17. Resorte vertical: gravedad y nueva posición de equilibrio

17.1 Qué cambia al colocar el resorte vertical

En un sistema horizontal ideal, la fuerza del resorte es la única fuerza en la dirección del movimiento. Al colgar la masa verticalmente aparece además el peso.

La gravedad no elimina las oscilaciones. Desplaza hacia abajo la posición alrededor de la cual ocurren. Una vez localizada esa nueva posición de equilibrio, el movimiento respecto de ella conserva la misma forma matemática que antes.

La clave es no confundir la extensión medida desde la longitud natural con el desplazamiento dinámico medido desde el equilibrio vertical.

17.2 Coordenada y convenio de signos

Elegiremos el eje vertical positivo hacia abajo. Sea y la extensión del resorte respecto de su longitud natural:

• y = 0: resorte en su longitud natural;
• y > 0: resorte estirado;
• y < 0: resorte comprimido.

Con este convenio, el peso es positivo y la fuerza elástica es negativa:

Otro convenio también sería válido, siempre que todos los signos se mantengan coherentes.

17.3 Diagrama de fuerzas

Sobre la masa actúan dos fuerzas verticales en el modelo ideal:

• el peso mg, dirigido hacia abajo;
• la fuerza del resorte ky, dirigida hacia arriba cuando el resorte está estirado.

La segunda ley de Newton queda:

La fuerza resultante no es simplemente −ky mientras y se mida desde la longitud natural.

17.4 Equilibrio estático

En equilibrio la aceleración es cero. El peso y la fuerza elástica se compensan:

y_eq es la extensión estática causada por la masa. Aumenta con m y g, y disminuye cuando el resorte es más rígido.

Si m = 0,50 kg, k = 100 N/m y g = 9,81 m/s², entonces y_eq = 0,04905 m, aproximadamente 4,91 cm.

17.5 Una nueva coordenada

Definimos x como el desplazamiento respecto del equilibrio vertical:

Por lo tanto, y = y_eq + x. Como y_eq es constante, y y x tienen la misma velocidad y aceleración.

• x = 0: masa en el equilibrio vertical;
• x > 0: masa por debajo del equilibrio;
• x < 0: masa por encima del equilibrio.

17.6 La gravedad desaparece de la ecuación dinámica

Sustituimos y = y_eq + x en la ecuación de fuerzas:

Como ky_eq = mg, el primer paréntesis se anula:

La gravedad no dejó de actuar. Su efecto constante quedó incorporado en la ubicación de equilibrio. Respecto de ese punto, la fuerza resultante es restauradora y proporcional a x.

17.7 Frecuencia y período

La ecuación anterior es la del movimiento armónico simple. Por eso:

En el modelo ideal, g no aparece en el período. La gravedad modifica y_eq, pero no la frecuencia de las pequeñas oscilaciones de un resorte que obedece la ley de Hooke.

Esta conclusión supone k constante, soporte fijo y masa del resorte despreciable. Un resorte real puede apartarse del modelo si la deformación es excesiva.

17.8 Solución temporal en ambas coordenadas

Respecto del equilibrio:

La extensión medida desde la longitud natural es:

En una gráfica y(t), la línea media no es cero sino mg/k. Los extremos de extensión son:

17.9 Extensión estática y amplitud no son lo mismo

y_eq = mg/k depende del peso y fija el centro del movimiento. La amplitud A depende de las condiciones iniciales y mide cuánto se aleja la masa de ese centro.

Una misma masa y un mismo resorte pueden oscilar con amplitudes distintas sin que cambie y_eq. De manera inversa, cambiar la masa desplaza el equilibrio aunque el sistema se prepare con la misma amplitud respecto de él.

No es correcto usar mg/k como amplitud salvo en una preparación particular, como liberar desde la longitud natural con velocidad inicial cero.

17.10 Liberar desde la longitud natural

Supongamos que sostenemos la masa con y₀ = 0 y la liberamos desde el reposo. Respecto del equilibrio:

Ese estado es el extremo superior, por lo que:

El extremo inferior queda en:

La extensión dinámica máxima es el doble de la extensión estática. Este resultado supone una liberación instantánea y un resorte lineal ideal.

17.11 Colocar la masa lentamente no produce oscilación

Si la masa se baja lentamente hasta y_eq y se suelta allí con velocidad cero, entonces x₀ = 0 y v₀ = 0. La amplitud es cero.

El resultado difiere de liberar desde la longitud natural porque un agente externo retira energía mientras sostiene y baja la masa. Tener los mismos objetos al final no implica haber preparado el mismo estado.

La forma de aplicar una carga importa: una carga súbita genera movimiento; una carga cuasiestática puede dejar el sistema en equilibrio.

17.12 Condiciones iniciales generales

Dadas una extensión inicial y₀ y una velocidad inicial v₀, primero convertimos:

Luego usamos las relaciones del movimiento armónico:

Finalmente, recuperamos la extensión física mediante y(t) = y_eq + x(t). Separar la conversión de coordenadas del cálculo armónico reduce errores.

17.13 Energía potencial gravitatoria y elástica

Con y positiva hacia abajo y el cero elegido en y = 0, la energía potencial total es:

Completando el cuadrado y usando y_eq = mg/k:

La gravedad desplaza el mínimo de la parábola hasta y_eq y agrega una constante negativa. Esa constante no modifica fuerzas ni movimientos.

17.14 Energía medida desde el nuevo equilibrio

Si usamos x = y − y_eq y elegimos el cero del potencial en el nuevo mínimo, la energía adopta la forma conocida:

La energía gravitatoria no fue ignorada: quedó incluida al desplazar la coordenada y redefinir el cero. El término constante no interviene en diferencias de energía.

Para aplicar esta fórmula, x debe medirse desde el equilibrio vertical, no desde la longitud natural.

17.15 Ejemplo completo

Una masa de 0,40 kg cuelga de un resorte de 80 N/m. Usamos g = 9,8 m/s². La masa se lleva hasta una extensión y₀ = 0,079 m y se libera desde el reposo.

Como comienza debajo del equilibrio y en reposo, podemos elegir φ₀ = 0:

Las extensiones extremas son 0,019 m y 0,079 m. La gravedad centra la oscilación en 0,049 m.

17.16 Modelar el resorte vertical con JavaScript

function parametrosVerticales({ masaKg, kNpm, gravedadMps2, extensionInicialM, velocidadInicialMps }) {
  if (masaKg <= 0 || kNpm <= 0 || gravedadMps2 < 0) {
    throw new RangeError("Los parámetros físicos no son válidos");
  }
  const equilibrioM = masaKg * gravedadMps2 / kNpm;
  const omegaRadS = Math.sqrt(kNpm / masaKg);
  const x0M = extensionInicialM - equilibrioM;
  const amplitudM = Math.hypot(x0M, velocidadInicialMps / omegaRadS);
  const faseInicialRad = amplitudM === 0 ? 0 :
    Math.atan2(-velocidadInicialMps / (amplitudM * omegaRadS), x0M / amplitudM);
  return { equilibrioM, omegaRadS, periodoS: 2 * Math.PI / omegaRadS,
    amplitudM, faseInicialRad };
}

console.log(parametrosVerticales({
  masaKg: 0.40, kNpm: 80, gravedadMps2: 9.8,
  extensionInicialM: 0.079, velocidadInicialMps: 0
}));

Una segunda función puede evaluar el estado usando la extensión y, pero calcular la dinámica mediante x:

function estadoVertical(tS, masaKg, kNpm, gravedadMps2, amplitudM, faseRad) {
  const equilibrioM = masaKg * gravedadMps2 / kNpm;
  const omega = Math.sqrt(kNpm / masaKg);
  const theta = omega * tS + faseRad;
  const desplazamientoM = amplitudM * Math.cos(theta);
  const extensionM = equilibrioM + desplazamientoM;
  const velocidadMps = -amplitudM * omega * Math.sin(theta);
  const aceleracionMps2 = -(omega ** 2) * desplazamientoM;
  return { extensionM, desplazamientoM, velocidadMps, aceleracionMps2 };
}

console.log(estadoVertical(0.10, 0.40, 80, 9.8, 0.03, 0));

17.17 Laboratorio interactivo: tres referencias verticales

La línea gris marca la longitud natural, la amarilla el equilibrio desplazado y el bloque indica la extensión instantánea. El gráfico lateral muestra el potencial combinado y su mínimo.

• Cambiá g: se desplaza el equilibrio, pero el período permanece igual.
• Liberá desde la longitud natural: verificá que A = y_eq y que la extensión inferior es 2y_eq.
• Soltá en equilibrio: con v₀ = 0, la amplitud desaparece.
• Agregá velocidad inicial: la amplitud aumenta aunque y₀ no cambie.

17.18 Errores frecuentes

• Usar la misma letra sin aclarar el origen: y se mide desde la longitud natural y x desde el equilibrio.
• Olvidar el peso: con la coordenada y, la resultante es mg − ky.
• Concluir que la gravedad desapareció: su efecto está contenido en y_eq = mg/k.
• Tomar mg/k como amplitud siempre: solo ocurre con condiciones iniciales particulares.
• Usar ½ky² como único potencial: si y se mide verticalmente también debe incluirse la contribución gravitatoria.
• Suponer que g cambia el período: no lo hace en el modelo lineal ideal del resorte vertical.

17.19 Ejercicio propuesto

Una masa de 0,30 kg cuelga de un resorte de 60 N/m. Usá g = 9,8 m/s². Inicialmente se sostiene el resorte en su longitud natural y se libera la masa desde el reposo.

1. Calculá la extensión de equilibrio.
2. Determiná la amplitud respecto del equilibrio.
3. Calculá la extensión máxima desde la longitud natural.
4. Obtené ω y T.
5. Escribí y(t) y calculá y en t = T/4.

const masaKg = 0.30;
const kNpm = 60;
const gravedadMps2 = 9.8;
const equilibrioM = masaKg * gravedadMps2 / kNpm;
const amplitudM = equilibrioM;
const extensionMaximaM = equilibrioM + amplitudM;
const omegaRadS = Math.sqrt(kNpm / masaKg);
const periodoS = 2 * Math.PI / omegaRadS;
const faseInicialRad = Math.PI;
const tiempoConsultaS = periodoS / 4;
const extensionConsultaM = equilibrioM + amplitudM *
  Math.cos(omegaRadS * tiempoConsultaS + faseInicialRad);

console.log({ equilibrioM, amplitudM, extensionMaximaM,
  omegaRadS, periodoS, tiempoConsultaS, extensionConsultaM });

17.20 Ideas para recordar

• La extensión vertical y se mide desde la longitud natural.
• El equilibrio se encuentra en y_eq = mg/k.
• El desplazamiento dinámico es x = y − y_eq.
• Respecto del equilibrio, la ecuación es mẍ = −kx.
• El período ideal sigue siendo 2π√(m/k) y no depende de g.
• La amplitud depende de las condiciones iniciales, no solo del peso.
• Al liberar desde la longitud natural, A = mg/k y la extensión máxima es 2mg/k.
• El potencial combinado es una parábola desplazada cuyo mínimo está en y_eq.