9. Velocidad de una onda en una cuerda: tensión y densidad lineal

9.1 Por qué no todas las cuerdas transmiten igual

Un pulso avanza más rápidamente por una cuerda tensa que por la misma cuerda floja. También suele avanzar más lentamente por una cuerda pesada que por otra liviana sometida a la misma tensión.

Estas observaciones muestran dos aspectos del medio:

• la tensión determina la intensidad de la interacción que comunica el movimiento entre regiones vecinas;
• la masa distribuida determina la inercia que debe acelerarse.

Construiremos un modelo cuantitativo que reúna ambos efectos.

9.2 El modelo de cuerda ideal

La relación que estudiaremos supone una cuerda:

• flexible y delgada;
• uniforme a lo largo de la región considerada;
• sometida a una tensión aproximadamente constante;
• con perturbaciones transversales pequeñas;
• sin rigidez de flexión importante;
• con pérdidas de energía despreciables.

Estas idealizaciones permiten que la onda conserve aproximadamente su forma y que su rapidez dependa de dos parámetros sencillos. Una cuerda real puede apartarse del modelo si las deformaciones son grandes, la tensión varía o la rigidez no es despreciable.

9.3 Densidad lineal de masa

La masa total no basta para caracterizar una cuerda: también importa cómo se distribuye a lo largo de su longitud. Definimos la densidad lineal μ como:

Su unidad SI es kilogramo por metro (kg/m). Si una cuerda uniforme de 5 m tiene una masa de 0,40 kg:

Esto significa que cada metro contiene, en promedio, 0,080 kg. Para una cuerda uniforme, un segmento de longitud Δx tiene masa μΔx.

9.4 Medir μ sin usar toda la cuerda

Si la cuerda es uniforme, podemos medir la masa y la longitud de una muestra representativa. Conviene elegir un tramo suficientemente largo para reducir el error relativo de la balanza y de la regla.

Por ejemplo, un tramo de 2,50 m tiene una masa de 75 g:

Usar gramos por metro directamente en una fórmula que espera kg/m multiplicaría el resultado por un factor incorrecto. Las unidades deben convertirse antes del cálculo.

9.5 Tensión en la cuerda

La tensión es la fuerza con la que cada tramo de cuerda tira de sus regiones vecinas. Utilizaremos F_T para su magnitud y la expresaremos en newtons.

La letra T suele emplearse también para el período. Para evitar confusiones:

En una cuerda ideal liviana y sin aceleraciones longitudinales importantes, la magnitud de la tensión puede considerarse aproximadamente igual en todos sus puntos. Su dirección local sigue la cuerda.

9.6 Cómo la tensión transmite la perturbación

Cuando una pequeña región de la cuerda se curva, las tensiones ejercidas en sus extremos apuntan en direcciones ligeramente diferentes. Sus componentes transversales ya no se cancelan y aparece una fuerza resultante.

Esa fuerza acelera la región y modifica la curvatura vecina. Así, el cambio se transmite a lo largo de la cuerda.

Una tensión mayor produce, para una misma forma local, una fuerza transversal mayor. Una densidad lineal mayor implica más masa que acelerar en cada tramo. Por eso esperamos que la primera aumente la rapidez y la segunda la reduzca.

9.7 Rapidez de una onda transversal

Para la cuerda ideal descrita, la rapidez de propagación es:

La fórmula expresa el equilibrio entre una propiedad restauradora y una propiedad inercial:

• F_T grande → interacción más intensa → propagación más rápida;
• μ grande → más inercia por metro → propagación más lenta.

v es la rapidez del patrón ondulatorio, no la velocidad transversal de un punto material de la cuerda.

9.8 Comprobación dimensional

Un newton equivale a kg·m/s². Entonces:

Al tomar la raíz cuadrada:

El análisis dimensional no demuestra la fórmula, pero confirma que su estructura puede producir una rapidez y ayuda a detectar inversiones incorrectas como √(μ/FT).

9.9 Dependencia con la raíz cuadrada

La rapidez no es directamente proporcional a la tensión. Si multiplicamos F_T por un factor a, v se multiplica por √a.

De manera análoga, cuadruplicar μ con tensión constante reduce v a la mitad. Para duplicar la rapidez aumentando solo la tensión, debemos cuadruplicar la fuerza.

9.10 Ejemplo numérico

Una cuerda tiene densidad lineal μ = 0,050 kg/m y está sometida a una tensión de FT = 20 N:

Un pulso tarda 10 m / 20 m/s = 0,50 s en recorrer 10 m. Si la fuente oscila a 5 Hz, la longitud de onda es λ = v/f = 4 m.

9.11 Producir tensión con una masa colgante

En un montaje sencillo, una cuerda pasa por una polea y sostiene una masa. Si la masa permanece en reposo y la cuerda y la polea son ideales, la tensión se aproxima al peso:

Una masa colgante de 2 kg produce aproximadamente FT = 2 kg · 9,8 m/s² = 19,6 N.

La aproximación deja de ser directa si la masa acelera, la polea tiene rozamiento o masa apreciable, o la cuerda cambia de dirección con pérdidas importantes.

9.12 Frecuencia, rapidez y longitud de onda

Las propiedades de la cuerda fijan v en este modelo. La fuente fija f. La longitud de onda resulta de ambas:

Si aumentamos la frecuencia sin modificar F_T ni μ, la rapidez permanece igual y λ disminuye. Si aumentamos la tensión manteniendo la frecuencia, la rapidez y la longitud de onda aumentan.

La frecuencia no aparece en la fórmula de v porque una cuerda ideal es un medio no dispersivo dentro de este modelo.

9.13 La amplitud no determina v en el modelo lineal

Para perturbaciones pequeñas, aumentar la amplitud no cambia la rapidez calculada por √(FT/μ). Sí cambia el desplazamiento y puede cambiar la energía transportada.

Si la amplitud es grande, la cuerda puede estirarse de manera apreciable y modificar su tensión. Entonces las idealizaciones fallan y la rapidez puede depender indirectamente del movimiento.

9.14 Determinar un parámetro desconocido

Si medimos v y conocemos uno de los parámetros, podemos despejar el otro:

Por ejemplo, una onda viaja a 15 m/s por una cuerda de μ = 0,080 kg/m. La tensión estimada es:

Estos despejes son útiles para calibrar un montaje o comprobar si una tensión medida resulta compatible con la propagación observada.

9.15 Cuerdas no uniformes y límites

Si μ o F_T cambian con la posición, también cambia la rapidez local. Una perturbación puede deformarse y, al alcanzar una transición, parte de ella puede reflejarse y parte transmitirse.

La fórmula puede aplicarse localmente si los cambios son graduales y conocemos los parámetros de cada región. En una unión abrupta, la rapidez de cada lado se calcula por separado.

Este tema no analiza todavía lo que sucede en la frontera; reflexión, transmisión e impedancia se estudiarán más adelante.

9.16 Calcular propiedades con JavaScript

Podemos reunir los cálculos y sus validaciones en una función reutilizable.

function propiedadesCuerda({ masaKg, longitudM, tensionN, frecuenciaHz }) {
  if (masaKg <= 0 || longitudM <= 0 || tensionN <= 0 || frecuenciaHz <= 0) {
    throw new Error("Todos los datos deben ser positivos");
  }

  const densidadLinealKgM = masaKg / longitudM;
  const rapidezMps = Math.sqrt(tensionN / densidadLinealKgM);
  const longitudOndaM = rapidezMps / frecuenciaHz;

  return { densidadLinealKgM, rapidezMps, longitudOndaM };
}

const resultado = propiedadesCuerda({
  masaKg: 0.4,
  longitudM: 8,
  tensionN: 20,
  frecuenciaHz: 5
});

console.log(resultado);
// μ = 0.05 kg/m, v = 20 m/s, λ = 4 m

Los nombres de las variables incluyen sus unidades y reducen el riesgo de mezclar gramos con kilogramos o centímetros con metros.

9.17 Laboratorio interactivo: ajustar la cuerda

Una fuente comienza a oscilar en el extremo izquierdo. La región perturbada crece hasta el frente amarillo, cuya posición es x = vt. La rapidez se calcula a partir de la tensión y la densidad lineal.

• Cuadruplicá la tensión: la rapidez se duplica si μ permanece constante.
• Aumentá μ: el frente avanza más lentamente.
• Cambiá f: cambia λ, pero no v.
• Compará tiempos: una rapidez mayor reduce el tiempo necesario para recorrer 12 m.

9.18 Ejercicio propuesto

Una cuerda uniforme de 6 m tiene una masa de 0,54 kg y está sometida a una tensión de 24 N. Una fuente la hace oscilar a 4 Hz.

1. Calculá la densidad lineal.
2. Calculá la rapidez de propagación.
3. Calculá la longitud de onda.
4. Calculá cuánto tarda un pulso en recorrer los 6 m.
5. Indicá la nueva rapidez si la tensión se cuadruplica.

const masaKg = 0.54;
const longitudM = 6;
const tensionN = 24;
const frecuenciaHz = 4;

const muKgM = masaKg / longitudM;
const rapidezMps = Math.sqrt(tensionN / muKgM);
const lambdaM = rapidezMps / frecuenciaHz;
const tiempoViajeS = longitudM / rapidezMps;
const rapidezCuadrupleTensionMps = Math.sqrt(4 * tensionN / muKgM);
const redondear = valor => Number(valor.toFixed(3));

console.log({
  muKgM: redondear(muKgM),
  rapidezMps: redondear(rapidezMps),
  lambdaM: redondear(lambdaM),
  tiempoViajeS: redondear(tiempoViajeS),
  rapidezCuadrupleTensionMps: redondear(rapidezCuadrupleTensionMps)
});

9.19 Ideas para recordar

• La densidad lineal es μ = m/L y se mide en kg/m.
• La tensión transmite la interacción; la masa por longitud aporta inercia.
• En una cuerda ideal, v = √(F_T/μ).
• Cuadruplicar F_T duplica v; cuadruplicar μ reduce v a la mitad.
• La fuente fija f y la cuerda fija v; entonces λ = v/f.
• En el régimen lineal, v no depende de la amplitud ni de la frecuencia.
• F_T = μv² y μ = F_T/v² permiten obtener parámetros desconocidos.
• La fórmula requiere una cuerda flexible, uniforme y con tensión aproximadamente constante.