2. Ciclo, amplitud, período, frecuencia y fase

2.1 De reconocer una oscilación a medirla

En el tema anterior identificamos movimientos de ida y vuelta alrededor de un equilibrio. Ahora necesitamos describirlos cuantitativamente. No alcanza con afirmar que dos masas oscilan: una puede recorrer una región mayor, repetir el movimiento más rápido o comenzar en otra etapa del ciclo.

Usaremos cinco ideas relacionadas:

• el ciclo identifica una repetición completa;
• la amplitud mide el máximo alejamiento del equilibrio;
• el período mide el tiempo de un ciclo;
• la frecuencia cuenta ciclos por unidad de tiempo;
• la fase indica la etapa del ciclo.

Estas cantidades describen el movimiento. Todavía no explican qué fuerza lo produce ni cómo dependen sus valores de la masa, del resorte o de la longitud de un péndulo.

2.2 Qué significa completar un ciclo

Un ciclo se completa cuando el sistema vuelve al mismo estado desde el que comenzamos a observarlo. Volver al mismo lugar no siempre es suficiente: también debe coincidir el sentido del movimiento.

Si una masa comienza en el extremo derecho, un ciclo incluye el recorrido:

Cuando atraviesa por primera vez el equilibrio solo ha completado un cuarto de ciclo. Al llegar al extremo izquierdo ha completado medio ciclo. En el siguiente cruce del equilibrio lleva tres cuartos, y recién al regresar al extremo derecho completa el ciclo.

También podríamos elegir como inicio un cruce por el equilibrio hacia la derecha. El ciclo terminaría en el siguiente cruce por el equilibrio hacia la derecha. El punto inicial es una elección; la repetición completa no depende de esa elección.

2.3 Amplitud: el máximo alejamiento

La amplitud, representada habitualmente con A, es el valor máximo de la distancia entre el oscilador y su posición de equilibrio. Es una cantidad no negativa.

Si el equilibrio corresponde a x = 0 y una masa alcanza los extremos x = −0,30 m y x = +0,30 m, su amplitud es:

La distancia total entre extremos es 0,60 m. Se denomina valor pico a pico y vale 2A. Confundirlo con la amplitud duplicaría el valor.

La unidad de la amplitud depende de la coordenada elegida. Para un resorte puede expresarse en metros; para un péndulo, la amplitud angular puede expresarse en radianes o grados. En un modelo ideal la amplitud permanece constante. Si existen pérdidas de energía, puede cambiar con el tiempo.

2.4 Período: cuánto tarda un ciclo

El período, simbolizado con T, es el intervalo de tiempo necesario para completar un ciclo. En el Sistema Internacional se expresa en segundos.

Si una masa tarda 1,5 s en regresar al mismo estado, entonces T = 1,5 s. Después de 3 s habrá completado dos ciclos y después de 7,5 s, cinco ciclos.

Cuando medimos un movimiento real suele ser más preciso cronometrar varios ciclos y dividir el tiempo total:

Si 10 ciclos duran 18,4 s, el período medio es 18,4 s / 10 = 1,84 s. Medir un intervalo más largo reduce la influencia relativa del error al iniciar y detener el cronómetro.

2.5 Frecuencia: cuántos ciclos ocurren

La frecuencia, simbolizada con f, indica cuántos ciclos se completan por unidad de tiempo. Su unidad del Sistema Internacional es el hertz (Hz).

Un oscilador de 4 Hz completa cuatro ciclos cada segundo. Otro de 0,25 Hz completa un cuarto de ciclo por segundo: necesita cuatro segundos para completar uno.

Frecuencia y período son recíprocos:

Un período menor corresponde siempre a una frecuencia mayor. La amplitud, en cambio, es una característica independiente: un movimiento puede ser amplio y lento, o pequeño y rápido.

2.6 Frecuencia angular

Un ciclo puede asociarse con una vuelta completa de 2π radianes. Por eso resulta útil la frecuencia angular ω (omega), que mide la rapidez con que avanza el ángulo de fase.

La unidad de ω es radianes por segundo (rad/s). Aunque f y ω describen el ritmo de la misma oscilación, sus valores no son iguales. Para T = 2 s:

La palabra angular no implica que el cuerpo deba recorrer una circunferencia. Incluso para una masa que se mueve en línea recta, ω permite expresar de forma compacta el avance del ciclo dentro de las funciones seno y coseno.

2.7 Fase: en qué etapa está el movimiento

La fase identifica la etapa del ciclo en un instante. Puede expresarse como fracción de ciclo, en grados o en radianes.

Los ángulos separados por un número entero de vueltas representan la misma etapa: 0, 2π y 4π rad corresponden a la misma fase dentro del ciclo, aunque ocurren en instantes diferentes.

2.8 Fase inicial y ecuación de posición

Una oscilación armónica puede representarse mediante:

El término φ₀ es la fase inicial: indica la etapa del ciclo en t = 0. Por ejemplo:

• si φ₀ = 0, comienza en el extremo positivo;
• si φ₀ = π/2, comienza en el equilibrio y avanza hacia valores negativos;
• si φ₀ = π, comienza en el extremo negativo;
• si φ₀ = 3π/2, comienza en el equilibrio y avanza hacia valores positivos.

La fase total en el instante t es φ(t) = ωt + φ₀. Dentro del coseno, los ángulos deben expresarse en radianes cuando programamos con Math.cos.

2.9 Diferencia de fase entre dos oscilaciones

Dos osciladores con igual frecuencia pueden encontrarse en etapas diferentes. La diferencia de fase permite compararlos.

• Con diferencia 0 rad están en fase: alcanzan extremos y equilibrio al mismo tiempo y con el mismo sentido.
• Con diferencia π rad están en oposición de fase: cuando uno está en el extremo positivo, el otro está en el negativo.
• Con diferencia π/2 rad están separados un cuarto de ciclo.

Una diferencia de fase también puede convertirse en demora temporal cuando ambas oscilaciones tienen el mismo período:

Con Δφ = π/2 y T = 4 s, la separación temporal equivalente es 1 s.

2.10 Obtener magnitudes a partir de observaciones

Supongamos que una masa alcanza +12 cm y −12 cm, y que los máximos positivos ocurren en los instantes 0,4 s, 2,0 s y 3,6 s.

1. La amplitud es 12 cm, no 24 cm.
2. La separación entre máximos consecutivos es 2,0 − 0,4 = 1,6 s; por lo tanto, T = 1,6 s.
3. La frecuencia es f = 1 / 1,6 s = 0,625 Hz.
4. La frecuencia angular es ω = 2πf ≈ 3,93 rad/s.

Para medir el período deben compararse estados equivalentes. El intervalo entre un máximo positivo y el máximo negativo siguiente es medio período, no un período completo.

2.11 Calcular las cantidades con JavaScript

function datosDesdePeriodo(periodoS) {
  if (periodoS <= 0) {
    throw new RangeError("El período debe ser positivo");
  }

  const frecuenciaHz = 1 / periodoS;
  const omegaRadS = 2 * Math.PI / periodoS;

  return { periodoS, frecuenciaHz, omegaRadS };
}

const datos = datosDesdePeriodo(1.6);
console.log(datos.frecuenciaHz.toFixed(3), "Hz");
console.log(datos.omegaRadS.toFixed(3), "rad/s");

También podemos calcular una posición teniendo en cuenta la fase inicial:

function posicionArmonica(tS, amplitudM, frecuenciaHz, faseInicialRad) {
  const omegaRadS = 2 * Math.PI * frecuenciaHz;
  const faseRad = omegaRadS * tS + faseInicialRad;
  return amplitudM * Math.cos(faseRad);
}

const xA = posicionArmonica(0, 0.5, 2, 0);
const xB = posicionArmonica(0, 0.5, 2, Math.PI);

console.log(xA, xB); // 0.5 y -0.5

La función comprueba el período en el primer ejemplo porque dividir por cero o aceptar tiempos de ciclo negativos no tendría sentido físico. En aplicaciones reales también deberíamos validar amplitudes y unidades.

2.12 Laboratorio interactivo: comparar fases

Los osciladores A y B tienen la misma amplitud y frecuencia. Modificá esos valores y cambiá la fase inicial de B para observar qué propiedades se mantienen y cuáles cambian.

• Elegí 0°: ambos bloques deben moverse juntos.
• Elegí 180°: cuando A está a la derecha, B está a la izquierda.
• Duplicá la frecuencia: el período y la demora equivalente para la misma fase se reducen a la mitad.
• Cambiá la amplitud: los extremos cambian, pero el período y la fase relativa permanecen iguales.

2.13 Ejercicio propuesto

Un oscilador se mueve entre x = −0,20 m y x = +0,20 m. Completa 15 ciclos en 12 s. En t = 0 atraviesa el equilibrio hacia valores positivos.

1. Determiná la amplitud.
2. Calculá el período y la frecuencia.
3. Calculá la frecuencia angular.
4. Elegí una fase inicial para representarlo con una función coseno.
5. Calculá el tiempo que tarda en avanzar un cuarto de ciclo.

const amplitudM = 0.20;
const ciclos = 15;
const tiempoTotalS = 12;

const frecuenciaHz = ciclos / tiempoTotalS;
const periodoS = 1 / frecuenciaHz;
const omegaRadS = 2 * Math.PI * frecuenciaHz;
const cuartoDeCicloS = periodoS / 4;

console.log({ amplitudM, periodoS, frecuenciaHz,
  omegaRadS, cuartoDeCicloS });

2.14 Ideas para recordar

• Un ciclo termina cuando posición y sentido del movimiento vuelven al estado inicial.
• La amplitud es el máximo alejamiento del equilibrio; la separación entre extremos vale 2A.
• El período T es el tiempo de un ciclo y se mide en segundos.
• La frecuencia f es la cantidad de ciclos por segundo y se mide en hertz.
• Período y frecuencia cumplen f = 1/T.
• La frecuencia angular es ω = 2πf y se expresa en rad/s.
• La fase indica la etapa del ciclo; la fase inicial determina el estado en t = 0.
• Amplitud, frecuencia y fase describen propiedades distintas de una oscilación.