17.1 De cualquier perturbación a patrones preferidos
Un sistema capaz de propagar ondas y limitado en el espacio puede adoptar muchos estados instantáneos, pero no todos mantienen una forma estable mientras oscilan.
Ciertos patrones espaciales satisfacen simultáneamente la ecuación de onda y las restricciones de los límites. Esos patrones se denominan modos normales.
Cada modo evoluciona con una frecuencia propia y constituye una pieza elemental para describir movimientos más complejos.
17.2 Condiciones de contorno
Las condiciones de contorno indican qué debe ocurrir en los bordes del sistema. Un extremo podría estar obligado a permanecer inmóvil, quedar libre para moverse o conectarse con otro medio.
Estas condiciones descartan los patrones incompatibles. Por ejemplo, si un punto del borde debe permanecer en equilibrio, cualquier modo permitido debe tener allí desplazamiento cero.
La geometría, el tamaño y el tipo de límite participan en la selección de los modos.
17.3 Qué es un modo normal
En un modo normal ideal, todos los puntos oscilan con una única frecuencia y conservan relaciones de amplitud y fase fijas. La forma espacial no se traslada ni se deforma; solo cambia un factor temporal común.
ψₙ(x)es la forma espacial del modo;qₙ(t)es su coordenada o amplitud temporal;- n identifica el modo.
17.4 Frecuencia natural
La frecuencia natural fₙ es la frecuencia con la que un modo oscila libremente después de ser perturbado. En el caso ideal sin pérdidas:
Las frecuencias naturales dependen de las propiedades físicas, la geometría y las condiciones de contorno. No dependen de la amplitud inicial mientras el sistema permanezca en el régimen lineal.
17.5 Modo fundamental y modos superiores
El modo permitido de menor frecuencia se denomina modo fundamental. Los demás son modos superiores.
Los modos superiores suelen presentar más cambios espaciales, más nodos internos y longitudes características menores. Sin embargo, sus frecuencias no tienen que ser múltiplos enteros de la fundamental en cualquier sistema.
17.6 Frecuencias naturales y armónicos no son sinónimos
Una frecuencia es armónica de una fundamental f₁ cuando vale un múltiplo entero: 2f₁, 3f₁, 4f₁, etc.
Algunos sistemas ideales tienen espectros armónicos. Otros poseen frecuencias naturales que no siguen esa serie. Por eso es más general hablar de modos normales y frecuencias naturales.
Los sistemas concretos de los próximos temas permitirán determinar cuándo aparece una serie armónica y cuándo no.
17.7 Superposición modal
En un sistema lineal, un movimiento complejo puede expresarse como suma de modos normales:
Los coeficientes Cₙ indican cuánto participa cada modo. La forma inicial y la velocidad inicial determinan esos valores.
Esta descomposición transforma un problema extendido en un conjunto de oscilaciones modales más sencillas.
17.8 Excitar un modo selectivamente
No basta con aplicar una fuerza de la frecuencia adecuada. Su distribución espacial también debe acoplarse con la forma del modo.
Una acción aplicada exactamente en un nodo de cierto modo tiene poco efecto sobre él, porque ese punto no se mueve en ese patrón. Una acción cerca de un antinodo suele acoplarse con mayor eficacia.
La respuesta depende entonces de dos coincidencias: una temporal, relacionada con la frecuencia, y otra espacial, relacionada con la forma modal.
17.9 Excitación periódica
Supongamos que una acción externa varía sinusoidalmente con frecuencia f:
La respuesta contiene una etapa transitoria, influida por las condiciones iniciales, y una respuesta estacionaria que sigue la frecuencia de la excitación.
Si f queda lejos de todas las frecuencias naturales, la amplitud suele ser moderada. Al acercarse a una frecuencia natural compatible, la respuesta puede crecer notablemente.
17.10 Resonancia
La resonancia es el aumento de la respuesta cuando una excitación periódica actúa cerca de una frecuencia natural:
La fuerza agrega energía en momentos favorables del ciclo. Si esa transferencia supera las pérdidas, la amplitud crece durante el transitorio hasta alcanzar un régimen limitado por el amortiguamiento y las no linealidades.
Resonancia no significa que la frecuencia de excitación deba ser matemáticamente idéntica en un sistema real amortiguado; describe una región de respuesta elevada.
17.11 Modelo de respuesta de un modo
Cada modo puede aproximarse mediante un oscilador forzado. Si definimos el cociente r = f/fₙ y una razón de amortiguamiento ζ, una ganancia normalizada de amplitud es:
G compara la amplitud dinámica con una escala de respuesta estática. El modelo muestra un máximo cerca de r = 1 y una reducción de la respuesta lejos de la resonancia.
17.12 El amortiguamiento limita la amplitud
Sin pérdidas y bajo excitación exactamente resonante, el modelo lineal ideal predice un crecimiento continuo de amplitud. Ningún sistema real se comporta así indefinidamente.
El amortiguamiento transforma parte de la energía mecánica y limita la respuesta estacionaria:
- menor ζ → pico más alto y estrecho;
- mayor ζ → pico más bajo y ancho.
Además, las deformaciones grandes pueden hacer que el sistema deje de ser lineal.
17.13 Desfase de la respuesta
La respuesta estacionaria no siempre alcanza sus máximos al mismo tiempo que la excitación. El desfase modal puede expresarse como:
Para frecuencias muy inferiores a fₙ, la respuesta está casi en fase. Cerca de la resonancia, el desfase se aproxima a 90°. Muy por encima, se acerca a 180°.
atan2 permite conservar correctamente el cuadrante del ángulo.
17.14 Curva de respuesta en frecuencia
Una curva de respuesta representa la amplitud frente a la frecuencia de excitación. Cada pico revela una región asociada con un modo que puede ser excitado por la acción aplicada y observado por la medición.
Un modo puede existir y, aun así, aparecer débilmente en una medición si la fuente o el sensor se ubican cerca de uno de sus nodos.
Por eso un espectro medido depende tanto del sistema como de la forma de excitarlo y observarlo.
17.15 Ancho de banda y factor de calidad
Un pico resonante puede caracterizarse mediante su frecuencia central fₙ y un ancho de banda Δf medido entre puntos de referencia de la respuesta.
Un factor de calidad Q alto indica una resonancia estrecha y pérdidas pequeñas. Un Q bajo corresponde a una respuesta más ancha y amortiguada.
La definición exacta del ancho de banda requiere especificar qué magnitud se mide y qué nivel se utiliza como referencia.
17.16 Ejemplo resuelto
Un modo tiene frecuencia natural fₙ = 3 Hz y razón de amortiguamiento ζ = 0,10. Se lo excita a f = 2,7 Hz.
La excitación está cerca de la frecuencia natural y la ganancia es elevada. El desfase calculado con atan2 es aproximadamente 43,5°.
17.17 Analizar la respuesta modal con JavaScript
function respuestaModal(frecuencia, frecuenciaNatural, amortiguamiento) {
const r = frecuencia / frecuenciaNatural;
const denominador = Math.sqrt(
(1 - r ** 2) ** 2 + (2 * amortiguamiento * r) ** 2
);
const ganancia = 1 / denominador;
const fase = Math.atan2(
2 * amortiguamiento * r,
1 - r ** 2
) * 180 / Math.PI;
return {
cocienteFrecuencias: Number(r.toFixed(3)),
ganancia: Number(ganancia.toFixed(3)),
faseGrados: Number(fase.toFixed(2))
};
}
console.log(respuestaModal(2.7, 3, 0.1));El resultado informa cuánto se amplifica el modo y cuánto se retrasa su respuesta respecto de la acción periódica.
17.18 Laboratorio interactivo de resonancia modal
Seleccioná un modo abstracto y recorré la frecuencia de excitación. La parte superior muestra su forma espacial; la inferior, la curva de respuesta y la posición de la excitación.
Para aislar el efecto de la resonancia, el laboratorio adopta la serie idealizada fₙ = n · 1,2 Hz. Es una elección del modelo visual, no una regla válida para todos los sistemas.
Modo 2: f₂ = 2,40 Hz; la excitación actúa a 2,20 Hz.
La frecuencia aplicada está cerca de la natural y produce una respuesta modal elevada.
17.19 Ejercicio resuelto: localizar el modo más cercano
Un sistema posee frecuencias naturales de 1,2 Hz, 2,5 Hz, 4,1 Hz y 6,0 Hz. Busquemos qué modo queda más cerca de una excitación de 3,8 Hz.
const frecuenciasNaturales = [1.2, 2.5, 4.1, 6.0];
const frecuenciaAplicada = 3.8;
const candidatos = frecuenciasNaturales.map((frecuenciaNatural, indice) => ({
modo: indice + 1,
frecuenciaNatural,
diferencia: Math.abs(frecuenciaAplicada - frecuenciaNatural)
}));
const masCercano = candidatos.reduce((mejor, actual) =>
actual.diferencia < mejor.diferencia ? actual : mejor
);
console.log({
frecuenciaAplicada,
modoMasCercano: masCercano.modo,
frecuenciaNatural: masCercano.frecuenciaNatural,
diferenciaHz: Number(masCercano.diferencia.toFixed(2))
});El modo 3, de 4,1 Hz, es el más próximo. Esto sugiere una respuesta importante, pero para cuantificarla todavía necesitamos conocer el amortiguamiento y el acoplamiento espacial.
17.20 Errores frecuentes
- Confundir un modo normal con una fotografía instantánea cualquiera.
- Suponer que todas las frecuencias naturales son armónicos enteros.
- Afirmar que una frecuencia cercana garantiza gran respuesta sin considerar el amortiguamiento.
- Ignorar dónde y cómo se aplica la excitación.
- Interpretar una amplitud grande como una creación de energía.
- Usar el modelo lineal para amplitudes tan grandes que cambian las propiedades del sistema.
- Confundir la frecuencia natural del modo con la frecuencia que presenta la respuesta estacionaria forzada.
17.21 Síntesis
- Los modos normales son patrones compatibles con la dinámica y las condiciones de contorno.
- Cada modo posee una forma espacial y una frecuencia natural.
- Un movimiento lineal complejo puede expresarse como superposición de modos.
- La resonancia aparece al excitar cerca de una frecuencia natural compatible.
- El amortiguamiento reduce y ensancha el pico de respuesta.
- La posición de la fuente y del observador determina qué modos se excitan y detectan.
- Las frecuencias naturales no siempre forman una serie armónica.
17.22 Ejercicio propuesto
Un sistema posee frecuencias naturales de 100 Hz, 250 Hz y 420 Hz. Se lo fuerza primero a 240 Hz y luego a 415 Hz.
- Indicá qué modo responderá con mayor intensidad en cada caso.
- Explicá cómo influye el amortiguamiento en la amplitud máxima.
- Describí qué ocurre con el ancho de la curva de resonancia al aumentar el amortiguamiento.
Ver solución y explicación
A 240 Hz domina el modo de 250 Hz; a 415 Hz, el de 420 Hz, porque son los más próximos a la frecuencia de excitación.
Un amortiguamiento mayor reduce el pico de amplitud y ensancha la respuesta en frecuencia; por eso disminuye el factor de calidad.
17.23 Ideas para recordar
- Los modos normales son patrones permitidos por las condiciones de contorno.
- Cada modo posee una frecuencia natural.
- La resonancia aparece cuando la excitación se aproxima a una frecuencia natural.
- El amortiguamiento limita la amplitud resonante.
- Un factor de calidad alto corresponde a una resonancia estrecha y selectiva.