21. Aproximación de ángulo pequeño y movimiento armónico

21.1 Por qué aproximar una ecuación

La ecuación exacta del péndulo simple es:

Esta ecuación no lineal describe el modelo ideal para cualquier ángulo mientras el hilo permanezca tenso, pero no posee una solución sinusoidal elemental para condiciones generales.

Si limitamos el movimiento a una región cercana al equilibrio, podemos reemplazar la función complicada por una expresión más simple y cuantificar el error introducido.

21.2 El ángulo debe medirse en radianes

La aproximación fundamental es:

Solo es válida si θ está expresado en radianes. Por ejemplo:

Comparar sen(10°) con el número 10 carece de sentido para esta aproximación. El radián relaciona directamente el arco y el radio, y hace que la pendiente de sen θ en cero sea uno.

21.3 Origen matemático de la aproximación

Cerca de cero, el desarrollo de Taylor del seno es:

Cuando |θ| es pequeño, θ³, θ⁵ y las potencias siguientes son mucho menores que θ. Al conservar únicamente el primer término obtenemos sen θ ≈ θ.

El primer término descartado es −θ³/6. Esto anticipa que el error crece rápidamente al aumentar la amplitud angular.

21.4 Error absoluto y relativo

Podemos medir el error de reemplazar sen θ por θ mediante:

21.5 “Pequeño” depende de la precisión requerida

No existe un límite universal que convierta automáticamente un ángulo en pequeño. La decisión depende de la magnitud que se desea calcular y de la tolerancia del problema.

• Para una demostración cualitativa, 15° podría ser suficiente.
• Para un cálculo de precisión inferior al 1% en la fuerza tangencial, conviene un ángulo menor.
• Los errores pueden acumularse en una simulación de muchos ciclos.

Siempre debemos declarar la aproximación y comprobar si el error es aceptable para el objetivo.

21.6 Linealizar la ecuación exacta

Sustituimos sen θ ≈ θ en la ecuación no lineal:

Reordenando:

Ahora θ aparece de forma lineal. Esta ecuación describe el modelo linealizado del péndulo, no la ecuación exacta para cualquier amplitud.

21.7 Identificar un movimiento armónico simple

La ecuación general de un movimiento armónico es:

Comparando con la ecuación linealizada del péndulo:

Usamos Ω₀ para la frecuencia angular natural del modelo lineal y reservamos θ̇ para la velocidad angular instantánea. Así evitamos llamar “omega” a dos conceptos diferentes.

21.8 Solución angular aproximada

La solución general de la ecuación linealizada es:

Θ es la amplitud angular, medida en radianes, y φ₀ es la fase inicial. La velocidad y la aceleración angulares son:

Estas expresiones son aproximadas para el péndulo físico, aunque exactas dentro del modelo linealizado.

21.9 Período del modelo lineal

Una función coseno repite su fase cuando esta aumenta 2π. Por lo tanto:

En la aproximación lineal, el período no contiene la masa ni la amplitud. En el próximo tema estudiaremos con detalle sus dependencias y el alcance de esta conclusión.

21.10 Desplazamiento sobre el arco

Como s = Lθ, la coordenada de arco también realiza un movimiento armónico:

Su amplitud lineal es S = LΘ. Además:

Esta coordenada mide distancia sobre la circunferencia y conserva el signo del ángulo.

21.11 Posición horizontal y aproximaciones distintas

La coordenada horizontal exacta es X = L sen θ. Para ángulos pequeños:

El arco y la posición horizontal se parecen cerca del punto inferior, pero no son idénticos. Usar X = Lθ fuera de esa región introduce otro error geométrico.

Conviene conservar las ecuaciones exactas de dibujo X = L sen θ e Y = L cos θ, incluso si la evolución temporal de θ se calcula con el modelo lineal.

21.12 Condiciones iniciales

Dados θ(0) = θ₀ y θ̇(0) = ω₀:

La amplitud angular del modelo lineal es:

La fase puede calcularse de forma robusta con:

21.13 Liberación desde un extremo

Si el péndulo se libera desde θ₀ = Θ con ω₀ = 0, podemos elegir φ₀ = 0:

En T₀/4 cruza el punto inferior; en T₀/2 alcanza el extremo opuesto; en T₀ recupera el estado inicial.

Esta secuencia es exacta para la solución lineal. En el péndulo no lineal, los puntos cualitativos se conservan para una oscilación simétrica, pero los tiempos difieren al crecer la amplitud.

21.14 Qué recuperamos al linealizar

• Una ecuación con solución sinusoidal explícita.
• Una frecuencia angular constante Ω₀.
• El principio de superposición.
• Relaciones de fase conocidas entre ángulo, velocidad y aceleración.
• Fórmulas simples para condiciones iniciales.

Estas ventajas explican por qué la linealización se usa ampliamente. Su utilidad no convierte la aproximación en una identidad.

21.15 Qué información pierde el modelo lineal

• La curvatura exacta de sen θ para ángulos grandes.
• La variación del período con la amplitud.
• La descripción correcta de rotaciones completas.
• Los equilibrios superiores repetidos cada 2π.
• La aceleración angular exacta lejos del punto inferior.

Un modelo linealizado es local: está construido para representar el comportamiento cerca de un equilibrio estable.

21.16 Ejemplo con liberación a 8°

Un péndulo de L = 1,00 m se libera desde 8°. Con g = 9,81 m/s²:

La solución aproximada es:

El error relativo de reemplazar sen 8° por 8° en radianes es aproximadamente 0,33%, razonable para muchas aplicaciones introductorias.

21.17 Calcular la aproximación con JavaScript

function errorAnguloPequeno(anguloGrados) {
  const theta = anguloGrados * Math.PI / 180;
  const seno = Math.sin(theta);
  const errorAbsoluto = Math.abs(theta - seno);
  const errorRelativo = Math.abs(seno) < 1e-15 ? 0 : errorAbsoluto / Math.abs(seno);
  return { anguloGrados, thetaRad: theta, seno,
    errorAbsoluto, errorPorcentaje: 100 * errorRelativo };
}

const comparacion = [5, 10, 15, 30, 60].map(errorAnguloPequeno);
console.log(comparacion);

Podemos encapsular la solución lineal y mantener nombres distintos para la frecuencia natural y la velocidad angular:

function solucionLineal({ longitudM, gravedadMps2, theta0Rad, velocidad0RadS, tiempoS }) {
  const frecuenciaNaturalRadS = Math.sqrt(gravedadMps2 / longitudM);
  const amplitudRad = Math.hypot(theta0Rad,
    velocidad0RadS / frecuenciaNaturalRadS);
  const faseRad = amplitudRad === 0 ? 0 :
    Math.atan2(-velocidad0RadS / frecuenciaNaturalRadS, theta0Rad);
  const argumento = frecuenciaNaturalRadS * tiempoS + faseRad;
  return {
    anguloRad: amplitudRad * Math.cos(argumento),
    velocidadAngularRadS: -amplitudRad * frecuenciaNaturalRadS * Math.sin(argumento),
    aceleracionAngularRadS2: -(frecuenciaNaturalRadS ** 2) * amplitudRad * Math.cos(argumento)
  };
}

console.log(solucionLineal({
  longitudM: 0.90, gravedadMps2: 9.8,
  theta0Rad: 12 * Math.PI / 180,
  velocidad0RadS: 0, tiempoS: 0.25
}));

21.18 Laboratorio interactivo: modelo exacto y lineal

Los dos péndulos parten del mismo estado. El naranja integra la ecuación con seno; el azul usa la solución armónica. A pequeña amplitud casi coinciden, pero la diferencia de fase se acumula cuando el ángulo inicial aumenta.

• Probá 5°: las representaciones permanecen prácticamente superpuestas.
• Probá 60°: observá cómo el modelo lineal se adelanta progresivamente.
• Cambiá L o g: ambos modelos cambian de escala temporal.
• Agregá velocidad inicial: la amplitud lineal depende de θ₀ y ω₀.

21.19 Errores frecuentes

• Aplicar sen θ ≈ θ con grados: la comparación solo funciona en radianes.
• Escribir una igualdad: se trata de una aproximación con error.
• Usar el modelo para cualquier amplitud: la linealización es local.
• Confundir Θ con θ(t): Θ es la amplitud; θ cambia con el tiempo.
• Confundir Ω₀ con θ̇: la primera es un parámetro constante; la segunda pertenece al estado.
• Reemplazar también la geometría de dibujo sin necesidad: pueden conservarse seno y coseno para ubicar la masa.

21.20 Ejercicio propuesto

Un péndulo de L = 0,90 m se libera desde θ₀ = +12° con velocidad angular inicial cero. Usá g = 9,8 m/s².

1. Convertí θ₀ a radianes y calculá el error relativo de sen θ ≈ θ.
2. Calculá Ω₀ y T₀.
3. Escribí la solución lineal θ(t).
4. Calculá θ y θ̇ en t = 0,25 s.
5. Obtené el desplazamiento y la velocidad sobre el arco en ese instante.

const longitudM = 0.90;
const gravedadMps2 = 9.8;
const theta0Rad = 12 * Math.PI / 180;
const tiempoS = 0.25;
const frecuenciaNaturalRadS = Math.sqrt(gravedadMps2 / longitudM);
const periodoS = 2 * Math.PI / frecuenciaNaturalRadS;
const anguloRad = theta0Rad * Math.cos(frecuenciaNaturalRadS * tiempoS);
const velocidadAngularRadS = -theta0Rad * frecuenciaNaturalRadS *
  Math.sin(frecuenciaNaturalRadS * tiempoS);
const arcoM = longitudM * anguloRad;
const velocidadTangencialMps = longitudM * velocidadAngularRadS;
const errorRelativo = Math.abs(theta0Rad - Math.sin(theta0Rad)) /
  Math.abs(Math.sin(theta0Rad));

console.log({ theta0Rad, errorPorcentaje: 100 * errorRelativo,
  frecuenciaNaturalRadS, periodoS, anguloRad,
  anguloGrados: anguloRad * 180 / Math.PI,
  velocidadAngularRadS, arcoM, velocidadTangencialMps });

21.21 Ideas para recordar

• Para ángulos pequeños en radianes, sen θ ≈ θ.
• La aproximación surge al descartar términos de orden θ³ y superiores.
• La validez depende de la tolerancia requerida, no de un límite universal.
• La ecuación linealizada es θ̈ + (g/L)θ = 0.
• Su frecuencia natural es Ω₀ = √(g/L).
• La solución aproximada es θ = Θ cos(Ω₀t + φ₀).
• El arco s = Lθ también realiza movimiento armónico.
• Para amplitudes grandes debe conservarse la ecuación no lineal.