugar de λ/2.
- Interpretar la envolvente como otra onda física.
- Olvidar que el patrón ideal requiere ondas opuestas con iguales amplitudes y frecuencias.
- Afirmar que no hay energía porque el transporte neto promedio es cero.
16.20 Síntesis
- Una onda estacionaria ideal resulta de dos ondas iguales que viajan en sentidos opuestos.
- Su ecuación puede escribirse como
y = 2A sen(kx) cos(ωt). - Los nodos tienen amplitud cero y los antinodos amplitud máxima 2A.
- Dos nodos o antinodos consecutivos están separados por λ/2.
- Un nodo y el antinodo vecino están separados por λ/4.
- Los tramos vecinos oscilan con una diferencia de fase de 180°.
- El flujo medio neto de energía es cero, aunque el sistema almacena energía.
16.21 Ejercicio propuesto
Una onda estacionaria tiene longitud de onda de 0,80 m y un nodo en x = 0.
- Ubicá los primeros cinco nodos, incluido el origen.
- Ubicá los primeros cuatro antinodos.
- Calculá la separación entre nodos consecutivos y entre un nodo y el antinodo más próximo.
Ver solución y explicación
Los nodos están separados por λ/2 = 0,40 m: 0; 0,40; 0,80; 1,20 y 1,60 m. Los antinodos quedan a mitad de camino: 0,20; 0,60; 1,00 y 1,40 m.
La distancia de un nodo al antinodo vecino es λ/4 = 0,20 m.
16.22 Ideas para recordar
- Una onda estacionaria surge de la superposición de ondas de igual frecuencia que viajan en sentidos opuestos.
- Los nodos permanecen con amplitud nula y los antinodos alcanzan amplitud máxima.
- Dos nodos consecutivos están separados por
λ/2. - Entre un nodo y el antinodo vecino hay
λ/4. - El patrón no transporta energía neta como una única onda viajera ideal.