7. Fase, número de onda y frecuencia angular

7.1 Ubicar un estado dentro del ciclo

Amplitud, período y frecuencia no bastan para conocer el valor instantáneo de una onda. Dos puntos pueden oscilar con la misma amplitud y frecuencia, pero uno encontrarse en una cresta mientras el otro cruza el equilibrio.

La fase indica en qué etapa del ciclo se encuentra una oscilación. Permite comparar puntos diferentes, instantes distintos u ondas que no comienzan en el mismo estado.

En una onda viajera, la fase depende tanto de la posición como del tiempo.

7.2 Representar un ciclo mediante un ángulo

Un ciclo completo puede asociarse con una vuelta completa alrededor de una circunferencia. Por eso expresamos la fase como un ángulo:

El punto de fase cero es una elección del modelo. Con una función seno, el valor en fase cero sería 0 en lugar de 1.

7.3 Radianes y fase equivalente

Los radianes simplifican las fórmulas y son la unidad habitual para los argumentos trigonométricos. Aunque un radián es adimensional, escribimos rad para aclarar que la cantidad representa un ángulo.

Las fases que difieren en una cantidad entera de vueltas describen la misma etapa:

Por ejemplo, 30°, 390° y −330° producen el mismo valor de seno y coseno. Normalizar la fase significa elegir un intervalo representativo, como de 0 a 2π.

7.4 Frecuencia angular

Una oscilación de frecuencia f completa f ciclos por segundo. Como cada ciclo representa 2π radianes, la fase cambia temporalmente a razón de:

ω es la frecuencia angular y se expresa en radianes por segundo. No es una frecuencia distinta de f: ambas describen el mismo ritmo con unidades diferentes.

Si f = 2 Hz, entonces ω = 4π rad/s ≈ 12,57 rad/s. En medio segundo la fase temporal cambia ωt = 2π rad, exactamente un ciclo.

7.5 Fase temporal de un punto

Para un punto que oscila sinusoidalmente podemos escribir:

φ₀ es la fase inicial: determina la etapa del ciclo cuando t = 0. El término ωt indica cuánto avanzó la fase desde entonces.

Dos oscilaciones con igual A y ω pero diferente φ₀ mantienen una separación constante entre sus etapas. Esa separación se denomina diferencia de fase.

7.6 Número de onda

En una fotografía espacial, la fase completa una vuelta de 2π rad al avanzar una longitud de onda λ. La rapidez de cambio espacial de la fase es:

k es el número de onda angular. Su unidad es radián por metro, escrita habitualmente como rad/m o m⁻¹.

Si λ = 4 m, entonces k = π/2 rad/m ≈ 1,57 rad/m. Al avanzar 4 m, la fase espacial aumenta kλ = 2π rad.

7.7 Número de onda no es cantidad de ondas

El nombre puede inducir a error. k no cuenta cuántas ondas existen en el medio; indica cuántos radianes de fase cambian por unidad de distancia.

Una longitud de onda menor corresponde a un número de onda mayor.

7.8 Fase de una onda viajera

La expresión del tema anterior puede escribirse de manera compacta:

La cantidad completa kx − ωt + φ₀ es la fase de una onda que viaja hacia valores crecientes de x.

• kx incorpora el cambio de fase con la posición;
• −ωt incorpora el cambio de fase con el tiempo;
• φ₀ fija la referencia inicial.

Cada término debe ser adimensional o expresarse en radianes. Así, kx y ωt pueden sumarse correctamente.

7.9 El signo y el sentido de propagación

Para seguir una fase constante, igualamos el argumento a un valor C:

Si la fase es kx + ωt + φ₀, mantenerla constante requiere que x disminuya cuando t aumenta; la onda viaja hacia −x.

El signo que acompaña a ωt es opuesto al sentido de avance. Conviene deducirlo siguiendo una fase constante en lugar de memorizarlo sin interpretación.

7.10 Diferencia de fase entre dos posiciones

En un mismo instante, dos puntos separados por una distancia Δx tienen una diferencia de fase espacial:

Si están separados por λ, la diferencia es 2π y se encuentran en la misma etapa. Si están separados por λ/2, la diferencia es π: cuando uno está en una cresta, el otro está en un valle.

Separaciones de λ/4 corresponden a una diferencia de π/2 rad. El valor de la perturbación no basta para decidir la fase completa, porque el mismo valor puede aparecer en dos etapas diferentes del ciclo.

7.11 Diferencia de fase entre dos instantes

En una posición fija, dos instantes separados por Δt presentan una diferencia de fase temporal cuyo valor absoluto es:

Después de un período, la fase cambia 2π rad y el estado se repite. Después de medio período cambia π rad, y después de un cuarto cambia π/2 rad.

El signo de Δφ depende de la convención usada en la función. La separación entre etapas suele expresarse por su magnitud o reducida al intervalo de una vuelta.

7.12 Puntos en fase y en oposición

Dos puntos están en fase si realizan la misma etapa del ciclo simultáneamente. En una onda sinusoidal viajera ideal, esto ocurre para separaciones enteras de λ.

Están en oposición de fase si su diferencia es π rad: sus perturbaciones tienen valores opuestos. Esto ocurre para separaciones impares de λ/2.

7.13 Fase inicial y elección del origen

La fase inicial φ₀ permite adaptar el modelo a las condiciones elegidas. En x = 0 y t = 0:

Si φ₀ = 0, el origen comienza en una cresta. Si φ₀ = π, comienza en un valle. Si φ₀ = π/2, comienza en equilibrio para una función coseno.

Cambiar el origen de coordenadas o el instante considerado como t = 0 puede cambiar φ₀ sin modificar el fenómeno físico. Por eso siempre debe interpretarse junto con la referencia elegida.

7.14 Seno, coseno y descripciones equivalentes

Seno y coseno tienen la misma forma, desplazada un cuarto de ciclo:

Una misma onda puede escribirse con seno o coseno si ajustamos la fase inicial. No existe una función universalmente “correcta”; elegimos la que simplifique las condiciones iniciales.

Al comparar dos fórmulas hay que considerar conjuntamente el signo, la función trigonométrica y φ₀. Expresiones que parecen diferentes pueden representar exactamente el mismo campo.

7.15 Calcular y normalizar fases con JavaScript

La operación módulo permite reducir cualquier fase al intervalo entre 0 y 2π.

function normalizarFase(faseRad) {
  const vuelta = 2 * Math.PI;
  return ((faseRad % vuelta) + vuelta) % vuelta;
}

function estadoOnda({ xM, tiempoS, amplitudM, lambdaM, frecuenciaHz, faseInicialRad }) {
  const kRadM = 2 * Math.PI / lambdaM;
  const omegaRadS = 2 * Math.PI * frecuenciaHz;
  const faseRad = kRadM * xM - omegaRadS * tiempoS + faseInicialRad;

  return {
    kRadM,
    omegaRadS,
    faseNormalizadaRad: normalizarFase(faseRad),
    perturbacionM: amplitudM * Math.cos(faseRad)
  };
}

const estado = estadoOnda({
  xM: 3,
  tiempoS: 0.5,
  amplitudM: 1,
  lambdaM: 4,
  frecuenciaHz: 0.5,
  faseInicialRad: 0
});

console.log(estado);

Normalizar no cambia el seno ni el coseno. Solo ofrece una representación más fácil de comparar dentro de una vuelta.

7.16 Laboratorio interactivo: onda y fasor

La curva muestra la onda en el instante seleccionado. El punto amarillo corresponde a la posición x elegida. El círculo inferior representa la fase local como un ángulo; su proyección horizontal coincide con el valor del coseno.

• Mové x: la fase cambia k radianes por cada metro.
• Mové t: la fase cambia ω radianes por cada segundo.
• Cambiá φ₀: todo el patrón se desplaza sin cambiar A, λ ni f.
• Invertí el sentido: cambia el signo del término temporal y el avance de las crestas.

7.17 Ejercicio propuesto

Una onda está dada por u(x,t) = 0,30 m · cos(πx − 4πt + π/2), con x en metros y t en segundos.

1. Identificá A, k, ω y φ₀.
2. Calculá λ y f.
3. Indicá el sentido de propagación.
4. Calculá la fase y la perturbación en x = 1 m, t = 0 s.
5. Determiná la diferencia de fase entre dos puntos separados 0,5 m.

const amplitudM = 0.3;
const kRadM = Math.PI;
const omegaRadS = 4 * Math.PI;
const faseInicialRad = Math.PI / 2;

const longitudOndaM = 2 * Math.PI / kRadM;
const frecuenciaHz = omegaRadS / (2 * Math.PI);
const faseRad = kRadM * 1 - omegaRadS * 0 + faseInicialRad;
const perturbacionM = amplitudM * Math.cos(faseRad);
const diferenciaFaseRad = kRadM * 0.5;

console.log({
  longitudOndaM,
  frecuenciaHz,
  faseRad,
  perturbacionM: Math.abs(perturbacionM) < 1e-12 ? 0 : perturbacionM,
  diferenciaFaseRad
});

7.18 Ideas para recordar

• La fase ubica un estado dentro de un ciclo.
• Un ciclo completo equivale a 2π rad.
• La frecuencia angular es ω = 2πf = 2π/T.
• El número de onda es k = 2π/λ.
• La fase de una onda hacia +x puede escribirse kx − ωt + φ₀.
• El signo positivo delante de ωt corresponde a propagación hacia −x.
• Puntos separados por λ están en fase; separados por λ/2 están en oposición.
• La fase inicial depende de la referencia espacial y temporal elegida.