18. Resortes en serie, en paralelo y constante equivalente

18.1 Por qué buscar un resorte equivalente

Muchos sistemas utilizan más de un elemento elástico: suspensiones, soportes, mecanismos y sensores combinan resortes para obtener una rigidez determinada.

Si la red completa ejerce una fuerza proporcional al desplazamiento de su extremo, podemos representarla mediante:

La constante equivalente k_eq permite estudiar el movimiento de una masa como si estuviera conectada a un solo resorte. No indica que los resortes físicos desaparezcan: resume su respuesta vista desde los terminales de la red.

18.2 Supuestos del modelo

Las reglas de combinación que estudiaremos suponen:

• resortes ideales que obedecen la ley de Hooke;
• deformaciones dentro del intervalo lineal;
• resortes y uniones sin masa apreciable;
• puntos de conexión rígidos y sin rozamiento;
• movimiento en una sola dirección;
• resortes que permanecen tensos o comprimidos según permita el montaje.

Si las uniones tienen masa, las fuerzas a ambos lados pueden diferir durante una aceleración y la red puede poseer varios modos propios. Entonces un único k_eq no describe toda la dinámica.

18.3 Qué debe conservar el reemplazo

Aplicamos una fuerza F en el extremo móvil y medimos el desplazamiento total x. El resorte equivalente debe producir la misma relación:

Por lo tanto:

La fuerza y el desplazamiento corresponden a los terminales externos. Las deformaciones y fuerzas internas pueden distribuirse de manera diferente entre los resortes.

18.4 Resortes en paralelo

Dos resortes están en paralelo cuando sus extremos izquierdos comparten un punto y sus extremos derechos comparten otro. Ambos experimentan el mismo desplazamiento x:

Las fuerzas restauradoras se suman:

La combinación es más rígida que cualquiera de los resortes individuales porque ambos se oponen simultáneamente al desplazamiento.

18.5 Varios resortes en paralelo

Para n resortes conectados entre los mismos dos puntos:

Cada resorte soporta una parte de la fuerza total proporcional a su rigidez:

El resorte más rígido soporta la mayor fuerza, pero todos se deforman la misma distancia.

18.6 Resortes en serie

Dos resortes están en serie cuando se colocan uno después del otro. Si la unión intermedia no tiene masa, la misma fuerza atraviesa ambos:

La deformación total es la suma:

Como x = F/k_eq:

18.7 Fórmula para dos resortes en serie

Sumando las fracciones y despejando:

El resultado siempre es menor que la menor constante individual. La red se deforma más que cualquiera de sus componentes bajo la misma fuerza.

En serie, el resorte más blando se deforma más:

18.8 Varios resortes en serie

Para n resortes:

Conviene sumar las flexibilidades 1/k_i y tomar la inversa al final. Cada flexibilidad se mide en m/N e indica cuánto se deforma un elemento por unidad de fuerza.

Una constante cero representa un elemento sin rigidez y hace que la combinación en serie no pueda sostener fuerza. Por eso las funciones numéricas deben validar que todas las constantes sean positivas.

18.9 Resortes idénticos

Si n resortes tienen la misma constante k:

Por ejemplo, tres resortes de 90 N/m equivalen a 270 N/m en paralelo y a 30 N/m en serie.

Estas expresiones son controles rápidos: si un cálculo da el resultado opuesto, probablemente se intercambiaron las condiciones de fuerza y desplazamiento.

18.10 Interpretación mediante energía

En paralelo todos los resortes tienen la misma deformación. La energía total es:

Esto confirma k_eq = k₁ + k₂.

En serie, cada elemento almacena U_i = F²/(2k_i). Al sumar:

El resorte más blando almacena más energía en una conexión en serie sometida a una fuerza dada.

18.11 Redes mixtas

Una red mixta contiene grupos en serie y en paralelo. Se reduce paso a paso:

1. identificá un grupo cuyos terminales sean inequívocos;
2. calculá su constante equivalente;
3. reemplazá ese grupo por un solo resorte;
4. repetí hasta obtener la constante vista desde los terminales externos.

Dos resortes dibujados uno al lado del otro no están necesariamente en paralelo: deben compartir ambos nodos. Del mismo modo, estar alineados no garantiza una conexión en serie si su unión tiene otra rama.

18.12 Ejemplo de red mixta

Los resortes k₁ = 120 N/m y k₂ = 180 N/m están en paralelo. Ese grupo está en serie con k₃ = 200 N/m.

La constante final es menor que 200 y que 300 porque esos dos elementos equivalentes están en serie.

18.13 Distribuir fuerza y deformación

Con una fuerza externa de 6 N aplicada a la red anterior:

La misma fuerza atraviesa el grupo paralelo equivalente y k₃:

Dentro del grupo paralelo ambos resortes se deforman 0,020 m:

Se cumplen simultáneamente la suma de deformaciones en serie y la suma de fuerzas en paralelo.

18.14 Oscilación con una red equivalente

Si una masa m está conectada a una red lineal que puede reducirse a k_eq, entonces:

Una combinación más rígida aumenta ω y reduce T. Para la red de 120 N/m y una masa de 0,75 kg:

Este reemplazo describe el movimiento observado desde el extremo, siempre que los nodos internos puedan considerarse sin masa.

18.15 Resorte vertical equivalente

Si la red sostiene una masa verticalmente, usamos la constante equivalente para localizar el equilibrio:

Luego medimos el movimiento desde ese punto. El período sigue siendo 2π√(m/k_eq).

En una conexión en serie vertical, cada resorte soporta la misma fuerza estática mg. En paralelo, el peso se reparte entre las ramas de acuerdo con sus constantes.

18.16 Límites y situaciones que requieren otro modelo

• Resortes con masa: aparecen movimientos internos y varias frecuencias naturales.
• Uniones móviles masivas: las fuerzas de una serie pueden no ser iguales durante la aceleración.
• Resortes no lineales: k depende de la deformación y no basta una constante global.
• Cables o elementos que se aflojan: una rama puede dejar de ejercer fuerza.
• Geometría inclinada: el desplazamiento de cada resorte puede diferir del desplazamiento de la masa.
• Amortiguadores: agregan fuerzas dependientes de la velocidad, no una constante elástica.

18.17 Implementar combinaciones en JavaScript

function equivalenteParalelo(constantesNpm) {
  if (!constantesNpm.length || constantesNpm.some(k => k <= 0)) {
    throw new RangeError("Todas las constantes deben ser positivas");
  }
  return constantesNpm.reduce((suma, k) => suma + k, 0);
}

function equivalenteSerie(constantesNpm) {
  if (!constantesNpm.length || constantesNpm.some(k => k <= 0)) {
    throw new RangeError("Todas las constantes deben ser positivas");
  }
  return 1 / constantesNpm.reduce((suma, k) => suma + 1 / k, 0);
}

console.log({
  paralelo: equivalenteParalelo([90, 90, 90]),
  serie: equivalenteSerie([90, 90, 90])
});

Una red puede representarse mediante objetos anidados y resolverse recursivamente:

function constanteEquivalente(red) {
  if (red.tipo === "resorte") return red.k;
  const valores = red.elementos.map(constanteEquivalente);
  if (red.tipo === "paralelo") return valores.reduce((suma, k) => suma + k, 0);
  if (red.tipo === "serie") return 1 / valores.reduce((suma, k) => suma + 1 / k, 0);
  throw new TypeError("Tipo de conexión desconocido");
}

const red = {
  tipo: "serie",
  elementos: [
    { tipo: "paralelo", elementos: [
      { tipo: "resorte", k: 120 }, { tipo: "resorte", k: 180 }
    ]},
    { tipo: "resorte", k: 200 }
  ]
};

console.log({ kEquivalenteNpm: constanteEquivalente(red) });

18.18 Laboratorio interactivo: comparar redes

Elegí una conexión y modificá los tres resortes. El esquema muestra los nodos compartidos y el gráfico representa la respuesta equivalente F = k_eq x.

• Igualá los resortes: compará 3k en paralelo con k/3 en serie.
• Cambiá una constante: observá qué conexión es más sensible al resorte blando.
• Aumentá la fuerza: la deformación crece linealmente y la energía cuadráticamente.
• Cambiá la masa: k_eq no cambia, pero sí el período del sistema.

18.19 Errores frecuentes

• Intercambiar las fórmulas: en paralelo se suman k; en serie se suman 1/k.
• Decidir por el dibujo: la conexión depende de los nodos compartidos.
• Suponer fuerza igual en paralelo: lo común es la deformación; las fuerzas se reparten.
• Suponer deformación igual en serie: lo común es la fuerza; las deformaciones se suman.
• Promediar constantes: ninguna conexión básica se calcula con el promedio aritmético.
• Usar k_eq para fuerzas internas sin deshacer la reducción: primero hay que reconstruir cada grupo.

18.20 Ejercicio propuesto

Dos resortes de 120 N/m y 180 N/m se conectan en paralelo. El grupo se conecta en serie con un resorte de 200 N/m. En el extremo se coloca una masa de 0,75 kg.

1. Calculá la constante equivalente.
2. Obtené ω y T.
3. Si se aplica una fuerza de 6 N, calculá la deformación total.
4. Determiná la deformación de cada resorte y las fuerzas en las dos ramas paralelas.
5. Calculá la energía almacenada cuando el extremo se desplaza 0,040 m.

const k1Npm = 120;
const k2Npm = 180;
const k3Npm = 200;
const masaKg = 0.75;
const fuerzaN = 6;
const desplazamientoEnergiaM = 0.040;

const kParaleloNpm = k1Npm + k2Npm;
const kEquivalenteNpm = kParaleloNpm * k3Npm /
  (kParaleloNpm + k3Npm);
const omegaRadS = Math.sqrt(kEquivalenteNpm / masaKg);
const periodoS = 2 * Math.PI / omegaRadS;
const extensionGrupoM = fuerzaN / kParaleloNpm;
const extensionK3M = fuerzaN / k3Npm;
const fuerzaK1N = k1Npm * extensionGrupoM;
const fuerzaK2N = k2Npm * extensionGrupoM;
const energiaJ = 0.5 * kEquivalenteNpm * desplazamientoEnergiaM ** 2;

console.log({ kEquivalenteNpm, omegaRadS, periodoS,
  extensionTotalM: extensionGrupoM + extensionK3M,
  extensionGrupoM, extensionK3M, fuerzaK1N, fuerzaK2N, energiaJ });

18.21 Ideas para recordar

• La constante equivalente conserva la relación externa F = k_eq x.
• En paralelo, los resortes comparten deformación y sus fuerzas se suman.
• En serie, comparten fuerza y sus deformaciones se suman.
• Para resortes en paralelo, k_eq = Σk_i.
• Para resortes en serie, 1/k_eq = Σ(1/k_i).
• Una red paralela es más rígida; una red en serie es más flexible.
• Las redes mixtas se reducen grupo por grupo respetando sus nodos.
• Una masa conectada a la red oscila con ω = √(k_eq/m).