19. El péndulo simple: fuerzas, geometría y coordenada angular

19.1 Qué es un péndulo simple

Un péndulo simple es un modelo formado por una masa puntual suspendida de un punto fijo mediante un hilo ideal. Si la masa se separa de la vertical y se libera, la gravedad la hace moverse de un lado al otro.

El modelo no intenta reproducir cada detalle de un péndulo real. Selecciona los elementos necesarios para estudiar su movimiento principal.

A diferencia del sistema masa-resorte, la coordenada natural no es una distancia recta: es el ángulo que forma el hilo con la vertical.

19.2 Supuestos del modelo ideal

• La masa está concentrada en un punto material.
• El hilo no tiene masa y su longitud L no cambia.
• El punto de suspensión permanece fijo.
• No hay rozamiento en el apoyo ni resistencia del aire.
• El hilo permanece tenso.
• El campo gravitatorio es uniforme.
• El movimiento ocurre en un plano vertical.

Cada supuesto delimita el modelo. Un cuerpo extenso, una varilla rígida o un punto de suspensión móvil requieren descripciones diferentes que se estudiarán más adelante o en cursos posteriores.

19.3 La restricción geométrica

Como el hilo tiene longitud constante L, la distancia desde el punto de suspensión hasta la masa siempre vale L. La masa solo puede ocupar puntos de una circunferencia:

Esta restricción reduce el problema plano a un solo grado de libertad. En lugar de calcular X e Y de manera independiente, basta conocer un ángulo.

La tensión es la fuerza que obliga a la masa a respetar esa trayectoria mientras el hilo permanece tenso.

19.4 Definir la coordenada angular

Definimos θ como el ángulo orientado desde la vertical hacia abajo hasta el hilo. Usaremos:

• θ = 0 en el punto más bajo;
• θ > 0 hacia la derecha;
• θ < 0 hacia la izquierda.

Este convenio es una elección. Cambiar el sentido positivo cambia algunos signos, pero no la física.

En fórmulas y programas debemos usar radianes. Los grados son útiles para comunicar un ángulo, pero las relaciones diferenciales y s = Lθ suponen θ en radianes.

19.5 De ángulo a coordenadas cartesianas

Tomemos el origen en el punto de suspensión, X positivo hacia la derecha e Y positivo hacia abajo. La posición de la masa es:

En θ = 0, obtenemos X = 0 e Y = L. Para ángulos opuestos, Y es igual y X cambia de signo.

Si una pantalla usa su eje vertical positivo hacia abajo, estas ecuaciones se trasladan directamente sumando las coordenadas del punto de suspensión.

19.6 Longitud de arco

El desplazamiento medido sobre la trayectoria se relaciona con el ángulo:

La igualdad es exacta cuando θ se expresa en radianes. s es positiva a la derecha y negativa a la izquierda según nuestro convenio.

Por ejemplo, para L = 0,80 m y θ = 30° = π/6 rad, resulta s ≈ 0,419 m.

19.7 Velocidad angular y velocidad lineal

La velocidad angular es θ̇ = dθ/dt, medida en rad/s. La velocidad de la masa es tangente a la circunferencia:

El signo de θ̇ indica el sentido:

• θ̇ > 0: θ aumenta;
• θ̇ < 0: θ disminuye;
• θ̇ = 0: reposo instantáneo.

La rapidez es |v| = L|θ̇|. Los radianes son adimensionales, por lo que el resultado queda en m/s.

19.8 Direcciones radial y tangencial

La base cartesiana permanece fija, pero para el péndulo resulta más útil una base que gira con el hilo:

• la dirección radial sigue el hilo;
• la dirección tangencial es perpendicular al hilo y apunta hacia θ creciente.

Con Y positivo hacia abajo, los vectores unitarios son:

Son perpendiculares y tienen módulo uno. La dirección hacia el punto de suspensión es −ê_r.

19.9 Aceleración tangencial y radial

Aunque L sea constante, la velocidad puede cambiar tanto de módulo como de dirección. La aceleración tiene dos componentes:

La componente tangencial modifica la rapidez. La componente radial o centrípeta curva la trayectoria y siempre apunta hacia el punto de suspensión.

En un extremo instantáneo, θ̇ = 0 y la aceleración radial es cero, pero la tangencial generalmente no. En el punto más bajo, la componente tangencial es cero, aunque la radial puede ser máxima.

19.10 Fuerzas sobre la masa

En el modelo ideal actúan únicamente:

• el peso mg, vertical hacia abajo;
• la tensión 𝒯, a lo largo del hilo y hacia el punto de suspensión.

La tensión no tiene componente tangencial porque es perpendicular a la trayectoria instantánea. El peso sí posee componentes radial y tangencial.

No debemos agregar una “fuerza centrípeta” independiente. Centrípeta describe la componente radial de la fuerza resultante, no una tercera interacción.

19.11 Componente tangencial del peso

Proyectando el peso sobre la dirección de θ creciente:

El signo es restaurador:

• si θ es positiva, sen θ > 0 y F_t apunta hacia θ decreciente;
• si θ es negativa, sen θ < 0 y F_t apunta hacia θ creciente;
• en θ = 0, la componente tangencial se anula.

Al combinar esta fuerza con a_t = Lθ̈ aparece la ecuación exacta del péndulo. Su carácter no lineal y el papel de sen θ se desarrollarán en el tema siguiente.

19.12 Ecuación radial y tensión

Tomemos positiva la dirección hacia el punto de suspensión. La tensión apunta en ese sentido y la componente radial del peso vale −mg cos θ:

Despejando:

La tensión depende de la posición y de la rapidez. No es siempre igual al peso. En el punto más bajo, 𝒯 = mg + mLθ̇².

19.13 Función distinta de cada componente

Las dos ecuaciones proyectadas responden preguntas diferentes:

La tensión mantiene la restricción radial; la componente tangencial del peso impulsa el movimiento de ida y vuelta.

19.14 Estados característicos

La aceleración total no tiene por qué ser cero cuando una de sus componentes lo es.

19.15 Cuándo puede aflojarse el hilo

Un hilo puede tirar, pero no empujar. Por eso el modelo exige 𝒯 ≥ 0. Si la fórmula radial requiere tensión negativa, la trayectoria circular con hilo tenso no puede mantenerse.

Para las oscilaciones usuales con ángulos menores que 90°, cos θ es positivo y la condición se cumple. En movimientos muy amplios, la comprobación resulta indispensable.

Si el hilo se afloja, la masa deja temporalmente la trayectoria circular y se necesita otro modelo.

19.16 Estado angular e inicialización

El estado mínimo del péndulo se describe mediante:

La longitud, la masa y la gravedad son parámetros. Para iniciar una simulación debemos convertir los ángulos ingresados en grados a radianes:

function estadoPendulo(longitudM, anguloGrados, velocidadAngularRadS) {
  const anguloRad = anguloGrados * Math.PI / 180;
  const xM = longitudM * Math.sin(anguloRad);
  const yM = longitudM * Math.cos(anguloRad);
  const velocidadTangencialMps = longitudM * velocidadAngularRadS;
  return { anguloRad, xM, yM, velocidadTangencialMps };
}

console.log(estadoPendulo(0.80, 30, -1.20));

19.17 Calcular fuerzas y aceleraciones

function dinamicaInstantanea({ masaKg, longitudM, gravedadMps2, anguloRad, velocidadAngularRadS }) {
  const fuerzaTangencialN = -masaKg * gravedadMps2 * Math.sin(anguloRad);
  const aceleracionTangencialMps2 = fuerzaTangencialN / masaKg;
  const aceleracionRadialMps2 = longitudM * velocidadAngularRadS ** 2;
  const tensionN = masaKg * gravedadMps2 * Math.cos(anguloRad) +
    masaKg * aceleracionRadialMps2;
  return { fuerzaTangencialN, aceleracionTangencialMps2,
    aceleracionRadialMps2, tensionN, hiloTenso: tensionN >= 0 };
}

console.log(dinamicaInstantanea({
  masaKg: 0.25, longitudM: 0.80, gravedadMps2: 9.8,
  anguloRad: Math.PI / 6, velocidadAngularRadS: -1.20
}));

Separar geometría y dinámica en funciones pequeñas facilita verificar unidades, signos y casos límite.

19.18 Laboratorio interactivo: geometría y fuerzas

Modificá el estado angular. El dibujo muestra el hilo, la tangente, el peso y la tensión; los resultados separan las componentes tangencial y radial.

• Cambiá el signo de θ: se invierte la fuerza tangencial.
• Cambiá el signo de θ̇: se invierte la velocidad, pero no la aceleración radial.
• Aumentá |θ̇|: la tensión crece debido al término cuadrático.
• Explorá ángulos grandes: comprobá si la tensión calculada sigue siendo no negativa.

19.19 Errores frecuentes

• Usar grados dentro de Math.sin: JavaScript espera radianes.
• Confundir θ con el arco s: se relacionan mediante s = Lθ, pero tienen unidades distintas.
• Tomar la tensión igual a mg: depende también del ángulo y de θ̇.
• Agregar una fuerza centrípeta: es el nombre de la resultante radial, no una interacción adicional.
• Suponer aceleración cero en un extremo: solo se anula allí la componente radial si θ̇ = 0.
• Ignorar la restricción del hilo: una tensión negativa indica que el modelo circular dejó de ser válido.

19.20 Ejercicio propuesto

Un péndulo simple tiene L = 0,80 m y m = 0,25 kg. En cierto instante, θ = +30° y θ̇ = −1,20 rad/s. Usá g = 9,8 m/s².

1. Convertí el ángulo a radianes y calculá X, Y y s.
2. Calculá la velocidad tangencial con signo.
3. Obtené la fuerza y la aceleración tangenciales.
4. Calculá la aceleración radial.
5. Determiná la tensión y verificá que el hilo pueda permanecer tenso.

const longitudM = 0.80;
const masaKg = 0.25;
const gravedadMps2 = 9.8;
const anguloRad = 30 * Math.PI / 180;
const velocidadAngularRadS = -1.20;

const xM = longitudM * Math.sin(anguloRad);
const yM = longitudM * Math.cos(anguloRad);
const arcoM = longitudM * anguloRad;
const velocidadTangencialMps = longitudM * velocidadAngularRadS;
const fuerzaTangencialN = -masaKg * gravedadMps2 * Math.sin(anguloRad);
const aceleracionTangencialMps2 = fuerzaTangencialN / masaKg;
const aceleracionRadialMps2 = longitudM * velocidadAngularRadS ** 2;
const tensionN = masaKg * gravedadMps2 * Math.cos(anguloRad) +
  masaKg * aceleracionRadialMps2;

console.log({ anguloRad, xM, yM, arcoM, velocidadTangencialMps,
  fuerzaTangencialN, aceleracionTangencialMps2,
  aceleracionRadialMps2, tensionN, hiloTenso: tensionN >= 0 });

19.21 Ideas para recordar

• El péndulo simple ideal tiene una masa puntual y un hilo inextensible de longitud L.
• La restricción circular permite describir el estado con θ y θ̇.
• Las coordenadas son X = L sen θ e Y = L cos θ.
• El arco y la velocidad tangencial cumplen s = Lθ y v_t = Lθ̇.
• La componente tangencial del peso es −mg sen θ.
• La aceleración radial tiene módulo Lθ̇² y apunta al apoyo.
• La tensión es mg cos θ + mLθ̇² mientras el hilo esté tenso.
• La fuerza centrípeta no es una fuerza adicional, sino la resultante radial.