6. Describir una onda en función de la posición y del tiempo

6.1 Una regla para todo el medio

Una fotografía muestra la forma de una onda en un instante. Un sensor fijo muestra la evolución de una posición. Para describir la onda completa necesitamos una regla que responda simultáneamente dos preguntas: dónde y cuándo.

Representaremos esa regla mediante u(x, t). La letra u puede indicar desplazamiento, variación de presión u otra perturbación, según el sistema.

La función no es la onda material: es el modelo matemático que asigna un valor a cada evento del espacio y del tiempo considerado.

6.2 Variables independientes y variable dependiente

En un modelo unidimensional, x y t son variables independientes. Elegimos sus valores para consultar el campo. La perturbación u es la variable dependiente porque su valor queda determinado por esa elección.

En dos o tres dimensiones, la posición requiere más coordenadas. Comenzar con x permite estudiar la dependencia espacio-temporal sin agregar geometría innecesaria.

6.3 Evaluar la función

Evaluar u(3 m, 2 s) significa sustituir x = 3 m y t = 2 s en la regla. El resultado es un único valor de la perturbación.

Consideremos el ejemplo sencillo:

Para x = 4 m y t = 1 s, el argumento es 2π(1 − 0,5) = π, por lo que u = −0,5 m.

Los cocientes x / 4 m y t / 2 s son adimensionales. Esto es necesario porque una función trigonométrica no recibe una longitud ni un tiempo como argumento directo.

6.4 Fijar el tiempo: perfil espacial

Si elegimos un instante t₀ y dejamos variar x, obtenemos u(x,t₀). Esta función de una sola variable representa el perfil espacial de la onda.

Cada valor del gráfico corresponde a una posición diferente observada en el mismo instante. Allí podemos medir amplitud, longitud de onda, ubicación de crestas o centro de un pulso.

Cambiar t₀ produce otra fotografía. Una animación es una sucesión rápida de estos perfiles espaciales.

6.5 Fijar la posición: registro temporal

Si elegimos una posición x₀ y dejamos variar t, obtenemos u(x₀,t). Esta función representa lo que registra un sensor inmóvil.

Cada valor corresponde a un instante diferente en el mismo lugar. Allí podemos medir período, frecuencia, duración de un pulso o tiempo de llegada.

Es incorrecto interpretar este gráfico como la forma espacial del medio. Su eje horizontal representa tiempo, aunque la curva tenga crestas y valles.

6.6 Una tabla de dos entradas

También podemos muestrear u(x,t) mediante una tabla: cada columna corresponde a una posición y cada fila a un instante.

Leer una fila equivale a tomar un perfil espacial. Leer una columna equivale a consultar el historial temporal de un sensor. La tabla aproxima un campo continuo con muestras discretas.

6.7 Trasladar una forma sin deformarla

Sea F(x) una forma inicial: puede ser un pulso gaussiano, una forma triangular o un perfil periódico. Queremos desplazarla una distancia d hacia la derecha sin cambiar su forma.

La función desplazada se escribe F(x − d). El signo puede parecer contrario a la intuición, pero se comprueba siguiendo una característica. Si el máximo original ocurre cuando el argumento vale 0, en la forma desplazada se cumple:

Por lo tanto, el máximo se movió desde x = 0 hasta x = d.

6.8 Onda que viaja hacia valores crecientes de x

Si la forma avanza con rapidez constante v, después de un tiempo t se desplazó una distancia d = vt. Sustituyendo en la regla anterior:

Todos los puntos que mantienen constante el argumento x − vt siguen la misma característica de la forma. Si x − vt = C, entonces x = C + vt, una posición que aumenta con el tiempo.

La expresión prescribe una onda viajera que conserva su forma. No garantiza que cualquier función F sea una solución física para cualquier medio; eso depende de la ecuación dinámica del sistema.

6.9 Onda que viaja hacia valores decrecientes de x

Para una forma que avanza hacia la izquierda utilizamos:

Si x + vt = C, entonces x = C − vt. La posición de la característica disminuye a medida que pasa el tiempo.

Una regla práctica para recordar el sentido es seguir un máximo, no memorizar de manera aislada el signo. El signo dentro del argumento resulta opuesto al sentido de avance.

6.10 Consistencia dimensional

En F(x − vt), x es una longitud. El producto vt también debe ser una longitud:

Solo podemos restar cantidades de la misma dimensión. Una expresión como F(x − t) sería dimensionalmente incorrecta si x se mide en metros y t en segundos, salvo que las variables hayan sido normalizadas previamente.

El resultado de F debe tener la unidad de la perturbación. Si F describe desplazamiento, u se expresa en metros; si describe variación de presión, en pascales.

6.11 Ejemplo: pulso gaussiano viajero

Una forma localizada y suave puede representarse mediante:

A fija la amplitud, x₀ la posición inicial del máximo y w una escala asociada con el ancho. El máximo ocurre cuando el término entre corchetes vale cero:

A y w permanecen constantes en este modelo, por lo que el pulso se traslada sin cambiar su altura ni su ancho. Atenuación y deformación exigirían una regla más completa.

6.12 Ejemplo: onda sinusoidal viajera

Con las magnitudes del tema anterior podemos escribir una onda periódica que viaja hacia +x:

Si aumentamos x en λ y mantenemos t, el argumento aumenta en 2π y el coseno repite su valor. Si aumentamos t en T y mantenemos x, el argumento disminuye en 2π y también repite su valor.

La cantidad completa dentro del coseno permite identificar la etapa del ciclo. En el próximo tema la estudiaremos como fase e introduciremos formas más compactas de escribirla.

6.13 Comprobar una regla propuesta

Antes de aceptar una función de onda conviene realizar varias comprobaciones:

1. Verificar que los argumentos sean adimensionales o que las sumas tengan unidades compatibles.
2. Evaluar el estado inicial u(x,0).
3. Fijar x y observar la evolución temporal.
4. Fijar t y observar el perfil espacial.
5. Seguir un máximo para identificar el sentido y la rapidez.
6. Comprobar que los valores no excedan la amplitud declarada.

Estas pruebas combinan análisis dimensional, casos particulares y visualización. Son útiles tanto para fórmulas escritas como para implementaciones.

6.14 Implementar u(x,t) con JavaScript

Una función puede recibir posición, tiempo y parámetros, y devolver el desplazamiento local.

function ondaSinusoidal(xM, tiempoS, parametros) {
  const { amplitudM, longitudOndaM, periodoS, sentido } = parametros;
  const signo = sentido === "derecha" ? -1 : 1;
  const ciclos = xM / longitudOndaM + signo * tiempoS / periodoS;
  return amplitudM * Math.cos(2 * Math.PI * ciclos);
}

const parametros = {
  amplitudM: 0.5,
  longitudOndaM: 4,
  periodoS: 2,
  sentido: "derecha"
};

for (const xM of [0, 1, 2, 3, 4]) {
  const uM = ondaSinusoidal(xM, 0, parametros);
  const valorMostradoM = Math.abs(uM) < 1e-12 ? 0 : uM;
  console.log(`u(${xM} m, 0 s) = ${valorMostradoM.toFixed(2)} m`);
}

La función no mantiene estado interno: para los mismos argumentos devuelve el mismo resultado. Esto facilita generar tablas, gráficos y pruebas automáticas.

6.15 Laboratorio interactivo: mapa espacio-tiempo

El mapa superior representa u(x,t): cada color codifica el valor de la perturbación. Una fila horizontal es una fotografía espacial y una columna vertical es el registro de un sensor. El gráfico inferior muestra la fila seleccionada.

• Mové t: la línea horizontal recorre el mapa y el perfil inferior cambia.
• Mové x: la línea vertical selecciona otro sensor sin modificar la onda.
• Cambiá el sentido: las bandas diagonales invierten su inclinación.
• Seguí una banda: representa una característica que conserva el mismo valor de la onda.

6.16 Ejercicio propuesto

Una perturbación está dada por u(x,t) = 0,20 m · exp{−[(x − 2 m − 3 m/s · t) / 0,50 m]²}.

1. Identificá la amplitud, la posición inicial del máximo, la rapidez y el sentido de propagación.
2. Calculá la posición del máximo en t = 2 s.
3. Calculá u en x = 8 m, t = 2 s.
4. Explicá qué representa u(x,0).
5. Indicá cómo cambiarías la expresión para que el pulso viaje hacia −x con la misma rapidez.

function pulso(xM, tiempoS) {
  const amplitudM = 0.2;
  const posicionInicialM = 2;
  const rapidezMps = 3;
  const anchoM = 0.5;
  const argumento =
    (xM - posicionInicialM - rapidezMps * tiempoS) / anchoM;

  return amplitudM * Math.exp(-(argumento ** 2));
}

const tiempoS = 2;
const posicionMaximoM = 2 + 3 * tiempoS;

console.log("Posición del máximo:", posicionMaximoM, "m");
console.log("u(8 m, 2 s):", pulso(8, 2), "m");

6.17 Ideas para recordar

• u(x,t) asigna un valor de la perturbación a cada posición e instante.
• Fijar t produce un perfil espacial; fijar x produce un registro temporal.
• Una tabla o una grilla aproxima el campo mediante muestras discretas.
• F(x − vt) conserva su forma y viaja hacia +x.
• F(x + vt) conserva su forma y viaja hacia −x.
• El argumento de una función debe respetar la consistencia dimensional.
• Seguir una característica permite comprobar el sentido de propagación.
• Una fórmula completa reúne todas las fotografías de la evolución.