23. Energía del péndulo, velocidad y puntos de retorno

23.1 El enfoque energético

La ecuación exacta del péndulo relaciona aceleración angular y posición mediante sen θ. El enfoque energético ofrece una descripción complementaria: conecta directamente dos estados sin calcular el tiempo transcurrido entre ellos.

En ausencia de rozamiento y de trabajo externo, la suma de energía cinética y potencial gravitatoria permanece constante.

Las relaciones de este tema usan la geometría exacta del péndulo y no requieren la aproximación sen θ ≈ θ.

23.2 Elegir el cero de altura

Tomamos como referencia el punto más bajo, donde θ = 0. Allí definimos altura y energía potencial iguales a cero.

Si L es la longitud del péndulo, la distancia vertical hacia abajo desde el apoyo es L cos θ. En el punto inferior vale L. La elevación respecto de ese punto es:

La altura es igual para +θ y −θ porque el coseno es una función par.

23.3 Energía potencial gravitatoria

Con la referencia elegida:

• En θ = 0, U = 0.
• En θ = ±π/2, U = mgL.
• En θ = ±π, U = 2mgL.
• La función se repite cada 2π.

Esta energía no es cuadrática para ángulos generales. Cerca del punto inferior puede aproximarse por una parábola, pero aquí conservaremos el coseno exacto.

23.4 Energía cinética

La rapidez tangencial es v = L|θ̇|. Por lo tanto:

La energía cinética no conserva el signo de la velocidad angular. Estados con +θ̇ y −θ̇ tienen la misma K.

El factor mL² cumple el papel de inercia rotacional de una masa puntual situada a distancia L.

23.5 Energía mecánica exacta

La suma de ambas formas es:

En el modelo ideal, E permanece constante. La expresión es válida para oscilaciones amplias e incluso para rotaciones, siempre que la restricción circular siga siendo físicamente válida.

El valor numérico de E depende del cero potencial, pero las diferencias de energía y los resultados físicos no.

23.6 Condiciones para conservarla

• El apoyo permanece fijo.
• No hay rozamiento ni resistencia del aire.
• El hilo o la varilla no cambia de longitud.
• La fuerza de restricción no realiza trabajo.
• No actúa un motor ni otro agente externo.

La tensión es perpendicular al desplazamiento instantáneo mientras el hilo está tenso, de modo que no realiza trabajo. Si el apoyo se mueve, esta conclusión puede dejar de ser válida.

23.7 Comparar dos estados

Para estados (θ₁, v₁) y (θ₂, v₂):

Cancelando m y despejando:

La masa no aparece en la velocidad resultante. Al extraer la raíz debemos conservar los dos signos posibles si el sentido no está especificado.

23.8 Liberación desde el reposo

Si el péndulo se libera desde θ₀ con velocidad cero:

En otro ángulo θ:

La posición es accesible solamente si el radicando es no negativo. En una oscilación simétrica iniciada desde el reposo, esto equivale a |θ| ≤ |θ₀| dentro del intervalo principal.

23.9 Rapidez en el punto más bajo

Tomando θ = 0 y cos 0 = 1:

También puede escribirse usando la altura inicial:

Esta es la rapidez máxima para una oscilación ideal liberada desde un extremo. Su signo depende del sentido con el que cruza el punto inferior.

23.10 Puntos de retorno desde una energía dada

En un punto de retorno θ̇ = 0, de modo que K = 0 y U = E:

Para 0 ≤ E ≤ 2mgL:

Dentro de una oscilación alrededor del punto inferior, esos dos ángulos son los extremos simétricos.

23.11 Regiones permitidas

La energía cinética debe ser no negativa:

En un gráfico U(θ), una línea horizontal de energía separa posiciones accesibles e inaccesibles. Los puntos donde la línea corta al potencial son retornos.

A diferencia del resorte, el potencial del péndulo es periódico. Para energías suficientemente altas, la línea queda por encima de todas las barreras y deja de haber retornos angulares.

23.12 Clasificar el movimiento mediante E

Conviene usar la energía adimensional ε = E/(mgL):

En el nivel exacto ε = 2, un movimiento ideal que asciende hacia arriba con energía justa se aproxima al punto superior con rapidez cada vez menor. Ese estado es inestable.

23.13 Energía suficiente no garantiza un hilo tenso

La ecuación de tensión es:

Un hilo solo puede tirar. Debemos comprobar 𝒯 ≥ 0 en toda la trayectoria. En el punto superior:

Para conservar el contacto circular se necesita v_arriba² ≥ gL. Si el sistema parte desde abajo, la energía conduce al requisito:

La condición energética para apenas alcanzar arriba sería solo √(4gL), pero con esa rapidez inicial el hilo se aflojaría antes. Una varilla rígida sí puede empujar y no tiene esa limitación.

23.14 Signo de la velocidad

La energía proporciona v² o θ̇². Para elegir el signo necesitamos información adicional:

• si θ aumenta, θ̇ > 0 y v_t > 0;
• si θ disminuye, θ̇ < 0 y v_t < 0;
• en un retorno, ambas valen cero.

La misma posición angular de una oscilación se visita en dos sentidos, con igual energía y velocidades opuestas.

23.15 Ejemplo: liberación desde 60°

Un péndulo de L = 1,20 m se libera desde θ₀ = 60°. Usamos g = 9,81 m/s².

La rapidez inferior es:

Cuando pasa por θ = 30°:

En el recorrido descendente desde +60°, ambas velocidades tienen signo negativo según el convenio de θ creciente hacia la derecha.

23.16 Funciones energéticas en JavaScript

function energiaPendulo({ masaKg, longitudM, gravedadMps2, anguloRad, velocidadAngularRadS }) {
  const velocidadMps = longitudM * velocidadAngularRadS;
  const cineticaJ = 0.5 * masaKg * velocidadMps ** 2;
  const potencialJ = masaKg * gravedadMps2 * longitudM *
    (1 - Math.cos(anguloRad));
  return { cineticaJ, potencialJ, totalJ: cineticaJ + potencialJ };
}

console.log(energiaPendulo({
  masaKg: 0.30, longitudM: 0.80, gravedadMps2: 9.8,
  anguloRad: 75 * Math.PI / 180, velocidadAngularRadS: 0
}));

Para consultar un ángulo conviene distinguir explícitamente una posición inaccesible:

function estadoEnAngulo({ energiaJ, masaKg, longitudM, gravedadMps2, anguloRad }) {
  const potencialJ = masaKg * gravedadMps2 * longitudM *
    (1 - Math.cos(anguloRad));
  const cineticaJ = energiaJ - potencialJ;
  const toleranciaJ = Math.max(1, energiaJ) * 1e-12;
  if (cineticaJ < -toleranciaJ) {
    return { accesible: false, potencialJ };
  }
  const rapidezMps = Math.sqrt(2 * Math.max(0, cineticaJ) / masaKg);
  const tensionN = masaKg * gravedadMps2 * Math.cos(anguloRad) +
    masaKg * rapidezMps ** 2 / longitudM;
  return { accesible: true, rapidezMps,
    velocidadesMps: [-rapidezMps, rapidezMps], tensionN,
    hiloTenso: tensionN >= 0 };
}

console.log(estadoEnAngulo({ energiaJ: 1.75, masaKg: 0.30,
  longitudM: 0.80, gravedadMps2: 9.8, anguloRad: Math.PI / 6 }));

23.17 Laboratorio interactivo: paisaje energético angular

El estado inicial fija la energía. Consultá otro ángulo para saber si es accesible, qué velocidades admite y si la tensión calculada permite mantener un hilo tenso.

• Consultá un retorno: la rapidez se anula y U = E.
• Aumentá |θ̇₀|: la energía puede superar la barrera superior.
• Consultá 180°: compará la accesibilidad energética con la tensión.
• Cambiá la masa: cambian las energías y fuerzas, pero no las velocidades obtenidas para estados angulares equivalentes.

23.18 Errores frecuentes

• Usar mgh con h incorrecta: respecto del punto inferior, h = L(1 − cos θ).
• Aproximar el coseno sin necesidad: la energía exacta funciona para ángulos amplios.
• Olvidar que v = Lθ̇: la energía cinética puede escribirse en variables lineales o angulares.
• Elegir un único signo de velocidad: la energía devuelve el módulo.
• Interpretar un radicando negativo como velocidad cero: indica una posición inaccesible.
• Comprobar solo la energía en un péndulo de hilo: también debe verificarse una tensión no negativa.

23.19 Ejercicio propuesto

Un péndulo simple tiene L = 0,80 m y una pesa de 0,30 kg. Se libera desde el reposo en θ₀ = +75°. Usá g = 9,8 m/s².

1. Calculá la altura y la energía inicial respecto del punto inferior.
2. Calculá la rapidez al pasar por abajo.
3. Calculá las velocidades posibles en θ = +30°.
4. Calculá la tensión al pasar por el punto inferior.
5. Indicá los puntos de retorno.

const longitudM = 0.80;
const masaKg = 0.30;
const gravedadMps2 = 9.8;
const anguloInicialRad = 75 * Math.PI / 180;
const anguloConsultaRad = 30 * Math.PI / 180;

const alturaInicialM = longitudM * (1 - Math.cos(anguloInicialRad));
const energiaJ = masaKg * gravedadMps2 * alturaInicialM;
const rapidezInferiorMps = Math.sqrt(2 * gravedadMps2 * alturaInicialM);
const rapidezConsultaMps = Math.sqrt(2 * gravedadMps2 * longitudM *
  (Math.cos(anguloConsultaRad) - Math.cos(anguloInicialRad)));
const tensionInferiorN = masaKg * gravedadMps2 +
  masaKg * rapidezInferiorMps ** 2 / longitudM;

console.log({ alturaInicialM, energiaJ, rapidezInferiorMps,
  velocidadesConsultaMps: [-rapidezConsultaMps, rapidezConsultaMps],
  tensionInferiorN,
  retornosGrados: [-75, 75] });

23.20 Ideas para recordar

• La altura respecto del punto inferior es L(1 − cos θ).
• La energía exacta es ½mL²θ̇² + mgL(1 − cos θ).
• La rapidez entre dos ángulos se obtiene comparando sus cosenos.
• La energía no determina el signo de la velocidad.
• Los retornos cumplen U(θ_r) = E.
• Con E < 2mgL hay oscilación; por encima de esa barrera, la rotación es energéticamente posible.
• La energía exacta no requiere la aproximación de ángulo pequeño.
• En un hilo también debe comprobarse 𝒯 ≥ 0.