26.1 Más allá de una sola sinusoide
Un tono puro se representa mediante una sinusoide de una única frecuencia. Muchos sonidos reales muestran formas temporales más complejas y no pueden describirse con una sola componente.
El principio de superposición permite construir una señal compleja sumando ondas sinusoidales con diferentes frecuencias, amplitudes y fases.
La descripción temporal y la descripción espectral son dos maneras complementarias de observar la misma señal.
26.2 Forma de onda en el dominio temporal
Una gráfica de presión p′ frente al tiempo muestra cómo cambia la señal en una posición:
Desde ella podemos reconocer periodicidad, amplitud, transitorios y cambios rápidos. Sin embargo, no siempre resulta evidente qué frecuencias participan.
26.3 Espectro en el dominio de la frecuencia
Un espectro representa cuánto aporta cada frecuencia a una señal. El eje horizontal indica frecuencia y el vertical puede mostrar amplitud, potencia u otra medida definida.
Para una señal periódica ideal, el espectro suele contener líneas discretas. Para señales no periódicas o ruidosas, puede distribuirse sobre bandas continuas.
Siempre debemos leer qué magnitud y escala utiliza el eje vertical.
26.4 Idea de la descomposición de Fourier
Una señal periódica suficientemente regular puede expresarse como suma de senos y cosenos:
- A₀ representa un posible valor medio;
- f₀ es la frecuencia fundamental;
- Aₙ es la amplitud de la componente n;
- φₙ es su fase.
26.5 Frecuencia fundamental
Si una señal periódica repite su forma cada T₀ segundos, su frecuencia fundamental es:
La fundamental establece la separación básica entre las líneas de una serie armónica. Con frecuencia se relaciona con la altura tonal principal, aunque la percepción de sonidos complejos admite situaciones más sutiles.
26.6 Armónicos
Los armónicos tienen frecuencias que son múltiplos enteros de la fundamental:
El primer armónico es la fundamental f₀; el segundo vale 2f₀; el tercero, 3f₀.
Las amplitudes no tienen que ser iguales y suelen disminuir de manera diferente según la fuente.
26.7 Parciales y sobretonos
| Término | Significado |
|---|---|
| Parcial | Cualquier componente sinusoidal identificable |
| Armónico | Parcial cuya frecuencia es un múltiplo entero de f₀ |
| Fundamental | Primer armónico y frecuencia de repetición básica |
| Primer sobretono | Parcial situado por encima de la fundamental |
En una serie armónica, el primer sobretono coincide con el segundo armónico. En un espectro inarmónico, un sobretono no tiene por qué ser un múltiplo entero.
26.8 Espectros armónicos e inarmónicos
Un espectro es armónico cuando sus componentes principales se ubican en nf₀. Es inharmónico cuando aparecen parciales que no siguen esos múltiplos enteros.
Las cuerdas ideales y algunas columnas de aire producen series armónicas. Placas, barras y objetos complejos pueden presentar relaciones inarmónicas.
El carácter armónico o inarmónico influye en la organización perceptiva del sonido.
26.9 Amplitudes espectrales
Las alturas de las líneas del espectro indican la amplitud asignada a cada componente. Dos señales con la misma fundamental pueden tener distribuciones muy diferentes.
Una señal dominada por componentes bajas suele tener una forma suave. Una presencia importante de frecuencias altas permite cambios temporales más rápidos y bordes más pronunciados.
Esto no significa que una sola cifra espectral describa completamente el timbre.
26.10 La fase también importa
El espectro de amplitud no contiene por sí solo las fases φₙ. Cambiar las fases sin cambiar las amplitudes puede modificar mucho la forma temporal.
Para señales estacionarias sostenidas, el oído puede ser menos sensible a ciertas relaciones de fase que un gráfico temporal. En transitorios y combinaciones espaciales, la fase puede ser decisiva.
Reconstruir exactamente una señal requiere amplitudes y fases.
26.11 Síntesis aditiva
La síntesis aditiva construye una forma de onda sumando componentes:
Cada componente puede ajustarse de manera independiente. La suma no crea frecuencias nuevas en un sistema lineal; reúne las ya elegidas.
26.12 Series ideales conocidas
| Forma aproximada | Armónicos incluidos | Amplitud relativa |
|---|---|---|
| Sinusoide | Solo n = 1 | A₁ = 1 |
| Cuadrada ideal | Impares | Aₙ ∝ 1/n |
| Triangular ideal | Impares alternados | |Aₙ| ∝ 1/n² |
| Diente de sierra ideal | Todos | |Aₙ| ∝ 1/n |
Con una cantidad finita de armónicos solo obtenemos aproximaciones. Las discontinuidades ideales requieren infinitas componentes.
26.13 Fenómeno de Gibbs
Al aproximar una discontinuidad con un número finito de armónicos aparecen oscilaciones cerca del salto. Al agregar componentes, la región oscilante se hace más estrecha, pero el sobrepaso no desaparece simplemente.
Este comportamiento se conoce como fenómeno de Gibbs. No es un error de programación: surge de representar un salto ideal mediante una suma sinusoidal truncada.
26.14 Qué entendemos por timbre
El timbre reúne cualidades que permiten distinguir sonidos con altura y nivel semejantes.
Está influido por:
- la distribución de amplitudes entre parciales;
- la evolución temporal de cada componente;
- los transitorios de inicio y final;
- componentes de ruido e inarmonicidad;
- modulaciones y variaciones durante el sonido.
26.15 Envolvente temporal
La envolvente describe cómo evoluciona la amplitud global. Puede incluir un ataque, una caída, una región sostenida y una liberación.
Dos sonidos con espectros sostenidos similares pueden percibirse diferentes si uno comienza bruscamente y el otro crece lentamente.
El timbre no es una fotografía espectral única: también tiene una dimensión temporal.
26.16 Centroide espectral
Una descripción simple del reparto espectral es el centroide ponderado por amplitudes:
Un centroide mayor suele asociarse con más peso en componentes altas, pero no resume por completo el timbre. Dos espectros distintos pueden compartir el mismo centroide.
Según la aplicación puede ponderarse con amplitud, potencia u otra representación; debe indicarse el criterio.
26.17 Ruido y espectro continuo
Una señal aleatoria o no periódica no tiene por qué producir líneas armónicas discretas. Su energía puede distribuirse sobre un intervalo continuo de frecuencias.
Los sonidos reales pueden combinar una parte tonal con líneas definidas y una parte ruidosa de banda ancha.
“Ruido” aquí describe una estructura de señal; su valoración como molesta o útil depende del contexto.
26.18 Ejemplo resuelto
Una señal periódica tiene fundamental f₀ = 200 Hz y componentes de amplitud relativa 1, 0,5, 0,25 y 0,10 para n = 1, 2, 3 y 4.
Sus frecuencias son 200, 400, 600 y 800 Hz. El centroide ponderado por amplitud es:
26.19 Construir una serie armónica con JavaScript
function serieArmonica(fundamentalHz, amplitudes) {
return amplitudes.map((amplitud, indice) => ({
armonico: indice + 1,
frecuenciaHz: fundamentalHz * (indice + 1),
amplitud
}));
}
function centroide(componentes) {
const sumaAmplitudes = componentes.reduce(
(suma, componente) => suma + componente.amplitud,
0
);
const sumaPonderada = componentes.reduce(
(suma, componente) =>
suma + componente.frecuenciaHz * componente.amplitud,
0
);
return sumaPonderada / sumaAmplitudes;
}
const componentes = serieArmonica(200, [1, 0.5, 0.25, 0.1]);
console.log({
componentes,
centroideHz: Number(centroide(componentes).toFixed(2))
});26.20 Laboratorio interactivo de síntesis armónica
Elegí una serie y la cantidad de componentes. El panel superior muestra la suma temporal y el inferior, sus amplitudes espectrales. La fase común permite observar que una misma distribución de amplitudes admite formas temporales diferentes.
Serie cuadrada: se suman armónicos impares con amplitud 1/n.
Agregar armónicos impares hace más abruptas las transiciones, pero la aproximación finita conserva ondulaciones cerca de los saltos.
26.21 Ejercicio resuelto y síntesis
Comparemos dos señales con las mismas amplitudes, pero fases diferentes.
const componentes = [
{ n: 1, amplitud: 1 },
{ n: 2, amplitud: 0.5 },
{ n: 3, amplitud: 0.25 }
];
function valorSuma(ciclos, fases) {
return componentes.reduce((suma, componente, indice) =>
suma + componente.amplitud * Math.sin(
2 * Math.PI * componente.n * ciclos + fases[indice]
), 0
);
}
const instantes = [0, 0.125, 0.25, 0.375];
const faseA = [0, 0, 0];
const faseB = [0, Math.PI / 2, Math.PI];
console.log({
mismasAmplitudes: componentes.map(c => c.amplitud),
señalA: instantes.map(t => Number(valorSuma(t, faseA).toFixed(3))),
señalB: instantes.map(t => Number(valorSuma(t, faseB).toFixed(3)))
});Las dos señales tienen el mismo espectro de amplitud, pero formas temporales diferentes. Para reconstruir una onda hacen falta amplitudes y fases.
26.22 Ejercicio propuesto
Un sonido periódico de frecuencia fundamental 200 Hz contiene componentes de 200, 400, 600 y 1000 Hz con amplitudes relativas 1; 0,50; 0,25 y 0,10.
- Identificá el número armónico de cada componente.
- Indicá qué armónico falta entre los presentes.
- Calculá el período fundamental.
- Explicá si las amplitudes bastan para reconstruir exactamente la forma de onda.
Ver solución y explicación
Las componentes son los armónicos 1, 2, 3 y 5; falta el cuarto, que estaría en 800 Hz. El período fundamental es T₀ = 1/200 = 5 ms.
Las amplitudes describen el espectro de magnitud, pero no bastan para reconstruir exactamente la señal temporal: también hacen falta las fases.
26.23 Ideas para recordar
- La forma de onda describe la señal en el tiempo y el espectro la describe por frecuencias.
- Los armónicos tienen frecuencias enteras de la fundamental.
- No todos los parciales de un sonido tienen que ser armónicos.
- Amplitudes y fases determinan juntas la forma temporal.
- El timbre depende del espectro y también de la evolución temporal del sonido.