28. Efecto Doppler para fuentes y observadores en movimiento

28.1 Una frecuencia emitida y otra recibida

Una fuente sonora puede oscilar siempre con la misma frecuencia y, sin embargo, un observador medir una frecuencia diferente. Esto ocurre cuando cambia la distancia entre la fuente y el observador mientras las ondas se propagan.

Si se aproximan, los frentes llegan con mayor rapidez y la frecuencia recibida aumenta. Si se alejan, los frentes llegan más espaciados en el tiempo y la frecuencia recibida disminuye.

28.2 El medio sirve como referencia

Para el sonido debemos distinguir tres velocidades: la de la onda respecto del medio, la de la fuente respecto del medio y la del observador respecto del medio.

El aire no es solo un escenario. Es el medio en el que se propagan las compresiones y rarefacciones. Por eso mover la fuente y mover el observador no produce exactamente el mismo efecto algebraico.

28.3 Convención de signos

En este tema usaremos una convención diseñada para una fuente y un observador que se encuentran frente a frente:

• vo > 0 cuando el observador se mueve hacia la fuente.
• vs > 0 cuando la fuente se mueve hacia el observador.
• Una velocidad es negativa cuando el cuerpo se aleja del otro.

Las letras o y s identifican al observador y a la fuente, respectivamente. Una convención diferente también es válida, pero exige cambiar los signos de manera coherente.

28.4 Observador móvil y fuente en reposo

Una fuente estacionaria produce frentes separados por λ = v/fs. Si el observador se mueve hacia ellos, los encuentra con una rapidez relativa v + vo.

El movimiento del observador cambia la tasa con que atraviesa los frentes, pero no modifica la separación que la fuente dejó en el medio.

28.5 Observador que se aleja

Con nuestra convención, un observador que se aleja tiene vo < 0. El numerador disminuye y también lo hace la frecuencia observada.

Si el observador se moviera en el mismo sentido que la onda con una rapidez cercana a v, los frentes lo alcanzarían muy lentamente. El modelo clásico deja de ser físicamente aplicable si se fuerzan situaciones fuera de su régimen.

28.6 Fuente móvil y observador en reposo

Durante un período Ts, un frente avanza vTs, mientras la fuente avanza vsTs hacia el observador. La longitud de onda delante de la fuente es:

La fuente comprime los frentes delante de ella. Detrás, la separación es λdetrás = (v + vs)/fs.

28.7 Frecuencia recibida desde una fuente móvil

Un observador estacionario recibe frentes que viajan a v, pero cuya separación fue modificada por el movimiento de la fuente:

Cuando la fuente se aproxima, vs > 0, el denominador disminuye y la frecuencia aumenta. Si se aleja, v_s es negativa y el denominador aumenta.

28.8 Fuente y observador en movimiento

Combinando el cambio de longitud de onda producido por la fuente con la rapidez a la que el observador encuentra los frentes:

Esta fórmula emplea exactamente la convención de signos de la sección 28.3 y supone movimiento a lo largo de la línea que une la fuente con el observador.

28.9 Aproximación y alejamiento

Cuando fuente y observador se aproximan, el numerador tiende a crecer y el denominador a disminuir: fo > fs. Cuando se alejan ocurre lo contrario.

Esta regla cualitativa es una comprobación útil. Si el resultado predice una frecuencia menor durante una aproximación directa, probablemente se aplicó mal algún signo.

28.10 No basta con la velocidad relativa

En el sonido clásico, dos situaciones con la misma velocidad de acercamiento pueden producir desplazamientos distintos. No es equivalente que se mueva la fuente o que se mueva el observador.

Por ejemplo, una fuente que avanza altera la longitud de onda depositada en el medio. Un observador móvil no altera esos frentes: cambia la rapidez con que los cruza.

28.11 Cambio de longitud de onda

La frecuencia emitida caracteriza la oscilación de la fuente. La velocidad v caracteriza la propagación respecto del medio. El movimiento de la fuente determina la longitud de onda observada delante y detrás.

Una vez emitido un frente, este se propaga a v respecto del medio; no hereda la velocidad de la fuente. Esta diferencia es esencial para comprender el efecto Doppler sonoro.

28.12 Movimiento en una dirección oblicua

Si el movimiento no ocurre sobre la línea fuente-observador, solo interviene instantáneamente la componente radial de la velocidad: la componente dirigida a lo largo de esa línea.

En una trayectoria de paso lateral, la componente radial cambia continuamente. Antes del punto de máxima proximidad hay acercamiento; después hay alejamiento. Por eso el tono de una sirena cambia al pasar.

28.13 El instante de máxima proximidad

En una geometría lateral ideal, la velocidad radial se anula justo en el punto de máxima proximidad. En ese instante, el desplazamiento Doppler instantáneo puede ser nulo aunque el vehículo conserve una gran velocidad tangencial.

La transición que oye una persona no es necesariamente abrupta: depende de la trayectoria, la distancia mínima, la directividad, las reflexiones y la forma en que cambia la componente radial.

28.14 Viento y sistema de referencia

Las velocidades de fuente y observador deben medirse respecto del medio. Si hay viento uniforme, la velocidad del sonido respecto del suelo cambia según la dirección, pero sigue siendo v respecto del aire.

Usar solo velocidades respecto del suelo puede ocultar esta distinción. Conviene elegir el aire como sistema de referencia, transformar las velocidades y aplicar allí la fórmula.

28.15 Régimen subsónico

La expresión para una fuente que se aproxima contiene v − vs. Cuando la rapidez de la fuente se acerca a la velocidad del sonido, los frentes se acumulan y el modelo de ondas periódicas separadas pierde validez.

Para vs ≥ v aparecen frentes de choque y un cono de Mach. Ese régimen no se describe sustituyendo sin más los valores en la fórmula Doppler subsónica.

28.16 Diferencia con el Doppler relativista

La luz no necesita un medio material y su efecto Doppler requiere relatividad especial. En ese caso no se distingue de la misma manera entre mover la fuente y mover el observador.

Las fórmulas de este tema son clásicas y están destinadas principalmente a ondas mecánicas en un medio, como el sonido en aire.

28.17 Aplicaciones

El efecto Doppler se utiliza en mediciones de velocidad, caudal y movimiento. El ultrasonido Doppler permite estudiar el movimiento de fluidos; los sistemas acústicos pueden estimar velocidades a partir del corrimiento de frecuencia.

En una reflexión sobre un objeto móvil puede haber dos desplazamientos sucesivos: el objeto recibe la onda como observador móvil y luego actúa como fuente móvil al reflejarla.

28.18 Ejemplo resuelto

Una sirena de 600 Hz se mueve hacia un ciclista a 25 m/s. El ciclista se mueve hacia la sirena a 5 m/s. Tomemos v = 340 m/s.

La aproximación eleva la frecuencia. Delante de la sirena, la longitud de onda es (340 − 25)/600 = 0,525 m.

28.19 Calcular el efecto Doppler con JavaScript

function frecuenciaDoppler(fuenteHz, sonidoMps, observadorMps, fuenteMps) {
  if (Math.abs(fuenteMps) >= sonidoMps) {
    throw new RangeError("La fuente debe permanecer en régimen subsónico");
  }

  return fuenteHz *
    (sonidoMps + observadorMps) /
    (sonidoMps - fuenteMps);
}

const recibidaHz = frecuenciaDoppler(600, 340, 5, 25);
console.log(recibidaHz.toFixed(2)); // 657.14

Las velocidades positivas representan aproximación según nuestra convención. Validar el denominador evita aplicar la expresión fuera de su dominio.

28.20 Errores frecuentes

• Usar la misma regla de signos sin declarar qué dirección es positiva.
• Intercambiar las velocidades de la fuente y del observador.
• Suponer que solo importa la velocidad relativa entre ambos.
• Sumar la velocidad de la fuente a la velocidad de propagación de cada frente ya emitido.
• Usar toda la velocidad en una trayectoria oblicua en lugar de su componente radial.
• Aplicar la fórmula subsónica cuando la fuente alcanza o supera la velocidad de la onda.

28.21 Laboratorio interactivo del efecto Doppler

Usá velocidades positivas para aproximación y negativas para alejamiento. El gráfico muestra la separación de los frentes delante de la fuente y compara la señal emitida con la recibida.

28.22 Ejercicio resuelto: una fuente que se aleja

Una ambulancia emite 750 Hz y se aleja de un observador estacionario a 30 m/s. Con v = 345 m/s, nuestra convención asigna vs = −30 m/s.

const frecuenciaFuenteHz = 750;
const velocidadSonidoMps = 345;
const velocidadFuenteMps = -30;
const velocidadObservadorMps = 0;

const frecuenciaObservadaHz = frecuenciaFuenteHz *
  (velocidadSonidoMps + velocidadObservadorMps) /
  (velocidadSonidoMps - velocidadFuenteMps);

console.log(frecuenciaObservadaHz.toFixed(2)); // 690.00

La frecuencia recibida es 690 Hz. Es menor que 750 Hz, como corresponde a una fuente que se aleja.

28.23 Límites del modelo

La fórmula supone un medio homogéneo, velocidades constantes durante la observación y movimiento a lo largo de la línea fuente-observador. También trata a fuente y receptor como puntos y desprecia reflexiones, viento no uniforme y dispersión.

Para trayectorias generales debe calcularse la componente radial instantánea. Cerca o por encima de la velocidad del sonido se necesita una descripción mediante frentes de choque.

28.24 Ejercicio propuesto

Un tren emite un tono de 500 Hz y se aproxima a una persona a 20 m/s. La persona corre hacia el tren a 4 m/s. Usá v = 344 m/s.

1. Calculá la longitud de onda delante del tren.
2. Calculá la frecuencia que recibe la persona.
3. Repetí el cálculo cuando ambos se alejan con las mismas rapideces.
4. Comprobá cualitativamente el sentido de ambos cambios.

28.25 Ideas para recordar

• El efecto Doppler cambia la frecuencia recibida cuando hay movimiento radial.
• Para el sonido, las velocidades deben referirse al medio.
• Con la convención de este tema, fo = fs(v + vo)/(v − vs).
• Mover la fuente cambia la longitud de onda; mover el observador cambia la tasa con que encuentra los frentes.
• La aproximación eleva la frecuencia y el alejamiento la reduce.
• En movimientos oblicuos interviene la componente radial de la velocidad.
• La fórmula clásica no describe una fuente sónica o supersónica.