22.1 Qué mide el período
El período T es el tiempo necesario para que el péndulo recupere simultáneamente su posición angular y su velocidad angular.
Si parte de un extremo, un ciclo completo incluye el paso por el punto inferior, la llegada al extremo opuesto y el regreso al estado inicial. Ir de un extremo al otro ocupa medio período, no uno completo.
La frecuencia f = 1/T cuenta ciclos por segundo y se mide en hertz.
22.2 Recordar el modelo linealizado
Para ángulos suficientemente pequeños medidos en radianes:
La ecuación de un movimiento armónico simple tiene la forma θ̈ + Ω₀²θ = 0. Al comparar coeficientes:
Ω₀ es la frecuencia angular natural del modelo lineal, medida en rad/s.
22.3 Deducir el período
Una solución armónica repite su fase cuando el argumento aumenta 2π. Como Ω₀T₀ = 2π:
El subíndice cero recuerda que es el período límite para ángulos pequeños. No es una fórmula exacta para amplitudes arbitrarias.
La frecuencia ordinaria correspondiente es:
22.4 Comprobación dimensional
Longitud y aceleración gravitatoria tienen dimensiones:
[g] = m/s²
Por lo tanto:
El factor 2π es adimensional, así que la expresión produce segundos. Si se intercambian L y g, las unidades dejan de corresponder a un período.
22.5 Dependencia con la longitud
Manteniendo g constante:
Un péndulo más largo oscila más lentamente. La dependencia no es lineal:
- duplicar L multiplica T₀ por √2 ≈ 1,414;
- cuadruplicar L duplica T₀;
- reducir L a la cuarta parte divide T₀ por dos.
Para multiplicar el período por un factor r, debemos multiplicar la longitud por r².
22.6 Dependencia con la gravedad
Manteniendo L constante:
Un campo gravitatorio más intenso produce una aceleración restauradora mayor y un período menor:
- multiplicar g por cuatro divide T₀ por dos;
- reducir g a la cuarta parte duplica T₀;
- si g tiende a cero, la fórmula predice un período que crece sin límite.
En ausencia de gravedad no hay fuerza tangencial restauradora y el sistema deja de oscilar como péndulo gravitatorio.
22.7 Comparar dos péndulos mediante razones
Para evitar cálculos repetidos, dividimos sus períodos:
Si ambos están en el mismo lugar, g₁ = g₂ y queda T₂/T₁ = √(L₂/L₁).
Si tienen igual longitud, L₂ = L₁ y queda T₂/T₁ = √(g₁/g₂).
22.8 Por qué no aparece la masa
La componente tangencial del peso es proporcional a m, pero la inercia también. La masa se cancela en la ecuación angular y, por eso, no aparece en T₀.
Dos péndulos ideales de igual longitud en el mismo campo gravitatorio tienen el mismo período lineal aunque sus masas sean diferentes.
En un experimento real, cambiar la masa puede alterar indirectamente la resistencia del aire, la flexión del hilo o el rozamiento del soporte. Esos efectos pertenecen a un modelo más completo.
22.9 La amplitud tampoco aparece en T₀
La ecuación lineal tiene una frecuencia independiente de la amplitud. Por eso dos oscilaciones pequeñas con distinta amplitud angular comparten T₀.
Esta propiedad recibe el nombre de isocronismo aproximado. No es exacta para el péndulo no lineal: al crecer la amplitud, el período real aumenta.
En este tema utilizaremos T₀. La corrección para grandes amplitudes y los límites del modelo armónico se estudiarán en el tema 24.
22.10 Qué longitud debe medirse
En un péndulo simple, L es la distancia desde el eje de giro hasta el centro de masa de la pesa. No es solamente la longitud visible del hilo.
Si la esfera tiene radio r y el hilo de longitud ℓ se une a su parte superior, una primera estimación es:
Un error sistemático en L se transmite directamente al valor calculado de g. También debe identificarse con precisión el punto efectivo de suspensión.
22.11 Despejar la longitud
Si conocemos el período deseado y la gravedad:
Un péndulo cuyo período completo es aproximadamente 2 s requiere, cerca de la superficie terrestre:
Este sistema tarda cerca de un segundo en ir de un extremo al otro y se conoce históricamente como péndulo de segundos.
22.12 Despejar la gravedad
Midiendo L y T₀ podemos estimar g:
Este método convierte al péndulo en un instrumento indirecto. Para que la estimación sea válida debemos usar una amplitud pequeña y controlar la longitud efectiva, el tiempo y las pérdidas.
La masa no es necesaria en el cálculo, aunque conviene que la pesa sea compacta y suficientemente densa para reducir la influencia relativa del aire.
22.13 Medir varios ciclos
Cronometrar un solo período hace que el tiempo de reacción represente una fracción importante de la medición. Es mejor medir N ciclos completos:
Si 30 oscilaciones duran 47,70 s, el período medio es:
Conviene comenzar y terminar el conteo al pasar por el mismo punto y en el mismo sentido.
22.14 Incertidumbre del período medido
Si la incertidumbre del intervalo total es δt y N se considera exacto:
Medir más ciclos reduce la contribución del cronometraje por período. Sin embargo, no elimina errores sistemáticos como una longitud mal definida o una amplitud demasiado grande.
Repetir varias series permite calcular un promedio y observar la dispersión entre mediciones.
22.15 Propagación aproximada hacia g
Como g = 4π²L/T², una estimación conservadora de la incertidumbre relativa es:
El factor dos muestra que un error relativo en el período tiene mayor influencia que el mismo error relativo en la longitud.
Esta suma lineal proporciona una cota sencilla. Un tratamiento estadístico con incertidumbres independientes suele combinarlas cuadráticamente.
22.16 Transformar la relación para graficarla
La gráfica T frente a L es una raíz cuadrada, no una recta. Elevando al cuadrado:
Una gráfica de T² en función de L debe ser lineal dentro del modelo. Su pendiente es:
Entonces g = 4π²/pendiente. Usar varias longitudes permite estimar g mediante un ajuste lineal y detectar desviaciones sistemáticas.
22.17 Calcular períodos con JavaScript
function propiedadesPendulo(longitudM, gravedadMps2) {
if (longitudM <= 0 || gravedadMps2 <= 0) {
throw new RangeError("L y g deben ser positivas");
}
const frecuenciaAngularRadS = Math.sqrt(gravedadMps2 / longitudM);
const periodoS = 2 * Math.PI / frecuenciaAngularRadS;
const frecuenciaHz = 1 / periodoS;
return { frecuenciaAngularRadS, periodoS, frecuenciaHz };
}
console.log(propiedadesPendulo(0.90, 9.8));También podemos estimar g desde el tiempo total de varios ciclos:
function estimarGravedad(longitudM, ciclos, tiempoTotalS) {
if (longitudM <= 0 || ciclos <= 0 || tiempoTotalS <= 0) {
throw new RangeError("Los datos deben ser positivos");
}
const periodoS = tiempoTotalS / ciclos;
const gravedadMps2 = 4 * Math.PI ** 2 * longitudM / periodoS ** 2;
return { periodoS, gravedadMps2 };
}
console.log(estimarGravedad(0.64, 30, 47.70));22.18 Laboratorio interactivo: explorar T(L)
El punto amarillo muestra el período para la longitud seleccionada. La masa y la amplitud se incluyen para comprobar qué variables no aparecen en la fórmula lineal; una amplitud grande activa una advertencia sobre el modelo.
T₀ = 2π√(L/g)
T₀ = 2π√(1,00/9,81) = 2,006 s
La amplitud es compatible con el régimen de ángulo pequeño para una estimación introductoria.
- Duplicá L: el período se multiplica por √2, no por dos.
- Cuadruplicá g: el período se divide por dos.
- Cambiá m: la animación y T₀ permanecen iguales.
- Aumentá Θ: la fórmula no cambia, pero aparece la advertencia sobre su validez.
22.19 Fuentes de discrepancia experimental
- Amplitud demasiado grande para la fórmula lineal.
- Longitud medida hasta un punto distinto del centro de masa.
- Tiempo de reacción al iniciar y detener el cronómetro.
- Conteo incorrecto de ciclos o de medios ciclos.
- Rozamiento del aire y del soporte.
- Hilo elástico, masa distribuida o movimiento fuera del plano.
- Valor local de g diferente del valor adoptado.
22.20 Ejercicio propuesto
Un péndulo simple tiene L₁ = 0,64 m en un lugar donde g = 10,0 m/s². Trabajá dentro de la aproximación de ángulo pequeño.
- Calculá Ω₀, T₁ y f₁.
- Calculá el tiempo correspondiente a 20 ciclos.
- Si la longitud cambia a
L₂ = 1,44 m, obtené T₂ mediante una razón. - Indicá qué ocurre con T si la masa se triplica.
- Si 30 ciclos del primer péndulo se miden en 47,70 s, estimá g a partir de esa medición.
Ver solución y explicación
T₁ = 2π/Ω₀ ≈ 1,590 s
f₁ = 1/T₁ ≈ 0,629 Hz
La razón de longitudes es 1,44/0,64 = 2,25:
T₂ ≈ 2,384 s
Triplicar la masa no modifica el período ideal. Para la medición:
g = 4π²·0,64/1,590² m/s² ≈ 9,994 m/s²
const longitud1M = 0.64;
const longitud2M = 1.44;
const gravedadModeloMps2 = 10.0;
const frecuenciaAngularRadS = Math.sqrt(gravedadModeloMps2 / longitud1M);
const periodo1S = 2 * Math.PI / frecuenciaAngularRadS;
const frecuencia1Hz = 1 / periodo1S;
const tiempo20CiclosS = 20 * periodo1S;
const periodo2S = periodo1S * Math.sqrt(longitud2M / longitud1M);
const periodoMedidoS = 47.70 / 30;
const gravedadMedidaMps2 = 4 * Math.PI ** 2 * longitud1M /
periodoMedidoS ** 2;
console.log({ frecuenciaAngularRadS, periodo1S, frecuencia1Hz,
tiempo20CiclosS, periodo2S,
periodoConMasaTripleS: periodo1S,
periodoMedidoS, gravedadMedidaMps2 });22.21 Ideas para recordar
- Para ángulos pequeños,
T₀ = 2π√(L/g). - El período crece con √L y disminuye con √g.
- La masa no modifica el período del péndulo simple ideal.
- La independencia de la amplitud solo pertenece al modelo lineal.
- L se mide desde el eje de giro hasta el centro de masa.
- Medir varios ciclos reduce la influencia del tiempo de reacción.
- La gravedad puede estimarse mediante
g = 4π²L/T². - Graficar T² frente a L produce una relación lineal.