10. Frecuencia angular y relación entre masa, rigidez y período

10.1 Una frecuencia propia del sistema

La ecuación del sistema masa–resorte ideal es x'' + (k/m)x = 0. La solución armónica cumple x'' + ω²x = 0. Al comparar ambas expresiones obtenemos:

Esta frecuencia angular surge de las propiedades del sistema. Una vez elegidos la masa m y el resorte de rigidez k, el movimiento libre posee un ritmo natural.

Las condiciones iniciales determinan la amplitud y la fase, pero no cambian ω dentro del modelo lineal ideal.

10.2 Interpretar la frecuencia angular

La frecuencia angular ω indica cuántos radianes de fase avanza la oscilación por segundo. Su unidad es rad/s. Si ω = 5 rad/s, la fase aumenta cinco radianes por cada segundo.

Un ciclo completo corresponde a 2π rad, no a un radián. Por eso ω no es numéricamente igual a la frecuencia f medida en hertz:

La masa no recorre físicamente un ángulo cuando se desplaza en línea recta. El ángulo pertenece a la fase de la función sinusoidal.

10.3 Período del sistema masa–resorte

Como T = 2π/ω, sustituimos ω = √(k/m):

El período se expresa en segundos. La masa aparece en el numerador: aumentar la inercia hace más lenta la respuesta. La rigidez aparece en el denominador: una acción restauradora más intensa produce un regreso más rápido.

La raíz cuadrada es esencial. Duplicar la masa no duplica el período, y duplicar k no reduce el período a la mitad.

10.4 Frecuencia en hertz

La frecuencia ordinaria es el inverso del período:

Para m = 1 kg y k = 100 N/m:

El resultado de 1,59 Hz significa aproximadamente 1,59 ciclos por segundo. No significa 10 ciclos por segundo: 10 es el avance de fase en radianes por segundo.

10.5 Efecto de cambiar la masa

Si mantenemos k constante y multiplicamos la masa por un factor r:

Para duplicar el período usando la masa debemos cuadruplicarla, no duplicarla.

10.6 Efecto de cambiar la rigidez

Si mantenemos m constante y multiplicamos k por un factor r:

Un resorte cuatro veces más rígido produce el doble de frecuencia angular y la mitad del período para la misma masa.

10.7 Cambiar masa y rigidez simultáneamente

Para comparar dos sistemas usamos directamente el cociente de períodos:

Si multiplicamos m y k por el mismo factor, el cociente k/m no cambia. Ambos sistemas tienen la misma ω, el mismo período y la misma evolución de x cuando parten de iguales condiciones iniciales.

Las fuerzas no son necesariamente iguales. Un sistema con cuatro veces la masa y cuatro veces la rigidez desarrolla fuerzas cuatro veces mayores para el mismo desplazamiento, pero también necesita cuatro veces más fuerza para obtener la misma aceleración.

10.8 Semejanza dinámica

Dos sistemas masa–resorte ideales son dinámicamente semejantes en su posición si comparten el valor de k/m y las mismas condiciones iniciales. Por ejemplo:

Para los dos, ω = 5 rad/s y T = 2π/5 s. Sus gráficos de posición coinciden.

Esta equivalencia es útil al diseñar pruebas: podemos verificar que el programa obtiene la misma trayectoria de posición aunque cambien por separado los parámetros.

10.9 Problemas inversos

Las fórmulas también permiten diseñar o identificar un sistema. Partiendo de T = 2π√(m/k):

Si queremos que una masa de 2 kg tenga un período de 1,5 s:

El resultado es la rigidez ideal requerida. En un diseño real habría que considerar tolerancias, masa del resorte, rozamiento y límites de deformación.

10.10 Determinar k midiendo el período

Si conocemos la masa y medimos el período de oscilaciones pequeñas, podemos estimar k mediante k = 4π²m/T². Cronometrar varios ciclos reduce el error relativo del tiempo:

Una masa de 0,50 kg completa 20 ciclos en 12,6 s. Entonces T = 0,630 s y:

Este método dinámico puede compararse con la calibración estática de fuerza y deformación. Diferencias importantes pueden revelar pérdidas, masa efectiva del resorte o una respuesta no lineal.

10.11 Independencia respecto de la amplitud

La fórmula T = 2π√(m/k) no contiene A. En el modelo ideal lineal, aumentar la amplitud no cambia el período.

Esto no significa que todos los osciladores reales sean isócronos. Si el resorte deja de cumplir la ley de Hooke a deformaciones grandes, la ecuación cambia y el período puede depender de la amplitud.

La independencia de A es una predicción comprobable y, al mismo tiempo, una condición para reconocer la región donde el modelo armónico funciona adecuadamente.

10.12 Sensibilidad e incertidumbre

Como el período depende de raíces cuadradas, pequeños cambios relativos producen aproximadamente la mitad de efecto relativo:

Esta relación es una aproximación para variaciones pequeñas. Un aumento de 2 % en la masa, con k fija, incrementa T aproximadamente 1 %. Un aumento de 2 % en k reduce T aproximadamente 1 %.

Para estimar k desde T, la dependencia es cuadrática e inversa. Un error relativo de 1 % en T produce aproximadamente 2 % de error relativo en k, con signo contrario, si la incertidumbre de m es despreciable.

10.13 Comprobaciones y errores frecuentes

• Confundir ω con f: se relacionan mediante ω = 2πf.
• Olvidar la raíz: T no es proporcional directamente a m/k.
• Usar masa en gramos: con k en N/m, la masa debe estar en kilogramos.
• Usar peso en lugar de masa: la fórmula requiere m, no mg.
• Agregar la amplitud: no interviene en el período del modelo lineal.
• Medir medio ciclo como uno: deben compararse estados completos equivalentes.
• Aplicar la fórmula fuera del modelo: rozamiento intenso o no linealidad requieren revisión.

La comprobación dimensional ofrece una defensa rápida: m/k tiene unidad s², por lo que su raíz puede representar un tiempo.

10.14 Cálculos reutilizables con JavaScript

function propiedadesMasaResorte(masaKg, kNpm) {
  if (masaKg <= 0 || kNpm <= 0) {
    throw new RangeError("La masa y la rigidez deben ser positivas");
  }

  const omegaRadS = Math.sqrt(kNpm / masaKg);
  const periodoS = 2 * Math.PI / omegaRadS;
  const frecuenciaHz = 1 / periodoS;
  return { omegaRadS, periodoS, frecuenciaHz };
}

const propiedades = propiedadesMasaResorte(1, 100);
console.log({
  omegaRadS: propiedades.omegaRadS.toFixed(3),
  periodoS: propiedades.periodoS.toFixed(3),
  frecuenciaHz: propiedades.frecuenciaHz.toFixed(3)
});

Para resolver el problema inverso podemos crear otra función:

function rigidezParaPeriodo(masaKg, periodoS) {
  if (masaKg <= 0 || periodoS <= 0) {
    throw new RangeError("Los datos deben ser positivos");
  }
  return 4 * Math.PI ** 2 * masaKg / periodoS ** 2;
}

const kNpm = rigidezParaPeriodo(2, 1.5);
console.log("Rigidez necesaria:", kNpm.toFixed(2), "N/m");

10.15 Laboratorio interactivo: comparar dos sistemas

El sistema A permanece fijo en m = 1 kg y k = 25 N/m. Modificá masa y rigidez del sistema B. Ambos parten con igual amplitud y fase, de modo que cualquier diferencia de ritmo proviene de k/m.

• Duplicá la masa B: sin cambiar k, observá cómo aumenta su período.
• Aumentá cuatro veces k/m: la frecuencia angular se duplica y el período se reduce a la mitad.
• Igualá k/m: aunque masa y rigidez sean diferentes, las posiciones vuelven a coincidir.
• Compará fuerzas: con los valores iniciales, B tiene igual aceleración que A pero necesita cuatro veces más fuerza.

10.16 Ejercicio propuesto

Un sistema A tiene mA = 0,50 kg y kA = 72 N/m.

1. Calculá ω, T y f del sistema A.
2. ¿Qué masa debe usarse con el mismo resorte para duplicar el período?
3. ¿Qué rigidez debe usarse con la masa original para reducir el período a un tercio?
4. Diseñá un sistema B con masa 2 kg que tenga el mismo período que A.
5. Si 12 ciclos medidos duran 3,14 s, compará ese período experimental con el teórico.

const masaAkg = 0.50;
const kA_Npm = 72;
const omegaA = Math.sqrt(kA_Npm / masaAkg);
const periodoA = 2 * Math.PI / omegaA;
const frecuenciaA = 1 / periodoA;

const masaParaDoblePeriodo = 4 * masaAkg;
const kParaTercioPeriodo = 9 * kA_Npm;
const masaBkg = 2;
const kB_Npm = masaBkg * (kA_Npm / masaAkg);
const periodoExperimental = 3.14 / 12;

console.log({ omegaA, periodoA, frecuenciaA,
  masaParaDoblePeriodo, kParaTercioPeriodo,
  kB_Npm, periodoExperimental });

10.17 Ideas para recordar

• La frecuencia angular natural es ω = √(k/m).
• El período es T = 2π√(m/k) y la frecuencia es f = 1/T.
• Aumentar la masa alarga el período; aumentar la rigidez lo acorta.
• Los cambios siguen raíces cuadradas: cuadruplicar una cantidad produce un factor dos.
• Multiplicar m y k por el mismo factor conserva el ritmo de la posición.
• El período ideal no depende de la amplitud.
• Medir T permite estimar k si conocemos m.
• Las fórmulas solo valen mientras el modelo lineal masa–resorte represente el sistema.