8. Relación entre velocidad, frecuencia y longitud de onda

8.1 Conectar espacio y tiempo

En una onda periódica, el período T indica cuánto tarda un punto en repetir su estado y la longitud de onda λ indica qué distancia separa dos puntos consecutivos en el mismo estado.

Si seguimos una cresta de una onda que conserva su forma, después de un período encontramos la siguiente repetición del patrón en el lugar que ocupaba esa cresta. Durante ese intervalo, la cresta avanzó exactamente una longitud de onda.

Esta observación vincula la descripción temporal con la espacial.

8.2 Derivar la relación fundamental

La rapidez es distancia recorrida dividida por tiempo transcurrido. Para una cresta seguida durante un período:

Como la frecuencia es el inverso del período, f = 1/T, obtenemos:

La relación se aplica a una onda periódica cuya fase se propaga con rapidez v. También puede utilizarse para cada componente sinusoidal de una señal más compleja.

8.3 Comprobación de unidades

La frecuencia se expresa en hertz, equivalentes a ciclos por segundo o s⁻¹. La longitud de onda se expresa en metros:

El resultado tiene la unidad correcta para una rapidez. El término “ciclo” ayuda a interpretar la frecuencia, pero no introduce una dimensión física adicional.

Si λ está en centímetros o f en kilohertz, debemos convertir las unidades o conservar cuidadosamente los prefijos antes de obtener una respuesta en m/s.

8.4 Tres formas de la misma ecuación

Según la incógnita, despejamos:

Conviene identificar primero qué cantidades proporciona el problema, convertir unidades y recién entonces elegir el despeje.

8.5 Ejemplo directo

Una onda tiene frecuencia f = 5 Hz y longitud de onda λ = 2,4 m. Su rapidez de propagación es:

Esto significa que una cresta avanza 12 m cada segundo. El período es T = 1/5 Hz = 0,2 s; durante esos 0,2 s la cresta recorre 12 m/s · 0,2 s = 2,4 m, una longitud de onda.

8.6 Ejemplo inverso

Una onda se propaga a 18 m/s y presenta crestas separadas 3 m. La frecuencia es:

Un sensor fijo registra seis ciclos por segundo. El período es 1/6 s ≈ 0,167 s.

La rapidez describe el avance del patrón; la frecuencia describe la repetición local. Aunque sus valores numéricos sean diferentes, están conectados por la escala espacial λ.

8.7 Qué sucede al cambiar la frecuencia en un mismo medio

En muchos modelos, las propiedades del medio fijan la rapidez de propagación. Si la fuente aumenta su frecuencia mientras el medio permanece igual, v se mantiene aproximadamente constante.

De λ = v/f resulta:

• mayor frecuencia → menor longitud de onda;
• menor frecuencia → mayor longitud de onda.

La fuente produce ciclos más seguidos, y como todos avanzan con la misma rapidez, quedan separados por una distancia menor.

8.8 La fuente fija la frecuencia

En una onda periódica estable, cada ciclo emitido por la fuente se transmite al medio. Si la fuente realiza 10 ciclos por segundo, una región alcanzada por la onda también completa 10 ciclos por segundo.

Al pasar una onda de un medio a otro, la frecuencia permanece determinada por la fuente en una interfaz estacionaria. Si cambia la rapidez, debe cambiar la longitud de onda para conservar v = fλ.

Más adelante estudiaremos cómo este cambio se relaciona con transmisión y refracción.

8.9 No confundir rapidez de onda con velocidad local

La ecuación v = fλ describe la rapidez con la que se propaga una fase del patrón. No calcula la velocidad de una partícula de la cuerda ni del aire.

En una onda transversal, una cresta puede avanzar horizontalmente mientras los puntos del medio se mueven verticalmente. En una longitudinal, ambas direcciones son paralelas, pero sus valores tampoco son iguales.

La velocidad local depende de cómo cambia la perturbación con el tiempo y de la amplitud. La rapidez de propagación depende de las propiedades del medio en el modelo considerado.

8.10 Relación con k y ω

Del tema anterior:

Al dividir ω por k:

Por lo tanto, para una onda sinusoidal viajera:

Esta cantidad se denomina rapidez de fase porque indica con qué rapidez avanza un punto de fase constante, como una cresta.

8.11 Recuperar la rapidez desde la fase

Para una onda hacia +x, una fase constante cumple:

Despejando la posición:

La pendiente de la posición respecto del tiempo es ω/k. El signo de la ecuación indica el sentido, mientras que ω/k expresa la magnitud de la rapidez cuando k y ω se toman positivos.

8.12 Medir v, f y λ experimentalmente

Cada cantidad requiere una estrategia adecuada:

Medir las tres permite comprobar la relación y estimar errores. Debido a incertidumbres experimentales, los valores pueden no satisfacerla exactamente; debemos comparar dentro de la precisión de los instrumentos.

8.13 Conversiones y órdenes de magnitud

Consideremos una onda de frecuencia 2,5 kHz y longitud de onda 12 cm:

Entonces:

Multiplicar directamente 2,5 por 12 y escribir m/s ignoraría factores de mil y de cien. Incluir las unidades en cada paso permite detectar este tipo de error.

8.14 Alcance y límites de la relación

v = fλ es una relación cinemática para un patrón periódico: conecta la rapidez de fase, la frecuencia y la longitud de onda de la misma componente.

En un medio no dispersivo, distintas frecuencias se propagan con la misma rapidez. En un medio dispersivo, la rapidez de fase puede depender de la frecuencia, por lo que cada componente tendrá su propio valor de λ.

Un pulso contiene varias componentes y puede cambiar de forma si estas no avanzan igual. No estudiaremos todavía esa descomposición, pero es importante no suponer que toda señal compleja conserva siempre su forma.

8.15 Resolver y validar con JavaScript

Podemos construir funciones para cada despeje y comprobar que los datos sean positivos.

function rapidezOnda(frecuenciaHz, longitudOndaM) {
  if (frecuenciaHz <= 0 || longitudOndaM <= 0) {
    throw new Error("f y λ deben ser positivas");
  }
  return frecuenciaHz * longitudOndaM;
}

function longitudOnda(rapidezMps, frecuenciaHz) {
  if (rapidezMps <= 0 || frecuenciaHz <= 0) {
    throw new Error("v y f deben ser positivas");
  }
  return rapidezMps / frecuenciaHz;
}

const frecuenciaHz = 8;
const lambdaM = 1.5;
const rapidezMps = rapidezOnda(frecuenciaHz, lambdaM);

console.log("Rapidez:", rapidezMps, "m/s");
console.log("λ recuperada:", longitudOnda(rapidezMps, frecuenciaHz), "m");

Calcular nuevamente λ con el resultado obtenido funciona como una comprobación interna del despeje.

8.16 Laboratorio interactivo: un período y una longitud de onda

El medio del modelo fija la rapidez elegida. Al modificar la frecuencia, el laboratorio calcula λ = v/f. Los puntos amarillos señalan la posición de una cresta ahora y un período antes; la distancia entre ellos es una longitud de onda.

• Duplicá f: con v constante, λ se reduce a la mitad.
• Duplicá v: con f constante, λ se duplica.
• Cambiá A: la altura de la onda varía, pero v, f y λ no cambian en este modelo.
• Seguí las crestas: durante T avanzan una distancia λ.

8.17 Ejercicio propuesto

Una fuente genera ondas de 12 Hz en un medio donde se propagan a 30 m/s.

1. Calculá la longitud de onda.
2. Calculá el período.
3. Comprobá la distancia recorrida durante un período.
4. Si la frecuencia aumenta a 20 Hz sin cambiar el medio, calculá la nueva λ.
5. Indicá qué magnitud permanece fijada por la fuente y cuál por el modelo del medio.

const rapidezMps = 30;
const frecuenciaInicialHz = 12;
const frecuenciaNuevaHz = 20;

const lambdaInicialM = rapidezMps / frecuenciaInicialHz;
const periodoInicialS = 1 / frecuenciaInicialHz;
const distanciaEnUnPeriodoM = rapidezMps * periodoInicialS;
const lambdaNuevaM = rapidezMps / frecuenciaNuevaHz;

console.log({
  lambdaInicialM,
  periodoInicialS,
  distanciaEnUnPeriodoM,
  lambdaNuevaM
});

8.18 Ideas para recordar

• Durante un período, una fase de la onda avanza una longitud de onda.
• La relación fundamental es v = fλ = λ/T.
• Los despejes son f = v/λ y λ = v/f.
• En términos angulares, la rapidez de fase es v = ω/k.
• En un mismo medio no dispersivo, aumentar f reduce λ.
• Al cambiar de medio, la fuente conserva f y el cambio de v modifica λ.
• La rapidez de propagación no es la velocidad local de las partes del medio.
• Las unidades deben convertirse antes de aplicar la fórmula.