16. Obtener velocidades, amplitudes y puntos de retorno con energía

16.1 La energía como herramienta de resolución

Las ecuaciones temporales describen cuándo ocurre cada estado. El enfoque energético responde otra clase de preguntas: qué rapidez puede tener la masa en una posición, hasta dónde llegará o qué amplitud corresponde a un estado conocido.

En el oscilador ideal, el resultado se obtiene comparando dos formas de expresar la misma energía mecánica. El tiempo y la fase no aparecen en el balance.

Esta ventaja tiene un límite: al elevar la velocidad al cuadrado se pierde su signo. La energía determina el módulo de v, pero no siempre el sentido del movimiento.

16.2 La ecuación fundamental

Para una masa m unida a un resorte ideal de constante k:

La primera igualdad calcula la energía desde un estado instantáneo (x, v). La segunda la calcula en un punto de retorno, donde x = ±A y v = 0.

Las coordenadas x y A deben medirse desde la misma posición de equilibrio. Las unidades coherentes son kilogramos, newtons por metro, metros y metros por segundo; la energía queda expresada en joules.

16.3 Rapidez en una posición conocida

Partimos del balance y despejamos v²:

Como ω = √(k/m):

El radicando debe ser no negativo. Por eso una oscilación de amplitud A solo puede visitar posiciones comprendidas entre −A y +A.

16.4 Dos signos posibles para la velocidad

Al extraer la raíz cuadrada aparecen dos soluciones algebraicas:

Una posición intermedia se visita dos veces por ciclo: una mientras x aumenta y otra mientras disminuye. Ambos estados tienen la misma energía.

• Usamos v > 0 si la masa avanza hacia posiciones crecientes.
• Usamos v < 0 si avanza hacia posiciones decrecientes.
• Si el enunciado no informa el sentido, debemos conservar ambas posibilidades o dar solamente |v|.

16.5 Amplitud a partir de un estado

Si conocemos una posición x₀ y una velocidad v₀, ese estado determina la energía y, por lo tanto, la amplitud:

Despejando:

Siempre se cumple A ≥ |x₀|. La igualdad ocurre únicamente si la velocidad inicial es cero, es decir, si el sistema comienza en un punto de retorno.

16.6 Puntos de retorno

Un punto de retorno es una posición donde el movimiento cambia de sentido. En ese instante la velocidad es cero y la energía cinética se anula.

La aceleración no es cero en los extremos: vale a = −ω²x y apunta hacia el equilibrio. Por eso el reposo es instantáneo y la masa regresa.

16.7 Regiones permitidas y prohibidas

La energía cinética debe satisfacer K ≥ 0. Para una energía E dada:

Una posición es accesible cuando Uₑ(x) ≤ E. En el gráfico del potencial, la recta horizontal E corta a la parábola en los puntos de retorno. Entre los cortes hay movimiento posible; fuera de ellos se necesitaría una energía cinética negativa, que no tiene sentido físico.

Si Uₑ(x) = E, el punto está permitido pero la rapidez es cero. Si Uₑ(x) > E, el estado es inaccesible con ese nivel energético.

16.8 Rapidez máxima

La rapidez es máxima donde la energía potencial es mínima. Con nuestra referencia eso ocurre en x = 0:

Podemos obtener el mismo resultado desde una energía E conocida:

Esta es una rapidez; su valor es positivo. Al cruzar el equilibrio, la velocidad puede ser +v_máx o −v_máx.

16.9 Comparar dos estados sin usar la amplitud

Si no conocemos A pero sí un estado inicial y otra posición, igualamos las energías:

Al despejar:

Esta forma evita calcular A como paso intermedio. Si el miembro derecho resulta negativo, la posición solicitada está fuera de la región alcanzable desde el estado inicial.

16.10 Estado inicial en el equilibrio

Si lanzamos la masa desde x₀ = 0 con velocidad v₀, toda la energía inicial es cinética:

La amplitud resultante es:

El signo de v₀ determina hacia qué extremo se dirige primero, pero no modifica la amplitud. Dos lanzamientos opuestos con igual rapidez tienen la misma energía.

16.11 Estado inicial fuera del equilibrio

Si x₀ ≠ 0 y v₀ ≠ 0, la energía inicial contiene ambas contribuciones. No debemos sumar directamente |x₀| con una “distancia adicional” atribuida a la velocidad.

Por ejemplo, para x₀ = 0,06 m y v₀/ω = 0,08 m:

La combinación es cuadrática. Geométricamente, x₀ y v₀/ω son componentes perpendiculares en el espacio de estados normalizado.

16.12 Procedimiento general

1. Elegí el equilibrio como origen de x e identificá el sistema ideal.
2. Convertí todos los datos a unidades compatibles.
3. Escribí E = ½mv² + ½kx² en cada estado relevante.
4. Aprovechá condiciones especiales: en un retorno v = 0; en el equilibrio x = 0.
5. Despejá primero el cuadrado de la incógnita.
6. Comprobá que el radicando no sea negativo.
7. Elegí el signo usando el sentido físico o informá ambas posibilidades.
8. Verificá unidades, límites y sustitución en la energía original.

16.13 Ejemplo: rapidez en una posición

Una masa de 0,40 kg oscila con un resorte de 90 N/m y amplitud 0,20 m. Queremos la rapidez en x = 0,12 m.

Si la masa se desplaza desde el extremo positivo hacia el equilibrio, v = −2,40 m/s. Si regresa hacia el extremo positivo, v = +2,40 m/s.

16.14 Ejemplo: amplitud y retornos desde un estado

Un bloque de 0,80 kg unido a un resorte de 50 N/m está en x₀ = 0,12 m con v₀ = −0,50 m/s.

Los puntos de retorno son x = ±0,1356 m. Como la velocidad inicial es negativa, la masa se dirige primero hacia el retorno negativo.

La energía determina los extremos y el módulo de las velocidades; el signo inicial permite ordenar la evolución inmediata.

16.15 Funciones reutilizables en JavaScript

function amplitudDesdeEstado(masaKg, kNpm, posicionM, velocidadMps) {
  if (masaKg <= 0 || kNpm <= 0) {
    throw new RangeError("La masa y k deben ser positivas");
  }
  const energiaJ = 0.5 * masaKg * velocidadMps ** 2 +
    0.5 * kNpm * posicionM ** 2;
  const amplitudM = Math.sqrt(2 * energiaJ / kNpm);
  return { energiaJ, amplitudM,
    retornosM: [-amplitudM, amplitudM] };
}

console.log(amplitudDesdeEstado(0.80, 50, 0.12, -0.50));

Para consultar una posición, conviene devolver un resultado explícito si está prohibida en vez de intentar calcular la raíz de un número negativo:

function velocidadesEnPosicion(masaKg, kNpm, energiaJ, posicionM) {
  const potencialJ = 0.5 * kNpm * posicionM ** 2;
  const cineticaJ = energiaJ - potencialJ;
  const toleranciaJ = Math.max(1, energiaJ) * 1e-12;

  if (cineticaJ < -toleranciaJ) {
    return { accesible: false, motivo: "U(x) es mayor que E" };
  }
  const rapidezMps = Math.sqrt(2 * Math.max(0, cineticaJ) / masaKg);
  return { accesible: true, rapidezMps,
    velocidadesMps: [-rapidezMps, rapidezMps] };
}

console.log(velocidadesEnPosicion(0.80, 50, 0.46, 0.08));
console.log(velocidadesEnPosicion(0.80, 50, 0.46, 0.20));

16.16 Precisión numérica y casos límite

En un retorno ideal, E − Uₑ debería ser cero. Los redondeos pueden producir un número negativo diminuto. Una estrategia segura consiste en:

• definir una tolerancia proporcional a la escala energética;
• rechazar valores negativos mayores que la tolerancia;
• reemplazar por cero solo los residuos compatibles con el redondeo;
• evitar comparaciones exactas entre números calculados.

También debemos considerar el caso E = 0: implica x = 0, v = 0 y A = 0. El sistema permanece en equilibrio y no hay una oscilación de amplitud positiva.

16.17 Laboratorio interactivo: estados alcanzables

El estado inicial fija la energía y la amplitud. Después podés consultar otra posición. El gráfico compara el potencial con el nivel disponible y el espacio de estados muestra la elipse correspondiente.

• Cambiá v₀: observá cómo crecen la energía y la amplitud aunque x₀ no cambie.
• Consultá un retorno: la única velocidad posible es cero.
• Probá fuera de A: Uₑ supera E y la posición se marca como inaccesible.
• Invertí v₀: la elipse y la amplitud no cambian, pero sí el estado inicial dentro de ella.

16.18 Errores frecuentes

• Olvidar el signo ±: la energía devuelve rapidez, no dirección.
• Medir x desde un origen incorrecto: la coordenada debe referirse al equilibrio del modelo.
• Sumar amplitudes linealmente: posición y velocidad contribuyen mediante cuadrados.
• Aceptar un radicando negativo: indica una posición inaccesible o datos incompatibles.
• Confundir retorno con equilibrio: en el retorno v = 0; en el equilibrio |v| es máxima.
• Esperar obtener el tiempo: el balance energético relaciona estados, pero no indica cuándo se alcanzan.

16.19 Ejercicio propuesto

Un bloque de 0,80 kg unido a un resorte de 50 N/m se encuentra inicialmente en x₀ = +0,12 m con velocidad v₀ = −0,50 m/s.

1. Calculá la energía mecánica.
2. Determiná la amplitud y ambos puntos de retorno.
3. Calculá las velocidades posibles en x = +0,08 m.
4. Elegí el signo correspondiente a la primera vez que llega a esa posición después del estado inicial.
5. Calculá la rapidez máxima y decidí si puede alcanzar x = 0,15 m.

const masaKg = 0.80;
const kNpm = 50;
const x0M = 0.12;
const v0Mps = -0.50;
const consultaM = 0.08;

const energiaJ = 0.5 * masaKg * v0Mps ** 2 + 0.5 * kNpm * x0M ** 2;
const amplitudM = Math.sqrt(2 * energiaJ / kNpm);
const potencialConsultaJ = 0.5 * kNpm * consultaM ** 2;
const rapidezConsultaMps = Math.sqrt(2 * (energiaJ - potencialConsultaJ) / masaKg);
const rapidezMaximaMps = Math.sqrt(2 * energiaJ / masaKg);
const posicionPruebaM = 0.15;
const pruebaAccesible = 0.5 * kNpm * posicionPruebaM ** 2 <= energiaJ;

console.log({ energiaJ, amplitudM,
  retornosM: [-amplitudM, amplitudM],
  velocidadesConsultaMps: [-rapidezConsultaMps, rapidezConsultaMps],
  primeraVelocidadMps: -rapidezConsultaMps,
  rapidezMaximaMps, pruebaAccesible });

16.20 Ideas para recordar

• El balance central es ½mv² + ½kx² = ½kA².
• La rapidez en x es ω√(A² − x²).
• La energía no determina el signo de la velocidad.
• Un estado inicial fija A = √(x₀² + v₀²/ω²).
• Los puntos de retorno son x = ±A y allí v = 0.
• Una posición es accesible solamente si Uₑ(x) ≤ E.
• La rapidez máxima se alcanza en el equilibrio y vale ωA.
• El enfoque energético relaciona estados, pero no proporciona tiempos ni fases.