20. Ecuación no lineal del péndulo y significado de sen θ

20.1 Del diagrama de fuerzas a una ecuación

En el tema anterior separamos las fuerzas del péndulo en direcciones radial y tangencial. La tensión actúa a lo largo del hilo, por lo que no contribuye a cambiar la coordenada angular.

La componente tangencial del peso es la responsable del movimiento de ida y vuelta:

El signo negativo indica que esa componente apunta hacia el punto más bajo para ángulos comprendidos alrededor de θ = 0.

20.2 Aceleración tangencial y angular

Como el hilo tiene longitud constante L, la aceleración tangencial se relaciona con la aceleración angular:

Aplicamos la segunda ley de Newton en la dirección tangencial:

Cancelando la masa y dividiendo por L obtenemos la ecuación exacta del péndulo simple:

20.3 Qué representa cada término

• θ: ángulo respecto de la vertical hacia abajo, en radianes.
• θ̈: aceleración angular, en rad/s².
• g: módulo de la aceleración gravitatoria, en m/s².
• L: longitud del péndulo, en metros.
• sen θ: factor geométrico adimensional que proyecta el peso sobre la tangente.

El cociente g/L tiene unidades de s⁻². Multiplicarlo por un número adimensional produce las unidades correctas de aceleración angular.

20.4 De dónde surge sen θ

El peso siempre apunta verticalmente hacia abajo, pero la dirección tangencial gira junto con el péndulo. Al proyectar el peso sobre esa dirección aparece el seno del ángulo.

En el punto más bajo, peso e hilo son paralelos y la proyección tangencial es cero. A medida que aumenta |θ|, la tangente adquiere una componente mayor en la dirección del peso.

sen θ no se agrega para hacer periódica la ecuación: es una consecuencia directa de la geometría de la circunferencia y del producto escalar entre el peso y la dirección tangencial.

20.5 El signo restaurador

Para ángulos entre −π y π:

• si 0 < θ < π, entonces sen θ > 0 y θ̈ < 0;
• si −π < θ < 0, entonces sen θ < 0 y θ̈ > 0;
• si θ = 0, entonces θ̈ = 0.

En ambos lados del punto inferior, la aceleración angular apunta hacia ángulos más cercanos a cero. Esto produce el carácter restaurador.

La aceleración puede oponerse o coincidir con la velocidad angular: si se opone, la rapidez angular disminuye; si coincide, aumenta.

20.6 Por qué la masa se cancela

La componente tangencial del peso es proporcional a m, pero la resistencia del cuerpo a cambiar su movimiento también lo es. Al aplicar F = ma, ambos factores se cancelan.

En el modelo ideal, dos péndulos con la misma L, la misma posición angular y la misma velocidad angular tienen la misma aceleración angular aunque sus masas sean distintas.

La masa sí modifica fuerzas como el peso y la tensión, pero no la evolución angular ideal determinada por θ̈ = −(g/L)sen θ.

20.7 Por qué la ecuación es no lineal

Una ecuación es lineal en θ si la incógnita y sus derivadas aparecen solo elevadas a la primera potencia, sin estar dentro de funciones no lineales ni multiplicarse entre sí.

En el péndulo exacto aparece sen θ. No podemos distribuir el seno sobre una suma:

Por eso no se cumple el principio de superposición. Sumar dos soluciones no produce, en general, una nueva solución.

20.8 Comparación con una fuerza lineal

En un resorte ideal, la aceleración es exactamente proporcional al desplazamiento: ẍ = −(k/m)x. En el péndulo, la relación exacta es:

La razón sen θ/θ indica cuánto difiere la respuesta geométrica de una proporcionalidad directa:

El tema siguiente establecerá cuándo es válido reemplazar el seno por el ángulo y qué modelo resulta de esa decisión.

20.9 La aceleración angular está acotada

Como −1 ≤ sen θ ≤ 1:

El módulo máximo de la aceleración angular ocurre cuando θ = π/2 + 2πn o θ = −π/2 + 2πn.

En cambio, una fuerza angular estrictamente proporcional a θ crecería sin límite al aumentar |θ|. Esta diferencia es esencial para movimientos de gran amplitud o rotaciones completas.

20.10 Periodicidad angular de la ecuación

Como sen(θ + 2π) = sen θ, los ángulos separados por una vuelta completa producen la misma aceleración angular.

Para dibujar el péndulo podemos normalizar θ a un intervalo como (−π, π]. Para contar vueltas, en cambio, conviene conservar un ángulo acumulado sin normalizar.

Normalizar la representación visual no debe modificar la variable interna si la aplicación necesita conocer el número de rotaciones.

20.11 Puntos de equilibrio

La aceleración angular se anula cuando:

Hay dos clases geométricamente distintas:

• θ = 2πn: masa debajo del apoyo;
• θ = (2n + 1)π: masa exactamente encima del apoyo.

Para que el estado permanezca en equilibrio también debe cumplirse θ̇ = 0.

20.12 Equilibrio estable e inestable

Cerca del punto inferior, una pequeña separación produce aceleración de regreso. Por eso θ = 2πn es un equilibrio estable.

Cerca del punto superior ocurre lo contrario. Si θ = π + ε, la aceleración aleja al sistema de π en vez de devolverlo. Es un equilibrio inestable.

Que θ̈ = 0 exactamente en ambos puntos no basta para decidir la estabilidad. Debemos observar qué ocurre ante una perturbación pequeña.

20.13 Una ecuación de segundo orden

Conocer θ en un instante no determina por sí solo la evolución. También necesitamos la velocidad angular:

No debe confundirse la velocidad angular instantánea ω₀ con una frecuencia angular constante. En el péndulo no lineal, θ̇ cambia a lo largo del movimiento.

Dos estados con el mismo ángulo y velocidades opuestas tienen igual aceleración angular instantánea, pero evolucionan inicialmente en sentidos contrarios.

20.14 Convertir la ecuación para programarla

Una ecuación de segundo orden puede escribirse como dos reglas de primer orden:

En cada paso calculamos la aceleración angular desde el ángulo actual, actualizamos ω y luego θ.

Usaremos omega como nombre de la velocidad angular instantánea. No representa una frecuencia fija como en la solución armónica del resorte.

20.15 Un paso de Euler semimplícito

function pasoPendulo(estado, parametros, dtS) {
  const aceleracionAngular = -(parametros.gravedadMps2 / parametros.longitudM) *
    Math.sin(estado.anguloRad);
  const nuevaVelocidad = estado.velocidadAngularRadS + aceleracionAngular * dtS;
  const nuevoAngulo = estado.anguloRad + nuevaVelocidad * dtS;
  return {
    anguloRad: nuevoAngulo,
    velocidadAngularRadS: nuevaVelocidad,
    aceleracionAngularRadS2: aceleracionAngular
  };
}

const siguiente = pasoPendulo(
  { anguloRad: 50 * Math.PI / 180, velocidadAngularRadS: -0.6 },
  { longitudM: 1.2, gravedadMps2: 9.81 },
  0.02
);
console.log(siguiente);

Actualizar primero la velocidad y después el ángulo suele comportarse mejor que Euler explícito en sistemas oscilatorios, pero sigue siendo una aproximación. El resultado depende de Δt.

20.16 Simular una trayectoria

function simularPendulo({ longitudM, gravedadMps2, anguloInicialRad, velocidadInicialRadS, dtS, pasos }) {
  let angulo = anguloInicialRad;
  let velocidad = velocidadInicialRadS;
  const muestras = [];

  for (let i = 0; i <= pasos; i += 1) {
    if (i % Math.max(1, Math.floor(pasos / 5)) === 0) {
      muestras.push({ tiempoS: i * dtS, anguloRad: angulo, velocidadRadS: velocidad });
    }
    const aceleracion = -(gravedadMps2 / longitudM) * Math.sin(angulo);
    velocidad += aceleracion * dtS;
    angulo += velocidad * dtS;
  }
  return muestras;
}

const muestras = simularPendulo({
  longitudM: 1, gravedadMps2: 9.81,
  anguloInicialRad: 70 * Math.PI / 180,
  velocidadInicialRadS: 0, dtS: 0.002, pasos: 2000
});
console.log(muestras);

Guardar solo algunas muestras reduce el volumen de salida sin cambiar el paso de integración. En una animación conviene separar el paso físico fijo de la frecuencia con la que se dibuja.

20.17 Elegir el paso temporal

Un Δt demasiado grande puede producir cambios bruscos, modificar artificialmente la amplitud o incluso volver inestable la simulación.

Una estrategia práctica consiste en:

1. simular con un paso inicial pequeño;
2. repetir con Δt/2;
3. comparar ángulos y velocidades en los mismos instantes;
4. reducir nuevamente el paso si la diferencia supera la tolerancia elegida.

La convergencia con pasos menores aporta evidencia de que el resultado numérico representa la ecuación y no un artefacto del algoritmo.

20.18 Laboratorio interactivo: seguir la dinámica no lineal

El gráfico compara sen θ con la recta θ dentro de una vuelta. El punto señala el ángulo actual y el péndulo evoluciona usando la ecuación exacta, sin reemplazar el seno.

• Compará 10° y 120°: observá cómo aumenta la separación entre sen θ y θ.
• Cambiá la longitud: una L menor aumenta el módulo de θ̈ para el mismo ángulo.
• Anulá g: la velocidad angular permanece constante.
• Aumentá Δt: compará la trayectoria con la obtenida usando un paso menor.

20.19 Errores frecuentes

• Escribir sen en grados: las funciones trigonométricas del código y la ecuación usan radianes.
• Eliminar el seno sin declarar una aproximación: la ecuación exacta contiene sen θ.
• Confundir θ̇ con una frecuencia constante: es una variable del estado.
• Agregar la tensión a la ecuación tangencial: la tensión no tiene componente en esa dirección.
• Suponer que θ̈ = 0 implica equilibrio: también debe cumplirse θ̇ = 0.
• Normalizar el ángulo acumulado sin necesidad: puede perderse el conteo de vueltas.
• Usar un paso grande sin comprobar convergencia: puede alterar la dinámica simulada.

20.20 Ejercicio propuesto

Un péndulo simple tiene L = 1,20 m y m = 0,40 kg. En cierto instante, θ = +50° y θ̇ = −0,60 rad/s. Usá g = 9,81 m/s².

1. Calculá sen θ y la fuerza tangencial.
2. Calculá la aceleración tangencial y la aceleración angular.
3. Explicá si la rapidez angular aumenta o disminuye en ese instante.
4. Realizá un paso de Euler semimplícito con Δt = 0,020 s.
5. Indicá por qué la masa no aparece en la aceleración angular.

const longitudM = 1.20;
const masaKg = 0.40;
const gravedadMps2 = 9.81;
const anguloRad = 50 * Math.PI / 180;
const velocidadAngularRadS = -0.60;
const dtS = 0.020;

const seno = Math.sin(anguloRad);
const fuerzaTangencialN = -masaKg * gravedadMps2 * seno;
const aceleracionTangencialMps2 = fuerzaTangencialN / masaKg;
const aceleracionAngularRadS2 = aceleracionTangencialMps2 / longitudM;
const nuevaVelocidadRadS = velocidadAngularRadS + aceleracionAngularRadS2 * dtS;
const nuevoAnguloRad = anguloRad + nuevaVelocidadRadS * dtS;

console.log({ seno, fuerzaTangencialN, aceleracionTangencialMps2,
  aceleracionAngularRadS2, nuevaVelocidadRadS,
  nuevoAnguloRad, nuevoAnguloGrados: nuevoAnguloRad * 180 / Math.PI });

20.21 Ideas para recordar

• La ecuación exacta es θ̈ = −(g/L)sen θ.
• El seno surge de proyectar el peso sobre la dirección tangencial.
• La masa se cancela en la evolución angular ideal.
• La presencia de sen θ hace que la ecuación sea no lineal.
• La aceleración angular está acotada por g/L.
• Los puntos inferiores son equilibrios estables y los superiores, inestables.
• El estado requiere ángulo y velocidad angular iniciales.
• La integración numérica debe usar radianes y un paso temporal verificado.