15. Conservación de la energía en el oscilador armónico

15.1 Qué significa conservar energía

Conservar una magnitud significa que su valor total permanece constante durante la evolución del sistema, aunque pueda distribuirse entre distintas formas.

En un oscilador, la energía potencial elástica aumenta mientras la energía cinética disminuye, y viceversa. No afirmamos que cada una se conserve por separado: lo que permanece constante, bajo condiciones ideales, es su suma.

Esta propiedad permite comparar estados separados en el tiempo sin reconstruir necesariamente cada instante intermedio.

15.2 Definir con claridad el sistema

La conservación depende de qué objetos incluimos. Para un bloque unido a un resorte horizontal, elegimos como sistema el conjunto bloque-resorte. La energía potencial elástica pertenece entonces al sistema y la energía cinética corresponde al bloque.

Si consideráramos solamente el bloque, el resorte sería parte del entorno y realizaría trabajo sobre él. La energía cinética del bloque cambiaría, por lo que no sería una cantidad conservada.

Antes de escribir un balance debemos identificar sistema, entorno e interacciones que atraviesan el límite elegido.

15.3 Condiciones del modelo ideal

La energía mecánica del oscilador se conserva cuando:

• el resorte obedece la ley de Hooke y no disipa energía internamente;
• no actúan rozamiento ni resistencia del aire apreciables;
• el soporte no se mueve ni realiza trabajo sobre el sistema;
• ningún motor o agente externo agrega o extrae energía;
• la masa del resorte puede despreciarse, o fue incluida correctamente en un modelo más completo.

Estas condiciones son supuestos del modelo. Un experimento real puede aproximarlas durante cierto intervalo, pero nunca las cumple con precisión ilimitada.

15.4 Energía mecánica del sistema masa-resorte

Con el cero de energía potencial en el equilibrio:

La energía mecánica es la suma:

Si solo actúa la fuerza elástica ideal, E tiene el mismo valor en todos los instantes. Sus unidades son joules y ninguno de los dos términos puede ser negativo con esta referencia.

15.5 Demostración a partir de las funciones temporales

Para θ = ωt + φ₀:

Sustituimos x y v en la energía mecánica:

Como mω² = k, ambos términos comparten el factor ½kA²:

La identidad sen²θ + cos²θ = 1 elimina la dependencia temporal. La fase inicial determina cuándo ocurre cada estado, pero no modifica la energía fijada por k y A.

15.6 Demostración mediante la rapidez de cambio

También podemos derivar la energía respecto del tiempo:

La ecuación de movimiento del oscilador ideal es ma = −kx. Por lo tanto:

Una derivada temporal nula significa que E no cambia. Esta demostración revela que la conservación surge de la propia ecuación dinámica, no de una coincidencia entre fórmulas.

15.7 La amplitud fija el nivel energético

En los extremos x = ±A, la velocidad es cero. Allí toda la energía mecánica es potencial:

Para un mismo resorte, una oscilación de mayor amplitud tiene más energía. La dependencia es cuadrática: duplicar A cuadruplica E.

La masa no aparece explícitamente en esta expresión, pero influye en la frecuencia angular y en las velocidades necesarias para mantener ese mismo nivel energético.

15.8 Intercambio durante un ciclo

La energía no se “gasta” al acelerar el bloque: se transforma de potencial elástica en cinética. Durante el regreso ocurre la transformación inversa.

15.9 Fracciones de energía

Dividir cada forma de energía por E = ½kA² produce razones adimensionales:

Estas fracciones siempre suman uno. Por ejemplo, en |x| = A/2, la energía potencial representa 1/4 del total y la cinética 3/4.

Las energías se reparten por igual cuando x²/A² = 1/2, es decir, en |x| = A/√2.

15.10 Gráficas temporales del balance

Las energías instantáneas son:

Ambas oscilan entre 0 y E y se complementan. La gráfica de E es una recta horizontal. Uₑ y K repiten sus valores cada T/2, por lo que su frecuencia es el doble de la frecuencia mecánica.

Si una curva sube exactamente lo que la otra baja, el balance permanece constante. Una escala común facilita comprobarlo visualmente.

15.11 Comparar dos estados

Si el estado 1 tiene posición x₁ y velocidad v₁, y el estado 2 tiene x₂ y v₂, la conservación exige:

Esta igualdad conecta los estados sin contener el tiempo. No informa cuánto tarda el sistema en pasar de uno a otro ni cuál es el signo de una velocidad calculada a partir de su cuadrado.

En el tema siguiente utilizaremos este balance como herramienta para hallar velocidades, amplitudes y puntos de retorno.

15.12 Representación en el espacio de estados

La ecuación energética puede dividirse por E = ½kA²:

En un plano con x horizontal y v vertical, los estados permitidos forman una elipse. Cada punto de la elipse tiene la misma energía mecánica.

Una elipse más grande representa mayor amplitud y mayor energía. El sentido en que se recorre conserva información temporal que la ecuación energética por sí sola no ofrece.

15.13 Cuando atraviesa energía el límite del sistema

Si el entorno realiza trabajo neto sobre el sistema, la energía mecánica cambia:

• Un impulso aplicado en el sentido del movimiento puede aumentar E y la amplitud.
• El rozamiento transfiere energía mecánica hacia energía interna del sistema y del entorno.
• Un soporte móvil puede entregar o retirar energía mediante el extremo del resorte.

La energía total, considerando todas sus formas y un sistema suficientemente amplio, no desaparece. Lo que puede dejar de conservarse es la energía mecánica K + Uₑ. Las oscilaciones amortiguadas y forzadas se estudiarán en temas posteriores.

15.14 Verificar un estado con JavaScript

Podemos comparar la energía calculada desde x y v con el nivel esperado desde A:

function verificarEnergia({ masaKg, kNpm, amplitudM, posicionM, velocidadMps }) {
  const cineticaJ = 0.5 * masaKg * velocidadMps ** 2;
  const potencialJ = 0.5 * kNpm * posicionM ** 2;
  const energiaEstadoJ = cineticaJ + potencialJ;
  const energiaEsperadaJ = 0.5 * kNpm * amplitudM ** 2;
  const errorRelativo = Math.abs(energiaEstadoJ - energiaEsperadaJ) /
    energiaEsperadaJ;
  return { cineticaJ, potencialJ, energiaEstadoJ,
    energiaEsperadaJ, errorRelativo };
}

const resultado = verificarEnergia({
  masaKg: 0.50,
  kNpm: 200,
  amplitudM: 0.10,
  posicionM: 0.05,
  velocidadMps: -Math.sqrt(3)
});
console.log(resultado);

En cálculos con números de punto flotante no debemos exigir igualdad exacta. Una condición como errorRelativo < 1e-10 es más apropiada para datos analíticos, mientras que mediciones y simulaciones requieren tolerancias acordes con su precisión.

15.15 Conservación en una simulación numérica

Una simulación puede mostrar variaciones de energía aunque el modelo físico sea conservativo. El método de Euler explícito actualiza primero la posición con la velocidad anterior y suele agregar energía artificial al oscilador.

Euler semimplícito actualiza primero la velocidad y luego usa la velocidad nueva para la posición. No conserva E exactamente en cada paso, pero suele mantener el error acotado si Δt es adecuado.

function simularEulerSemimplicito({ masaKg, kNpm, x0M, v0Mps, dtS, pasos }) {
  let x = x0M;
  let v = v0Mps;
  const energiaInicial = 0.5 * masaKg * v ** 2 + 0.5 * kNpm * x ** 2;

  for (let i = 0; i < pasos; i += 1) {
    const aceleracion = -kNpm * x / masaKg;
    v += aceleracion * dtS;
    x += v * dtS;
  }

  const energiaFinal = 0.5 * masaKg * v ** 2 + 0.5 * kNpm * x ** 2;
  return { x, v, energiaInicial, energiaFinal,
    cambioRelativo: (energiaFinal - energiaInicial) / energiaInicial };
}

console.log(simularEulerSemimplicito({
  masaKg: 1, kNpm: 4, x0M: 0.5, v0Mps: 0, dtS: 0.01, pasos: 1000
}));

Reducir el paso y comparar varios métodos ayuda a separar un efecto físico de un error numérico. La energía es una magnitud de diagnóstico especialmente útil.

15.16 Ejemplo: comprobar el balance en un instante

Un sistema tiene m = 0,50 kg, k = 200 N/m y A = 0,10 m. Su frecuencia angular es ω = √(k/m) = 20 rad/s. En una fase θ = π/3:

Las energías resultan:

El valor obtenido coincide con ½kA² = ½·200·0,10² J = 1,00 J. La pequeña diferencia que podría aparecer usando 1,732 en lugar de √3 proviene del redondeo.

15.17 Laboratorio interactivo: intercambio y balance

Las curvas muestran las energías como fracciones del nivel total. La barra apilada cambia su distribución mientras conserva su altura. Modificá los parámetros y recorré un período completo.

• Avanzá T/4: observá el intercambio completo entre Uₑ y K.
• Cambiá la fase: cambia el reparto inicial, pero no el nivel total.
• Duplicá A: comprobá que E se cuadruplica.
• Cambiá la masa: cambia el período y la velocidad, no ½kA².

15.18 Errores frecuentes

• Conservar K y Uₑ por separado: cada una cambia; se conserva su suma.
• Ignorar el sistema elegido: una fuerza puede ser interna o externa según el límite.
• Aplicar conservación con rozamiento sin balance: la energía mecánica disminuye si se transfiere a otras formas.
• Confundir energía cero con ausencia de fuerza: Uₑ = 0 en el equilibrio, pero la rapidez puede ser máxima.
• Usar igualdad exacta en código: los cálculos numéricos requieren tolerancias.
• Atribuir toda deriva a la física: una variación de E puede provenir del integrador o de un paso temporal grande.

15.19 Ejercicio propuesto

Un bloque de 0,50 kg oscila con un resorte de 32 N/m y amplitud 0,15 m. Su movimiento es x(t) = 0,15 cos(8t + π/3) m.

1. Comprobá que la frecuencia angular es compatible con m y k.
2. Calculá la energía mecánica.
3. Calculá Uₑ y K en t = 0 y verificá su suma.
4. Determiná el período de las gráficas de energía.
5. Indicá las energías un cuarto de período mecánico después de t = 0.

const masaKg = 0.50;
const kNpm = 32;
const amplitudM = 0.15;
const faseInicialRad = Math.PI / 3;
const omegaRadS = Math.sqrt(kNpm / masaKg);
const periodoS = 2 * Math.PI / omegaRadS;
const energiaJ = 0.5 * kNpm * amplitudM ** 2;

function energiasEnFase(faseRad) {
  return {
    potencialJ: energiaJ * Math.cos(faseRad) ** 2,
    cineticaJ: energiaJ * Math.sin(faseRad) ** 2
  };
}

console.log({ omegaRadS, periodoS, periodoEnergiaS: periodoS / 2,
  energiaJ, iniciales: energiasEnFase(faseInicialRad),
  despuesDeUnCuarto: energiasEnFase(faseInicialRad + Math.PI / 2) });

15.20 Ideas para recordar

• En el oscilador ideal se conserva E = ½mv² + ½kx².
• La conservación depende del sistema elegido y de las interacciones con el entorno.
• La amplitud fija el nivel E = ½kA².
• Uₑ y K cambian de forma complementaria: lo que una gana, la otra lo pierde.
• Las fracciones son Uₑ/E = x²/A² y K/E = 1 − x²/A².
• Las gráficas de energía se repiten cada T/2.
• El trabajo externo modifica la energía mecánica del sistema.
• En una simulación, la estabilidad de E ayuda a evaluar el método y el paso temporal.