18. Cuerdas con extremos fijos: modos y armónicos

18.1 Una cuerda limitada

Consideremos una cuerda uniforme de longitud L, densidad lineal μ y tensión F_T. Sus extremos están sujetos a soportes que no se desplazan transversalmente.

Una perturbación viaja por la cuerda, se refleja en los extremos y se superpone con otras reflexiones. Solo ciertos patrones pueden repetirse manteniendo inmóviles ambos puntos de sujeción.

Esos patrones son los modos normales de la cuerda.

18.2 Condición de extremo fijo

Si ubicamos los soportes en x = 0 y x = L, el desplazamiento transversal debe cumplir:

Ambos extremos son nodos permanentes. Una forma espacial que no se anule allí no puede ser un modo de esta cuerda ideal.

La condición geométrica selecciona valores discretos de longitud de onda, en lugar de permitir cualquier valor.

18.3 Cuántas medias longitudes caben

La distancia entre nodos consecutivos de una onda estacionaria es λ/2. Para tener nodos en ambos extremos, dentro de L debe caber un número entero n de medias longitudes de onda:

El entero n identifica el modo. No existe el modo n = 0 como oscilación de la cuerda: produciría desplazamiento nulo en todas partes.

18.4 Longitudes de onda permitidas

Despejando λ_n obtenemos:

18.5 Velocidad en la cuerda

La velocidad de las ondas transversales en una cuerda ideal es:

Una tensión mayor aumenta la velocidad. Una densidad lineal mayor la reduce. La longitud L no modifica la velocidad de propagación, aunque sí determina qué longitudes de onda caben.

La fórmula supone una cuerda flexible, uniforme y sometida a tensión constante.

18.6 Frecuencias naturales

Usando f = v/λ y las longitudes permitidas:

Al incorporar la velocidad de la cuerda:

Las frecuencias son discretas porque las condiciones de los extremos solo admiten ciertos patrones espaciales.

18.7 Frecuencia fundamental

El modo n = 1 tiene la frecuencia natural más baja:

Su forma contiene un único vientre, con nodos en los soportes y un antinodo en el centro. La longitud de la cuerda equivale a media longitud de onda.

Esta frecuencia recibe los nombres de fundamental y primer armónico.

18.8 Serie armónica

Como f_n es proporcional a n:

Los modos de la cuerda ideal con dos extremos fijos forman una serie armónica completa:

Aquí sí podemos llamar armónicos a todos los modos. Esta propiedad surge de las condiciones particulares del sistema y no es universal.

18.9 Forma matemática del modo n

Una forma conveniente de representar cada modo es:

El seno espacial vale cero en x = 0 y x = L para cualquier entero positivo n. A_n y φ_n dependen de cómo se inicia o excita el movimiento.

La frecuencia y la forma espacial no pueden elegirse de manera independiente.

18.10 Nodos del modo n

Los nodos aparecen donde sen(nπx/L) = 0:

El modo n tiene n + 1 nodos si contamos los dos extremos, y n − 1 nodos internos.

La separación entre nodos consecutivos es L/n, equivalente a λ_n/2.

18.11 Antinodos del modo n

Los antinodos se encuentran a mitad de camino entre nodos consecutivos:

El modo n posee n antinodos o vientres. Sus regiones vecinas oscilan en oposición de fase.

18.12 Primeros cuatro modos

18.13 Cómo cambia la frecuencia fundamental

La expresión de f₁ permite anticipar los efectos de cada parámetro:

• longitud: f₁ ∝ 1/L; duplicar L reduce la frecuencia a la mitad;
• tensión: f₁ ∝ √F_T; cuadruplicar la tensión duplica la frecuencia;
• densidad lineal: f₁ ∝ 1/√μ; cuadruplicar μ reduce la frecuencia a la mitad.

Estas relaciones son válidas si los demás parámetros permanecen constantes.

18.14 Excitación de los modos

Una cuerda real suele vibrar como superposición de varios modos. La forma inicial determina qué coeficientes modales son grandes o pequeños.

Si se pulsa la cuerda en una posición que coincide con un nodo de cierto modo, ese modo se excita débilmente o no aparece en el modelo ideal. Pulsar cerca de un antinodo favorece su participación.

La forma temporal resultante puede ser compleja, aunque cada componente conserve su frecuencia natural.

18.15 Resonancia de una cuerda

Una excitación periódica cercana a f_n puede transferir energía eficazmente al modo n si también tiene un acoplamiento espacial adecuado.

El amortiguamiento limita la amplitud y ensancha las regiones resonantes. En una cuerda real, las pérdidas ocurren por movimiento del aire, fricción interna y transferencia de energía a los soportes.

La presencia de un pico no modifica las frecuencias permitidas del modelo lineal; modifica la amplitud con la que se observa cada modo.

18.16 Ejemplo resuelto

Una cuerda de L = 1,20 m tiene tensión F_T = 72 N y densidad lineal μ = 0,020 kg/m.

Velocidad:

Frecuencia fundamental:

Tercer modo:

18.17 Calcular una serie armónica con JavaScript

function modosCuerda(longitud, tension, densidadLineal, cantidad) {
  const velocidad = Math.sqrt(tension / densidadLineal);
  const fundamental = velocidad / (2 * longitud);
  const modos = [];

  for (let n = 1; n <= cantidad; n++) {
    modos.push({
      modo: n,
      longitudOndaM: Number((2 * longitud / n).toFixed(3)),
      frecuenciaHz: Number((n * fundamental).toFixed(2)),
      nodosInternos: n - 1
    });
  }

  return {
    velocidadMps: Number(velocidad.toFixed(2)),
    fundamentalHz: Number(fundamental.toFixed(2)),
    modos
  };
}

console.log(modosCuerda(1.2, 72, 0.02, 4));

18.18 Laboratorio interactivo de una cuerda fija

Elegí el modo y modificá las propiedades de la cuerda. La forma espacial depende de n, mientras la velocidad y las frecuencias dependen de la tensión y la densidad lineal.

18.19 Ejercicio resuelto: cambiar la tensión

Una cuerda tiene frecuencia fundamental de 100 Hz bajo una tensión de 40 N. Calculemos la nueva fundamental si la tensión aumenta a 90 N sin cambiar L ni μ.

const frecuenciaInicial = 100;
const tensionInicial = 40;
const tensionFinal = 90;

const factor = Math.sqrt(tensionFinal / tensionInicial);
const frecuenciaFinal = frecuenciaInicial * factor;

console.log({
  factorDeFrecuencia: Number(factor.toFixed(3)),
  frecuenciaInicialHz: frecuenciaInicial,
  frecuenciaFinalHz: Number(frecuenciaFinal.toFixed(2)),
  cuartoArmonicoHz: Number((4 * frecuenciaFinal).toFixed(2))
});

La tensión aumenta por un factor 2,25 y la frecuencia por su raíz cuadrada, 1,5. La nueva fundamental es 150 Hz y el cuarto armónico, 600 Hz.

18.20 Límites del modelo ideal

Una cuerda real tiene rigidez, pérdidas y pequeñas variaciones de densidad. Los soportes pueden moverse y la tensión puede cambiar durante oscilaciones grandes. Estos efectos desplazan ligeramente las frecuencias y pueden hacer que los modos superiores dejen de ser múltiplos exactos.

El modelo también supone desplazamientos pequeños. Si la amplitud es grande, la geometría modifica la tensión y aparecen efectos no lineales.

18.21 Síntesis

• Los extremos fijos obligan a que haya nodos en x = 0 y x = L.
• En la longitud L caben n medias longitudes de onda.
• Las longitudes permitidas son λₙ = 2L/n.
• Las frecuencias naturales son fₙ = n/(2L) · √(FT/μ).
• La cuerda ideal posee una serie armónica completa: fₙ = nf₁.
• El modo n tiene n vientres y n − 1 nodos internos.
• La forma inicial y el punto de excitación determinan cuánto participa cada modo.

18.22 Ejercicio propuesto

Una cuerda de 1,20 m, fija en ambos extremos, está sometida a 90 N y tiene una densidad lineal de 0,010 kg/m.

1. Calculá la velocidad de las ondas.
2. Calculá la frecuencia fundamental.
3. Determiná las frecuencias de los modos 2, 3 y 4.
4. Indicá cuántos antinodos posee el tercer modo.

18.23 Ideas para recordar

• Los extremos fijos de una cuerda son nodos.
• En el modo n caben n medias longitudes de onda en la cuerda.
• λₙ = 2L/n y fₙ = nv/(2L).
• La rapidez es v = √(FT/μ).
• Aumentar la tensión eleva las frecuencias; aumentar L o μ las reduce.