12. Posición, velocidad y aceleración en el movimiento armónico

12.1 Tres descripciones del mismo movimiento

La posición x indica dónde se encuentra el oscilador respecto del equilibrio. La velocidad v indica con qué rapidez y en qué sentido cambia la posición. La aceleración a indica cómo cambia la velocidad.

En el movimiento armónico simple no son tres oscilaciones independientes. Las tres magnitudes describen el mismo sistema y se obtienen a partir de una única función x(t).

Compararlas evita interpretaciones incompletas. Una masa puede pasar por x = 0 en dos sentidos distintos, y puede tener v = 0 tanto en el extremo positivo como en el negativo.

12.2 Ecuaciones temporales

Partimos de la solución:

Al derivar una vez y luego otra vez:

Las tres funciones contienen la misma fase ωt + φ₀ y repiten sus valores con el mismo período T = 2π/ω.

12.3 Valores máximos

Como seno y coseno solo toman valores entre −1 y +1:

Las amplitudes de velocidad y aceleración tienen unidades distintas de A:

• A se mide en metros;
• Aω se mide en metros por segundo;
• Aω² se mide en metros por segundo cuadrado.

Aumentar ω afecta más fuertemente la aceleración máxima porque aparece elevada al cuadrado.

12.4 Desfase entre posición y velocidad

La velocidad puede escribirse como un coseno desplazado:

Decimos que la velocidad está adelantada un cuarto de ciclo respecto de la posición en esta representación. Lo importante físicamente es la secuencia:

• cuando x es máxima o mínima, v es cero;
• cuando x pasa por cero, |v| es máxima;
• el signo de v indica hacia qué lado evoluciona x.

No debemos comparar solo alturas de gráficos con escalas diferentes. El desfase se refiere a la etapa del ciclo, no a las unidades ni a los valores numéricos.

12.5 Oposición entre posición y aceleración

La aceleración satisface directamente:

Por lo tanto, posición y aceleración están en oposición de fase: sus signos son contrarios y sus extremos ocurren simultáneamente.

• En x = +A, la aceleración vale −Aω².
• En x = 0, la aceleración es cero.
• En x = −A, la aceleración vale +Aω².

La aceleración tiene módulo máximo en los extremos, aunque allí la masa esté momentáneamente en reposo.

12.6 Un ciclo en cuatro etapas

Tomemos φ₀ = 0, de modo que el movimiento comienza en el extremo positivo:

Entre estos instantes las magnitudes cambian de forma continua, no por saltos.

12.7 Cuándo aumenta o disminuye la rapidez

La rapidez aumenta cuando velocidad y aceleración tienen el mismo signo, y disminuye cuando tienen signos opuestos.

La aceleración siempre apunta hacia el equilibrio, pero puede aumentar o reducir la rapidez según el sentido instantáneo de la velocidad.

12.8 Relación entre velocidad y posición

Podemos eliminar el tiempo utilizando sen²θ + cos²θ = 1. Como x/A = cos θ y v/(−Aω) = sen θ:

Despejando:

Esta ecuación da el módulo de la velocidad para una posición, pero no su signo:

El signo debe obtenerse del sentido del movimiento o de la fase. La misma posición intermedia se visita dos veces por ciclo.

12.9 Elipse en el espacio de estados

La relación anterior puede escribirse como:

En un gráfico de v frente a x representa una elipse con semiejes A y Aω. Si normalizamos ambos ejes mediante X = x/A y V = v/(Aω), la trayectoria se convierte en una circunferencia.

La curva cerrada expresa que el estado se repite. El punto no puede abandonar la elipse mientras A y ω permanezcan constantes en el modelo ideal.

12.10 Interpretar pendientes y curvatura

En un gráfico x(t), la pendiente es la velocidad. Por eso:

• la pendiente es cero en los máximos y mínimos de x;
• su módulo es mayor en los cruces por el equilibrio;
• una pendiente negativa representa movimiento hacia valores menores de x.

La aceleración se relaciona con cómo cambia esa pendiente. Cerca del extremo positivo, el gráfico es cóncavo hacia abajo y a es negativa. Cerca del extremo negativo, es cóncavo hacia arriba y a es positiva.

Leer estas propiedades permite detectar gráficos incompatibles sin realizar todos los cálculos.

12.11 Ejemplo en un instante

Un oscilador tiene A = 0,20 m, ω = 5 rad/s y φ₀ = 0. Queremos conocer el estado en t = 0,10 s.

La velocidad y la aceleración son negativas, de modo que la masa se desplaza hacia el equilibrio aumentando su rapidez.

También comprobamos a = −ω²x = −25·0,1755 ≈ −4,3875 m/s²; la pequeña diferencia proviene del redondeo intermedio.

12.12 Calcular el estado sin conocer el tiempo

El mismo oscilador pasa por x = 0,12 m. El módulo de su velocidad es:

Puede tener v = −0,80 m/s mientras va hacia el extremo negativo o v = +0,80 m/s mientras regresa. La aceleración sí queda determinada por la posición:

12.13 Inferir parámetros desde valores máximos

Si medimos A y la velocidad máxima, podemos determinar ω:

Si medimos A y la aceleración máxima:

Por ejemplo, si A = 0,08 m y vmáx = 0,64 m/s, entonces ω = 8 rad/s, T = 2π/8 ≈ 0,785 s y amáx = Aω² = 5,12 m/s².

12.14 Calcular y verificar con JavaScript

function estadoArmonico(tS, amplitudM, omegaRadS, faseInicialRad = 0) {
  const fase = omegaRadS * tS + faseInicialRad;
  const posicionM = amplitudM * Math.cos(fase);
  const velocidadMps = -amplitudM * omegaRadS * Math.sin(fase);
  const aceleracionMps2 = -(omegaRadS ** 2) * posicionM;
  return { posicionM, velocidadMps, aceleracionMps2 };
}

const estado = estadoArmonico(0.10, 0.20, 5);
console.log(estado);

La relación sin tiempo puede convertirse en una función que devuelva las dos velocidades posibles:

function velocidadesEnPosicion(posicionM, amplitudM, omegaRadS) {
  if (Math.abs(posicionM) > amplitudM) {
    throw new RangeError("La posición queda fuera de los extremos");
  }
  const moduloMps = omegaRadS * Math.sqrt(
    Math.max(0, amplitudM ** 2 - posicionM ** 2)
  );
  return [-moduloMps, moduloMps];
}

console.log(velocidadesEnPosicion(0.12, 0.20, 5));
// aproximadamente [-0.8, 0.8]

Math.max(0, ...) evita que un pequeño error de redondeo produzca la raíz de un número negativo justo en un extremo.

12.15 Laboratorio interactivo: tres gráficas sincronizadas

Las tres curvas se normalizan por sus respectivos valores máximos para poder compararlas pese a sus unidades diferentes. La línea vertical y los puntos señalan el mismo instante en todos los gráficos.

• Avanzá por cuartos: compará extremos y cruces por el equilibrio.
• Buscá igual posición: encontrá dos instantes con velocidades opuestas.
• Duplicá A: se duplican los tres valores máximos.
• Duplicá ω: la velocidad máxima se duplica y la aceleración máxima se cuadruplica.

12.16 Ejercicio propuesto

Un oscilador cumple x(t) = 0,15 cos(4t + π/3) m.

1. Escribí v(t) y a(t).
2. Calculá los valores máximos de rapidez y aceleración.
3. Calculá x, v y a en t = 0.
4. Indicá si la rapidez aumenta o disminuye inicialmente.
5. Calculá las velocidades posibles cuando x = 0,09 m.

const amplitudM = 0.15;
const omegaRadS = 4;
const faseInicialRad = Math.PI / 3;

const x0M = amplitudM * Math.cos(faseInicialRad);
const v0Mps = -amplitudM * omegaRadS * Math.sin(faseInicialRad);
const a0Mps2 = -(omegaRadS ** 2) * x0M;
const velocidadesMps = [-1, 1].map(signo =>
  signo * omegaRadS * Math.sqrt(amplitudM ** 2 - 0.09 ** 2)
);

console.log({ x0M, v0Mps, a0Mps2, velocidadesMps });

12.17 Ideas para recordar

• Posición, velocidad y aceleración oscilan con la misma frecuencia.
• Sus valores máximos son A, Aω y Aω², con unidades diferentes.
• La velocidad es cero en los extremos y máxima en módulo al cruzar el equilibrio.
• La aceleración es cero en el equilibrio y máxima en módulo en los extremos.
• Posición y aceleración siempre tienen signos opuestos.
• La rapidez aumenta si v y a comparten signo y disminuye si sus signos son opuestos.
• La relación v² = ω²(A² − x²) da dos sentidos posibles para una posición intermedia.
• Las pendientes y curvaturas de x(t) permiten reconocer v y a cualitativamente.