13. Gráficos temporales y desfase entre las magnitudes

13.1 El gráfico como registro del movimiento

Un gráfico temporal representa una magnitud en el eje vertical y el tiempo en el eje horizontal. Cada punto responde una pregunta precisa: qué valor tenía la magnitud en ese instante.

La curva no es la trayectoria espacial del cuerpo. Si una masa oscila horizontalmente y su gráfico x(t) tiene forma sinusoidal, eso no significa que la masa recorra un camino ondulado. La curva reúne valores de posición medidos en instantes sucesivos.

Antes de interpretar una gráfica conviene identificar el título, la magnitud de cada eje, sus unidades, la escala y el intervalo temporal mostrado.

13.2 Ejes, unidades y escalas

El eje horizontal suele medir tiempo en segundos. El eje vertical puede corresponder a posición, velocidad o aceleración, con unidades diferentes:

• posición x(t): metros;
• velocidad v(t): metros por segundo;
• aceleración a(t): metros por segundo cuadrado.

Dos curvas con la misma altura dibujada no necesariamente tienen el mismo valor físico. La comparación cuantitativa solo es válida después de leer las escalas. También debemos observar si el origen está incluido o si el eje fue recortado.

13.3 Línea de equilibrio y amplitud

En una gráfica de posición, la línea alrededor de la cual se repite el movimiento representa la posición de equilibrio. Si los extremos son x_máx y x_mín, podemos hallar:

Por ejemplo, si una curva varía entre 0,70 m y 0,10 m, su equilibrio es 0,40 m y su amplitud es 0,30 m. La posición respecto del equilibrio es entonces x − x_eq.

Si el eje ya representa el desplazamiento respecto del equilibrio, los extremos ideales son +A y −A.

13.4 Obtener período y frecuencia

El período es la separación temporal entre dos puntos equivalentes de ciclos consecutivos: dos máximos positivos, dos mínimos o dos cruces por el equilibrio con el mismo sentido.

No basta elegir dos cruces cualesquiera. Los cruces consecutivos tienen sentidos opuestos y están separados por T/2. Del mismo modo, un máximo y el mínimo siguiente están separados por medio período.

Si el gráfico contiene varios ciclos, medir desde el primer máximo hasta el quinto y dividir el intervalo por cuatro suele reducir el efecto de errores de lectura.

13.5 Puntos característicos del ciclo

Los máximos, mínimos y cruces por el equilibrio dividen cada ciclo en cuatro etapas. Para una posición escrita como x = A cos θ:

Entre puntos consecutivos transcurre T/4 y la fase avanza π/2 rad.

13.6 La pendiente de x(t) representa la velocidad

La pendiente local de la gráfica de posición es la velocidad. Una curva ascendente tiene velocidad positiva; una curva descendente, velocidad negativa.

• En un máximo o mínimo de x, la tangente es horizontal y v = 0.
• En el equilibrio, la pendiente tiene su mayor módulo y también |v| es máxima.
• Cuanto más inclinada esté la curva, mayor es el módulo de la velocidad.

Con datos discretos, una aproximación centrada en el instante t es:

Un Δt pequeño mejora la resolución temporal, aunque datos experimentales ruidosos pueden volver inestable una estimación demasiado local.

13.7 La pendiente de v(t) representa la aceleración

La aceleración se lee como la pendiente de la gráfica de velocidad. En un máximo o mínimo de v, la aceleración es cero. Cuando v cambia rápidamente, el módulo de a es grande.

También podemos reconocer la aceleración en la curvatura de x(t):

• curvatura hacia abajo: a < 0;
• curvatura hacia arriba: a > 0;
• cambio de curvatura en el equilibrio: a = 0.

En un movimiento armónico ideal, la gráfica debe ser compatible con a = −ω²x. Por eso x y a cruzan cero simultáneamente y sus signos son siempre opuestos.

13.8 Comparar curvas con escalas normalizadas

Las amplitudes A, Aω y Aω² no pueden compararse directamente porque tienen unidades distintas. Para estudiar únicamente la forma y el desfase usamos:

Las tres variables normalizadas oscilan entre −1 y +1. Esto permite superponerlas o dibujarlas con la misma escala vertical sin perder información sobre sus etapas del ciclo.

Normalizar no elimina las unidades de las magnitudes originales; crea nuevas razones adimensionales para facilitar la comparación.

13.9 Desfase entre posición, velocidad y aceleración

Si θ = ωt + φ₀, las tres funciones pueden escribirse usando cosenos:

En esta representación, v está adelantada π/2 rad respecto de x y a está separada π rad de x. En el gráfico, la curva de velocidad aparece desplazada un cuarto de período hacia la izquierda respecto de la de posición, mientras que aceleración y posición están en oposición.

Hablar de adelanto o atraso exige indicar qué curva se toma como referencia. La separación de fase, en cambio, puede expresarse sin ambigüedad junto con el sentido elegido.

13.10 De diferencia de fase a diferencia temporal

Una diferencia angular Δφ corresponde a un desplazamiento horizontal Δt:

Así, π/2 equivale a T/4, π equivale a T/2 y 2π equivale a T. Por ejemplo, para T = 1,6 s, una separación de π/2 representa 0,40 s.

Fase y tiempo no son intercambiables: la misma diferencia de fase representa intervalos temporales distintos en osciladores con períodos diferentes.

13.11 Inferir la fase inicial desde la gráfica

Para el modelo x(t) = A cos(ωt + φ₀), la gráfica en t = 0 aporta dos datos: el valor inicial y el signo de la pendiente.

La primera ecuación por sí sola suele tener dos soluciones dentro de un ciclo. El sentido inicial permite elegir:

• si la curva desciende, v(0) < 0 y sen φ₀ > 0;
• si la curva asciende, v(0) > 0 y sen φ₀ < 0.

Una forma robusta de combinar ambos datos es φ₀ = atan2(−v₀/(Aω), x₀/A).

13.12 Construir una tabla para dibujar la curva

Un programa genera una gráfica evaluando la función en una secuencia de instantes. Si el intervalo es uniforme:

En cada instante calculamos x, v y a y almacenamos un punto. Luego unimos puntos consecutivos. Cuanto menor sea Δt, más suave parece la curva, pero más cálculos y memoria se requieren.

function muestrearOscilacion(amplitudM, periodoS, faseRad, pasos) {
  const omega = 2 * Math.PI / periodoS;
  return Array.from({ length: pasos + 1 }, (_, i) => {
    const t = i * periodoS / pasos;
    const theta = omega * t + faseRad;
    return {
      t,
      x: amplitudM * Math.cos(theta),
      v: -amplitudM * omega * Math.sin(theta),
      a: -amplitudM * omega ** 2 * Math.cos(theta)
    };
  });
}

const muestras = muestrearOscilacion(0.20, 1.6, -Math.PI / 4, 8);
console.table(muestras);

Para un dibujo conviene transformar después tiempo y magnitud a coordenadas de pantalla. Esa transformación visual no debe mezclarse con los valores físicos.

13.13 Reconocer gráficas incompatibles

Un conjunto de curvas que pretende representar el mismo movimiento armónico debe cumplir varias condiciones:

• x, v y a tienen el mismo período;
• v es cero cuando x alcanza un extremo;
• |v| es máxima cuando x = 0;
• a y x se anulan simultáneamente y tienen signos opuestos;
• la pendiente de x tiene el mismo signo que v;
• la pendiente de v tiene el mismo signo que a.

Estas reglas permiten descartar una gráfica aunque las escalas verticales no estén indicadas. Son relaciones cualitativas derivadas de las magnitudes, no coincidencias visuales.

13.14 Ejemplo: reconstruir una ecuación desde máximos

Una gráfica de posición tiene máximos de +0,12 m en t = 0,20 s y t = 1,80 s, con equilibrio en cero.

En el primer máximo, la fase debe ser 0 módulo 2π. Por lo tanto:

Una ecuación compatible es:

La información gráfica puede tener incertidumbre, por lo que los parámetros calculados deben expresarse con una precisión coherente con la lectura.

13.15 Extraer parámetros con JavaScript

function parametrosDesdeMaximos(amplitudM, primerMaximoS, siguienteMaximoS) {
  const periodoS = siguienteMaximoS - primerMaximoS;
  if (amplitudM <= 0 || periodoS <= 0) {
    throw new RangeError("La amplitud y el período deben ser positivos");
  }
  const frecuenciaHz = 1 / periodoS;
  const omegaRadS = 2 * Math.PI / periodoS;
  const faseInicialRad = -omegaRadS * primerMaximoS;
  return { amplitudM, periodoS, frecuenciaHz, omegaRadS, faseInicialRad };
}

const parametros = parametrosDesdeMaximos(0.12, 0.20, 1.80);
console.log(parametros);

El valor de fase puede diferir en múltiplos enteros de 2π sin cambiar la función. Para mostrarlo dentro del intervalo (−π, π] podemos normalizarlo:

function normalizarFase(faseRad) {
  const dosPi = 2 * Math.PI;
  let resultado = ((faseRad + Math.PI) % dosPi + dosPi) % dosPi - Math.PI;
  if (resultado === -Math.PI) resultado = Math.PI;
  return resultado;
}

const faseOriginal = 11 * Math.PI / 4;
console.log({
  faseOriginal,
  faseNormalizada: normalizarFase(faseOriginal)
});

13.16 Laboratorio interactivo: leer curvas sincronizadas

Las curvas están normalizadas para comparar su fase. Mové el cursor temporal o reproducí el movimiento. El botón de punto característico avanza hasta el siguiente máximo, mínimo o cruce de la posición.

• Cambiá A: cambian los valores físicos, pero no las curvas normalizadas.
• Cambiá T: observá cómo cambian f, ω y la escala horizontal.
• Cambiá φ₀: las tres curvas se desplazan juntas sin alterar su separación mutua.
• Avanzá por puntos característicos: comprobá que cada salto de fase es π/2.

13.17 Ejercicio propuesto

Una gráfica de posición tiene un máximo de +0,18 m en t = 0,30 s y el mínimo siguiente de −0,18 m en t = 1,20 s. El equilibrio está en cero.

1. Determiná A, T, f y ω.
2. Escribí una ecuación de posición con coseno.
3. Calculá x(0), v(0) y a(0).
4. Indicá el primer instante posterior al máximo en que cruza el equilibrio.

const amplitudM = 0.18;
const tiempoMaximoS = 0.30;
const tiempoMinimoS = 1.20;
const periodoS = 2 * (tiempoMinimoS - tiempoMaximoS);
const frecuenciaHz = 1 / periodoS;
const omegaRadS = 2 * Math.PI / periodoS;
const faseInicialRad = -omegaRadS * tiempoMaximoS;
const x0M = amplitudM * Math.cos(faseInicialRad);
const v0Mps = -amplitudM * omegaRadS * Math.sin(faseInicialRad);
const a0Mps2 = -(omegaRadS ** 2) * x0M;
const primerCruceS = tiempoMaximoS + periodoS / 4;

console.log({ periodoS, frecuenciaHz, omegaRadS,
  faseInicialRad, x0M, v0Mps, a0Mps2, primerCruceS });

13.18 Ideas para recordar

• Una gráfica temporal no es la trayectoria espacial del objeto.
• La amplitud es la mitad de la distancia vertical entre los extremos.
• El período se mide entre estados equivalentes, incluido el sentido del movimiento.
• La pendiente de x(t) es v(t), y la pendiente de v(t) es a(t).
• Normalizar las magnitudes permite comparar curvas con unidades distintas.
• Velocidad y posición están separadas π/2; aceleración y posición, π.
• Una diferencia de fase Δφ corresponde a Δt = (Δφ/2π)T.
• El valor y la pendiente iniciales permiten determinar la fase sin ambigüedad.