32. Muestreo de señales sonoras, frecuencia de muestreo y aliasing

32.1 De una señal continua a una secuencia

La presión sonora que llega a un micrófono varía continuamente con el tiempo. Un sistema digital no almacena todos los instantes: toma mediciones periódicas llamadas muestras.

La señal continua x(t) se convierte en una secuencia x[n] = x(nTs), donde n es un entero y T_s es el intervalo entre muestras.

32.2 Frecuencia y período de muestreo

La frecuencia de muestreo f_s indica cuántas muestras se toman por segundo. Se mide en hertz.

A 8000 muestras por segundo, el intervalo es 1/8000 s = 0,125 ms.

32.3 Muestrear no es cuantizar

El muestreo discretiza el tiempo: selecciona instantes. La cuantización discretiza la amplitud: aproxima cada medición a uno de un conjunto finito de niveles.

Son procesos diferentes y producen errores distintos. El aliasing está relacionado principalmente con el muestreo; el ruido de cuantización, con la resolución de amplitud.

32.4 Muestras por ciclo

Para una sinusoide de frecuencia f, la cantidad de muestras por período es:

Una señal de 1000 Hz muestreada a 8000 Hz tiene ocho muestras por ciclo. Si f aumenta sin cambiar f_s, quedan menos puntos para describir cada oscilación.

32.5 Teorema de muestreo

Una señal limitada en banda puede reconstruirse idealmente a partir de sus muestras si la frecuencia de muestreo es estrictamente mayor que el doble de su frecuencia máxima:

La condición supone muestras exactas, tiempos uniformes y una señal sin componentes por encima de f_máx.

32.6 Frecuencia de Nyquist

Para una frecuencia de muestreo dada, la frecuencia de Nyquist es:

Las componentes que se desean representar deben permanecer por debajo de ese límite. Nyquist es una frontera del sistema de muestreo, no una propiedad del sonido original.

32.7 Por qué el límite necesita margen

Una sinusoide exactamente en f_s/2 produce solo dos muestras por ciclo. Según su fase, esas muestras pueden alternar, tener amplitud reducida o incluso caer todas en cruces por cero.

Además, los filtros reales no eliminan instantáneamente todo lo que supera una frecuencia. Los sistemas prácticos dejan una banda de transición y trabajan con margen.

32.8 Reconstrucción ideal

Las muestras no deben imaginarse unidas necesariamente por segmentos rectos. Para una señal limitada en banda, la reconstrucción ideal usa funciones sinc desplazadas y ponderadas por cada muestra.

El resultado puede ser una curva suave incluso si hay pocos puntos visibles por ciclo, siempre que se cumplan las condiciones del teorema.

32.9 Qué es el aliasing

El aliasing ocurre cuando componentes demasiado rápidas producen las mismas muestras que componentes más lentas. Después del muestreo ya no es posible saber cuál de esas señales estaba presente originalmente.

La frecuencia alta aparece con una identidad falsa o alias dentro del intervalo representable.

32.10 Un ejemplo de alias

Una sinusoide de 5000 Hz muestreada a 8000 Hz genera la misma secuencia, salvo la orientación de fase, que una sinusoide de 3000 Hz:

Como 5000 Hz supera los 4000 Hz de Nyquist, se pliega hacia el intervalo inferior.

32.11 Plegado de frecuencias

Para obtener un alias se desplaza la frecuencia por múltiplos enteros de f_s hasta llevarla al intervalo entre 0 y f_s/2:

Puede ser necesario probar distintos enteros k o usar una operación modular que también contemple el plegado alrededor de Nyquist.

32.12 Frecuencia discreta y periodicidad

En tiempo discreto, frecuencias separadas por un múltiplo de f_s producen las mismas muestras:

Esta periodicidad explica por qué el muestreo pierde la identidad única de las componentes fuera de la banda principal.

32.13 Copias del espectro

El muestreo ideal replica el espectro analógico alrededor de múltiplos de f_s. Si esas copias no se superponen, un filtro puede recuperar la banda original.

Si se superponen, la energía de una copia invade la banda de otra. Esa superposición espectral es otra forma de describir el aliasing.

32.14 Filtro antialias

Antes del conversor analógico-digital se coloca un filtro pasa bajos que reduce las componentes capaces de plegarse dentro de la banda útil.

Como ningún filtro real tiene una transición vertical, f_s se elige por encima del mínimo teórico para dejar espacio entre la banda útil y Nyquist.

32.15 Las señales reales no están perfectamente limitadas

Un evento breve, un transitorio o una forma con bordes abruptos puede contener energía en un rango muy amplio. “Frecuencia máxima” suele significar el límite de la banda que decidimos conservar.

El filtro antialias define esa banda de manera práctica reduciendo progresivamente las componentes superiores.

32.16 Frecuencias de muestreo en audio

Son frecuentes valores como 44,1 kHz y 48 kHz. Sus frecuencias de Nyquist son 22,05 kHz y 24 kHz, respectivamente.

También existen tasas mayores para producción, procesamiento y medición. Una frecuencia más alta aumenta datos y costo computacional; no sustituye un buen diseño de filtros y conversores.

32.17 Duración y cantidad de muestras

Para una grabación de duración D:

Un segundo a 48 kHz contiene 48 000 muestras por canal. El tamaño final también depende de la profundidad de bits, la cantidad de canales y la codificación.

32.18 Fase respecto de la grilla

Desplazar la fase cambia los valores concretos tomados por el muestreador. Con suficientes condiciones, la reconstrucción conserva ese desplazamiento.

Cerca de Nyquist, una fase desfavorable puede producir muestras muy pequeñas y mostrar por qué dos puntos por ciclo constituyen un caso límite, no una recomendación de diseño.

32.19 Cuantización de amplitud

Después de muestrear, cada valor se aproxima a un nivel disponible. Con B bits hay idealmente:

Con pocos niveles, la forma escalonada se aparta más de la amplitud original. Aumentar B reduce el paso de cuantización.

32.20 Ruido de cuantización

La diferencia entre el valor real y el nivel asignado se denomina error de cuantización. Bajo supuestos ideales puede modelarse como ruido.

Para una sinusoide de escala completa, una estimación habitual de la relación señal-ruido ideal es:

32.21 Clipping

Si la amplitud supera el rango del conversor, las muestras quedan limitadas en el máximo o mínimo. Este recorte introduce distorsión y nuevas componentes espectrales.

Más bits no reparan una señal saturada. El nivel analógico de entrada debe mantenerse dentro del rango previsto.

32.22 Conversión de vuelta a analógico

Un conversor digital-analógico genera una señal a partir de las muestras. Un filtro de reconstrucción elimina las imágenes espectrales asociadas con la actualización discreta.

La reproducción no consiste simplemente en escuchar una escalera; el sistema completo interpola y filtra la secuencia.

32.23 Cambio de frecuencia de muestreo

Reducir f_s exige filtrar antes para eliminar las componentes que quedarían por encima del nuevo Nyquist. Omitir ese paso introduce aliasing irreversible.

Aumentar f_s requiere interpolación: se crean muestras intermedias compatibles con la banda representada, no información nueva sobre frecuencias que ya se perdieron.

32.24 Muestreo no uniforme y jitter

El modelo básico supone instantes exactamente espaciados. Pequeñas desviaciones temporales reciben el nombre de jitter y pueden convertirse en error de amplitud, especialmente para señales rápidas.

El análisis de jitter es diferente del aliasing por una tasa insuficiente, aunque ambos afectan la fidelidad temporal.

32.25 Aliasing en imágenes y animación

El mismo principio aparece fuera del audio. Patrones finos pueden crear dibujos falsos en una imagen, y una rueda filmada puede parecer girar lentamente o hacia atrás.

En todos los casos, una variación demasiado rápida se confunde con otra compatible con la grilla de muestras.

32.26 Procedimiento para revisar un sistema

1. Definir la banda analógica que debe conservarse.
2. Elegir f_s con margen suficiente sobre el doble de esa banda.
3. Diseñar un filtro antialias compatible con la banda de transición.
4. Elegir profundidad de bits y rango para el ruido y nivel esperados.
5. Verificar reloj, almacenamiento, procesamiento y filtro de reconstrucción.

32.27 Ejemplo resuelto

Una señal contiene componentes de 1000 Hz, 3500 Hz y 6200 Hz y se muestrea a 8000 Hz. Nyquist vale 4000 Hz.

Las componentes de 1000 Hz y 3500 Hz quedan dentro de la banda. La de 6200 Hz se pliega:

Sin un filtro antialias, el registro contendrá una componente falsa de 1800 Hz que se mezclará con cualquier componente real en esa frecuencia.

32.28 Calcular aliasing con JavaScript

function frecuenciaAlias(frecuenciaHz, muestreoHz) {
  const resto = ((frecuenciaHz % muestreoHz) + muestreoHz) % muestreoHz;
  return resto <= muestreoHz / 2
    ? resto
    : muestreoHz - resto;
}

function analizarMuestreo(frecuenciaHz, muestreoHz) {
  return {
    nyquistHz: muestreoHz / 2,
    muestrasPorCiclo: muestreoHz / frecuenciaHz,
    aliasHz: frecuenciaAlias(frecuenciaHz, muestreoHz),
    condicionSegura: frecuenciaHz < muestreoHz / 2
  };
}

console.log(analizarMuestreo(6200, 8000));

32.29 Errores frecuentes

• Decir que f_s debe ser mayor que f_máx en lugar del doble.
• Tratar el caso exacto de Nyquist como una condición práctica segura.
• Confundir frecuencia de muestreo con profundidad de bits.
• Creer que unir muestras con rectas describe la reconstrucción ideal.
• Reducir la tasa sin aplicar antes un filtro pasa bajos.
• Suponer que aumentar la tasa recupera información ya destruida por aliasing.
• Ignorar las componentes fuera de banda presentes antes del conversor.

32.30 Laboratorio interactivo de muestreo y aliasing

Compará la onda original con las muestras cuantizadas. El gráfico inferior muestra la sinusoide de banda principal compatible con esos instantes.

32.31 Ejercicio resuelto: varios pliegues

Calculemos los alias de 3 kHz, 11 kHz, 19 kHz y 27 kHz con fs = 16 kHz.

const frecuenciasHz = [3000, 11000, 19000, 27000];
const muestreoHz = 16000;

const aliasHz = frecuenciasHz.map(f => {
  const resto = f % muestreoHz;
  return resto <= muestreoHz / 2
    ? resto
    : muestreoHz - resto;
});

console.log(aliasHz); // [3000, 5000, 3000, 5000]

Las frecuencias separadas por múltiplos de 16 kHz o reflejadas alrededor de 8 kHz pueden producir identidades discretas iguales.

32.32 Límites del modelo

Los gráficos usan sinusoides estables, muestreo uniforme y una cuantización ideal. Los conversores reales tienen filtros, ruido, no linealidad, jitter, límites de rango y respuesta dependiente de la frecuencia.

Una señal sonora compleja debe analizarse componente por componente o mediante su espectro. El criterio de Nyquist se aplica a la componente analógica más alta que llega efectivamente al muestreador.

32.33 Ejercicio propuesto

Un sistema muestrea a 12 kHz una señal que contiene componentes de 2 kHz, 5 kHz, 7 kHz, 10 kHz y 14 kHz.

1. Calculá la frecuencia de Nyquist.
2. Identificá las componentes que cumplen la condición de banda.
3. Calculá el alias de cada componente restante.
4. Indicá cuántas muestras por ciclo corresponden a 5 kHz.
5. Proponé una frecuencia de muestreo teórica mínima para conservar hasta 14 kHz y explicá por qué en la práctica usarías margen.

32.34 Ideas para recordar

• La frecuencia de muestreo es la cantidad de muestras tomadas por segundo.
• La frecuencia de Nyquist vale fs/2.
• Una señal limitada en banda requiere fs > 2fmáx para reconstrucción ideal.
• El aliasing hace que una componente fuera de banda aparezca como otra frecuencia.
• El filtro antialias actúa antes del muestreo.
• Muestreo discretiza tiempo; cuantización discretiza amplitud.
• Una tasa mayor no recupera información que ya sufrió aliasing.