14. Energía potencial elástica y energía cinética

14.1 Una mirada energética del oscilador

Hasta ahora describimos el sistema masa-resorte mediante posición, velocidad, aceleración y fuerza. La energía aporta otra forma de representar el mismo estado.

Cuando el resorte está deformado puede realizar trabajo al recuperar su longitud de equilibrio. Asociamos esa capacidad con energía potencial elástica. Cuando la masa se mueve posee energía cinética.

Ambas son magnitudes escalares: no tienen dirección ni sentido. Sus valores, sin embargo, dependen del estado instantáneo del sistema.

14.2 Elegir el sistema y la referencia

Tomaremos como sistema la masa y el resorte ideal. Usaremos x para medir la deformación respecto de la posición en la que el resorte no ejerce fuerza, o respecto del equilibrio cuando el modelo ya fue expresado con esa coordenada.

Elegimos como referencia Uₑ = 0 en x = 0. Esta elección simplifica las expresiones. Cambiar el cero de energía potencial agrega una constante, pero no modifica las diferencias de energía ni las fuerzas obtenidas a partir del potencial.

En un resorte horizontal ideal no hay cambio de energía potencial gravitatoria. El resorte vertical se analizará específicamente más adelante, junto con el desplazamiento de su equilibrio.

14.3 El trabajo necesario para deformar un resorte

La fuerza elástica cambia con la deformación. Para estirar lentamente un resorte ideal desde 0 hasta x, una fuerza externa debe equilibrar en cada instante el módulo kx.

En un gráfico de fuerza externa frente a deformación, el trabajo es el área bajo una recta que va desde 0 hasta kx. Esa región es un triángulo:

Si el proceso es lento y no cambia la energía cinética, ese trabajo queda almacenado como energía potencial elástica.

14.4 Energía potencial elástica

En esta expresión, k es la constante elástica en N/m y x es la deformación en metros. El resultado se mide en joules.

• En x = 0, Uₑ es cero con la referencia elegida.
• En x = +A y x = −A, Uₑ tiene el mismo valor.
• Duplicar |x| multiplica Uₑ por cuatro.
• Para una misma deformación, un resorte más rígido almacena más energía.

El cuadrado explica por qué comprimir y estirar la misma distancia producen igual energía potencial, aunque las fuerzas tengan sentidos opuestos.

14.5 Comprobación de unidades

La constante k tiene unidades N/m. Por lo tanto:

El factor ½ no tiene dimensiones. Este análisis permite detectar errores comunes como utilizar centímetros sin convertirlos a metros o escribir erróneamente ½kx.

Por ejemplo, una deformación de 8 cm debe convertirse a 0,08 m antes de sustituirla en la fórmula.

14.6 El gráfico Uₑ(x)

La función Uₑ = ½kx² es una parábola con mínimo en el equilibrio. Su pendiente aumenta en módulo al alejarnos de x = 0.

La fuerza se relaciona con la pendiente del potencial:

El signo negativo indica que la fuerza apunta hacia valores de menor energía potencial. A la derecha del mínimo la pendiente es positiva y la fuerza es negativa; a la izquierda ocurre lo contrario.

Esta relación entre fuerza y potencial ya anticipa una idea general: los equilibrios estables se asocian con mínimos locales de energía potencial.

14.7 Energía cinética de la masa

Una masa m que se mueve con rapidez |v| posee:

La energía cinética nunca es negativa porque depende de v². Dos estados con velocidades +v y −v tienen la misma K, aunque el cuerpo se mueva en sentidos opuestos.

• Si v = 0, entonces K = 0.
• Duplicar la rapidez multiplica K por cuatro.
• Con igual rapidez, duplicar la masa duplica K.

La energía cinética sola no determina por completo el estado: para recuperar el sentido del movimiento necesitamos conservar también el signo de v.

14.8 Energías a partir de la fase

Para un movimiento armónico simple:

Sustituyendo en las expresiones energéticas y usando k = mω²:

Las funciones cuadradas no distinguen signos: la energía potencial es igual en posiciones opuestas y la cinética es igual para velocidades opuestas.

14.9 Frecuencia de las gráficas de energía

Durante un ciclo mecánico, la masa pasa dos veces por cada distancia respecto del equilibrio. Por eso Uₑ y K repiten su valor cada medio período:

Las energías oscilan con período T/2 y frecuencia 2f, aunque posición y velocidad tengan período T. Esto no significa que el cuerpo complete dos oscilaciones; significa que una magnitud que ignora el signo repite antes su valor.

Uₑ y K están desfasadas T/4 entre sí: cuando una alcanza su máximo, la otra vale cero.

14.10 Energías en puntos característicos

Las expresiones anteriores permiten comparar los estados principales:

La igualdad entre ambas energías ocurre en |x| = A/√2 ≈ 0,707A, no en A/2. La dependencia cuadrática es la causa.

14.11 Energía cinética como función de la posición

En el tema 12 obtuvimos v² = ω²(A² − x²). Al multiplicar por m/2 y usar mω² = k:

Esta fórmula vale para el oscilador armónico ideal cuya amplitud es A. Muestra que K es máxima en x = 0 y se anula en los puntos de retorno.

También permite calcular el módulo de la velocidad desde K:

El signo de v todavía debe obtenerse del sentido del movimiento. En el tema siguiente estudiaremos de manera sistemática por qué la suma de las energías permanece constante en el modelo ideal.

14.12 Cómo influyen k, A y m

El máximo de energía potencial elástica es ½kA². Por eso:

• duplicar k, manteniendo A, duplica ese máximo;
• duplicar A, manteniendo k, lo cuadruplica;
• la masa no aparece directamente en ½kA².

Que m no aparezca no significa que sea irrelevante. La masa modifica ω = √(k/m) y, por lo tanto, la rapidez con que se recorren los estados. Para la misma k y A, una masa mayor se mueve más lentamente, pero su factor m compensa el menor v² al calcular K.

14.13 Ejemplo numérico

Un bloque de 0,50 kg unido a un resorte de 200 N/m oscila con amplitud 0,10 m. Queremos calcular las energías cuando x = 0,06 m.

El módulo de la velocidad es:

El bloque podría tener v = +1,60 m/s o v = −1,60 m/s. La energía determina el módulo, pero no el sentido.

14.14 Calcular energías con JavaScript

function energiasDelOscilador(kNpm, masaKg, amplitudM, posicionM) {
  if (kNpm <= 0 || masaKg <= 0 || amplitudM <= 0) {
    throw new RangeError("k, la masa y la amplitud deben ser positivas");
  }
  if (Math.abs(posicionM) > amplitudM) {
    throw new RangeError("La posición debe quedar entre -A y +A");
  }
  const potencialJ = 0.5 * kNpm * posicionM ** 2;
  const cineticaJ = 0.5 * kNpm * (amplitudM ** 2 - posicionM ** 2);
  const rapidezMps = Math.sqrt(2 * cineticaJ / masaKg);
  return { potencialJ, cineticaJ, rapidezMps };
}

console.log(energiasDelOscilador(200, 0.50, 0.10, 0.06));

Cuando x proviene de cálculos numéricos puede exceder A por un error mínimo de redondeo. Es preferible validar con una tolerancia o limitar únicamente diferencias diminutas, sin ocultar posiciones físicamente imposibles.

function energiaDesdeEstado(kNpm, masaKg, posicionM, velocidadMps) {
  const potencialJ = 0.5 * kNpm * posicionM ** 2;
  const cineticaJ = 0.5 * masaKg * velocidadMps ** 2;
  return {
    potencialJ,
    cineticaJ,
    sumaJ: potencialJ + cineticaJ
  };
}

const estado = energiaDesdeEstado(80, 0.40, -0.12, 0.90);
console.log(estado);

La segunda función no supone que el estado pertenezca a una amplitud dada: calcula las energías directamente desde x y v.

14.15 Laboratorio interactivo: paisaje de energía

Elegí el resorte, la masa, la amplitud y una posición permitida. El punto amarillo se mueve sobre la parábola de energía potencial; la separación hasta la línea violeta representa la energía cinética disponible en ese estado ideal.

• Compará +x y −x: las energías son iguales aunque cambie el lado del equilibrio.
• Duplicá A: observá el crecimiento cuadrático del nivel energético.
• Cambiá m: Uₑ y K permanecen iguales para k, A y x fijos, pero cambia la rapidez.
• Igualá las energías: verificá que ocurre en |x|/A ≈ 0,707.

14.16 Errores frecuentes

• Usar la longitud total: x es la deformación medida desde la referencia adecuada, no la longitud completa del resorte.
• Conservar el signo de x en Uₑ: la posición se eleva al cuadrado; Uₑ no cambia de signo.
• Olvidar convertir unidades: k en N/m requiere x en metros para obtener joules.
• Confundir fuerza con energía: kx se mide en newtons y ½kx² en joules.
• Obtener el sentido desde K: la energía cinética determina |v|, no si v es positiva o negativa.
• Suponer que las energías repiten con T: sus valores ya se repiten después de T/2.

14.17 Ejercicio propuesto

Una masa de 0,80 kg oscila unida a un resorte de 125 N/m con amplitud 0,16 m. En cierto instante se encuentra en x = −0,12 m.

1. Calculá la energía potencial elástica.
2. Calculá la energía cinética correspondiente a esa posición.
3. Obtené el módulo de la velocidad.
4. Indicá en qué posiciones Uₑ y K tienen el mismo valor.
5. Determiná el período con el que se repiten las gráficas de energía.

const masaKg = 0.80;
const kNpm = 125;
const amplitudM = 0.16;
const posicionM = -0.12;

const potencialJ = 0.5 * kNpm * posicionM ** 2;
const cineticaJ = 0.5 * kNpm * (amplitudM ** 2 - posicionM ** 2);
const rapidezMps = Math.sqrt(2 * cineticaJ / masaKg);
const posicionesIgualEnergiaM = [-1, 1].map(signo =>
  signo * amplitudM / Math.sqrt(2)
);
const periodoMecanicoS = 2 * Math.PI * Math.sqrt(masaKg / kNpm);
const periodoEnergiaS = periodoMecanicoS / 2;

console.log({ potencialJ, cineticaJ, rapidezMps,
  posicionesIgualEnergiaM, periodoMecanicoS, periodoEnergiaS });

14.18 Ideas para recordar

• La energía potencial elástica ideal es Uₑ = ½kx².
• La energía cinética de una masa es K = ½mv².
• Ambas energías son escalares y no conservan información sobre el signo de x o v.
• Uₑ es máxima en los extremos; K es máxima en el equilibrio.
• En el movimiento armónico ideal, K(x) = ½k(A² − x²).
• Uₑ y K son iguales en x = ±A/√2.
• Las gráficas de energía repiten sus valores con período T/2.
• La masa modifica la rapidez y el período aunque no aparezca en ½kA².