19. Columnas de aire abiertas y cerradas: modos y armónicos

19.1 El aire dentro de un tubo puede resonar

Una perturbación longitudinal que viaja por una columna de aire se refleja en sus extremos. La superposición de las ondas que avanzan en sentidos opuestos puede formar patrones estacionarios.

Como en una cuerda, solo son posibles las formas compatibles con los límites. Sin embargo, ahora debemos distinguir entre variaciones de presión y desplazamiento longitudinal de las partículas del aire.

La geometría del tubo y el tipo de extremo determinan sus frecuencias naturales.

19.2 Dos variables para el mismo modo

Podemos representar una onda en el aire mediante:

• la variación de presión respecto de la presión de equilibrio;
• el desplazamiento de las partículas respecto de sus posiciones medias.

Ambas descripciones corresponden al mismo fenómeno, pero sus nodos y antinodos no coinciden. Donde el desplazamiento tiene un nodo, la variación de presión tiene un antinodo, y viceversa.

19.3 Extremo abierto

En un extremo abierto, el aire interior está en contacto con el ambiente. La presión acústica debe aproximarse a la presión exterior, por lo que la variación de presión es pequeña:

Las partículas cercanas a la abertura pueden moverse con mayor libertad. Esta condición es una idealización válida cuando las dimensiones y la forma del extremo permiten tratarlo como abierto.

19.4 Extremo cerrado

Una pared rígida impide el movimiento longitudinal del aire en el límite:

Las partículas no atraviesan la pared, pero la compresión y la rarefacción pueden ser máximas junto a ella. Por eso la presión oscila con gran amplitud en ese extremo.

19.5 No mezclar nodos de presión y desplazamiento

Siempre debemos indicar qué variable estamos dibujando. Una misma columna puede parecer tener condiciones opuestas si cambiamos de presión a desplazamiento.

19.6 Tubo abierto en ambos extremos

En un tubo ideal abierto-abierto, la variación de presión tiene nodos en x = 0 y x = L. Entre esos extremos debe caber un número entero n de medias longitudes de onda:

La condición matemática para la presión tiene la misma geometría nodal que una cuerda fija en ambos extremos, aunque las magnitudes físicas sean diferentes.

19.7 Modos de un tubo abierto-abierto

Las longitudes de onda y frecuencias permitidas son:

El tubo abierto en ambos extremos ideal admite una serie armónica completa: fundamental, segundo armónico, tercero, cuarto y así sucesivamente.

19.8 Fundamental del tubo abierto-abierto

En el modo fundamental cabe media longitud de onda dentro del tubo:

La presión presenta nodos en ambos extremos y un antinodo en el centro. El desplazamiento presenta antinodos en los extremos y un nodo en el centro.

19.9 Tubo cerrado en un extremo

Ahora consideremos un extremo cerrado en x = 0 y uno abierto en x = L. Para la presión necesitamos un antinodo en el extremo cerrado y un nodo en el abierto.

La distancia mínima entre un antinodo y el nodo vecino es un cuarto de longitud de onda. En general, dentro del tubo debe caber un número impar de cuartos de onda:

19.10 Modos del tubo cerrado-abierto

Despejando la longitud de onda y usando f = v/λ:

El índice m cuenta los modos permitidos. El número armónico correspondiente es h = 2m − 1.

19.11 Solo armónicos impares en el modelo ideal

Los armónicos pares no satisfacen simultáneamente el antinodo de presión del extremo cerrado y el nodo de presión del abierto.

19.12 Fundamental del tubo cerrado-abierto

En el modo fundamental cabe un cuarto de longitud de onda:

Para la misma longitud y velocidad, esta frecuencia es la mitad de la fundamental de un tubo abierto en ambos extremos.

19.13 Comparación de las dos configuraciones

El cambio de una sola condición de contorno modifica la longitud de onda fundamental y elimina los armónicos pares del modelo cerrado-abierto.

19.14 Formas espaciales de presión

Una representación posible para la presión acústica de un tubo abierto-abierto es:

Para un tubo cerrado en x = 0 y abierto en x = L:

Ambas expresiones cumplen las condiciones ideales de presión en sus extremos.

19.15 Dependencia con longitud y velocidad

En las dos configuraciones, las frecuencias son proporcionales a v e inversamente proporcionales a L:

• una columna más larga tiene frecuencias menores;
• una velocidad de propagación mayor produce frecuencias mayores;
• cambiar el tipo de extremo cambia el factor geométrico y la serie permitida.

La velocidad del sonido depende del medio y de sus condiciones; ese análisis se desarrollará en temas posteriores.

19.16 Corrección de extremo

El nodo de presión de un extremo abierto real no se ubica exactamente en el plano de la abertura. Parte del aire exterior también participa del movimiento.

Por eso se utiliza una longitud efectiva ligeramente mayor que la longitud geométrica:

La corrección depende del radio, la forma y si el extremo posee reborde. En este tema usaremos el modelo ideal sin corrección salvo que se indique lo contrario.

19.17 Ejemplo resuelto

Una columna de aire de L = 0,85 m tiene una velocidad de propagación v = 340 m/s.

Abierto-abierto:

Cerrado-abierto:

La misma longitud produce fundamentales diferentes porque las condiciones de contorno no son iguales.

19.18 Calcular modos de ambas columnas con JavaScript

function modosColumna(longitud, velocidad, tipo, cantidad) {
  const modos = [];
  const cerrada = tipo === "cerrado-abierto";
  const fundamental = cerrada
    ? velocidad / (4 * longitud)
    : velocidad / (2 * longitud);

  for (let indice = 1; indice <= cantidad; indice++) {
    const armonico = cerrada ? 2 * indice - 1 : indice;
    modos.push({
      modo: indice,
      armonico,
      frecuenciaHz: Number((armonico * fundamental).toFixed(2)),
      longitudOndaM: Number((velocidad / (armonico * fundamental)).toFixed(3))
    });
  }

  return { tipo, fundamentalHz: Number(fundamental.toFixed(2)), modos };
}

console.log(modosColumna(0.85, 340, "cerrado-abierto", 4));

19.19 Laboratorio interactivo de columnas de aire

Compará tubos abiertos y cerrados. El laboratorio dibuja presión y desplazamiento en paneles separados para mostrar que sus nodos y antinodos intercambian posiciones.

19.20 Ejercicio resuelto: identificar una configuración

Una columna presenta resonancias en 120 Hz, 360 Hz, 600 Hz y 840 Hz. Comprobemos las razones respecto de la fundamental.

const resonancias = [120, 360, 600, 840];
const fundamental = resonancias[0];
const razones = resonancias.map(f => f / fundamental);
const imparesEsperados = razones.every((razon, indice) =>
  Math.abs(razon - (2 * indice + 1)) < 1e-10
);

console.log({
  resonanciasHz: resonancias,
  razones,
  configuracionCompatible: imparesEsperados
    ? "cerrado-abierto ideal"
    : "no sigue la serie impar ideal"
});

Las razones son 1, 3, 5 y 7. La serie es compatible con una columna ideal cerrada en un extremo y abierta en el otro.

19.21 Errores frecuentes y síntesis

• Un extremo abierto es nodo de presión, pero antinodo de desplazamiento.
• Un extremo cerrado es antinodo de presión, pero nodo de desplazamiento.
• Un tubo abierto-abierto tiene fₙ = nv/(2L) y admite todos los armónicos.
• Un tubo cerrado-abierto tiene fₘ = (2m − 1)v/(4L) y admite armónicos impares.
• El índice de modo m no coincide con el número armónico en el tubo cerrado-abierto.
• La fundamental cerrado-abierto es la mitad de la abierto-abierto para iguales L y v.
• Los extremos reales requieren una longitud efectiva ligeramente mayor que la geométrica.

19.22 Ejercicio propuesto

Dos tubos ideales miden 0,85 m. Uno está abierto en ambos extremos y el otro está cerrado en uno. Usá v = 340 m/s.

1. Calculá la frecuencia fundamental de cada tubo.
2. Escribí las cuatro primeras frecuencias permitidas en cada caso.
3. Indicá la condición de presión en cada extremo.

19.23 Ideas para recordar

• Un extremo abierto es nodo de presión y antinodo de desplazamiento.
• Un extremo cerrado es antinodo de presión y nodo de desplazamiento.
• Un tubo abierto-abierto ideal admite todos los armónicos.
• Un tubo cerrado-abierto ideal admite solo los armónicos impares.
• La corrección de extremo hace que la longitud acústica sea algo mayor que la geométrica.