24. Grandes amplitudes y límites del modelo armónico

El péndulo deja de ser sinusoidal cuando la amplitud crece: tarda más cerca de los extremos y su período aumenta. El modelo exacto permite medir esa diferencia y decidir cuándo la aproximación armónica sigue siendo útil.

24.1 Dos modelos para el mismo péndulo

El modelo dinámico exacto del péndulo simple es:

θ̈ + (g/L)sen θ = 0

El modelo armónico reemplaza sen θ por θ:

θ̈ + (g/L)θ = 0

Ambos describen prácticamente el mismo movimiento cerca del punto inferior. Al aumentar la amplitud, sus aceleraciones, formas de onda y períodos comienzan a separarse.

24.2 Qué significa gran amplitud

No existe un ángulo universal que marque una frontera física. “Grande” significa que el error del modelo lineal supera la tolerancia del problema.

Para una aplicación educativa puede aceptarse una diferencia de algunos puntos porcentuales. Un instrumento de medición puede exigir errores menores que 0,1%.

La amplitud angular Θ debe expresarse en radianes dentro de fórmulas y series, aunque se comunique en grados.

24.3 El período lineal como referencia

La aproximación de ángulo pequeño predice:

T₀ = 2π√(L/g)

T₀ no depende de la amplitud. Lo usaremos como escala de referencia para expresar el período exacto:

razón de período = T(Θ)/T₀

Si la razón vale 1,05, el movimiento exacto tarda 5% más que el modelo armónico.

24.4 Por qué aumenta el período

Para un mismo ángulo positivo, se cumple sen θ < θ. Por lo tanto, el modelo exacto produce una aceleración restauradora de menor módulo que el lineal.

La diferencia es especialmente importante cerca de un extremo amplio. El péndulo cambia su movimiento más lentamente allí y pasa una fracción mayor del ciclo cerca de los retornos.

Como consecuencia, el período exacto es mayor que T₀ para toda amplitud no nula.

24.5 La forma deja de ser sinusoidal

En un coseno ideal, la fase avanza uniformemente y cada cuarto de período tiene la misma forma escalada. El péndulo no lineal conserva la simetría temporal y espacial, pero su ángulo no sigue un coseno exacto.

  • Permanece relativamente más tiempo cerca de los extremos.
  • Cruza la región inferior con mayor rapidez relativa.
  • Acumula desfase frente a una oscilación armónica iniciada desde el mismo extremo.

No se trata de amortiguamiento: la amplitud puede permanecer constante aunque la forma no sea sinusoidal.

24.6 Obtener el tiempo desde la energía

Si el péndulo se libera desde el reposo en θ = Θ, la conservación de la energía da:

θ̇² = (2g/L)(cos θ − cos Θ)

Durante el descenso podemos separar variables:

dt = √[L/(2g)] · dθ/√(cos θ − cos Θ)

Integrar desde el extremo hasta el punto inferior proporciona un cuarto del período. La dificultad está en que la raíz contiene una función trigonométrica.

24.7 Integral del cuarto de período

Tomando valores positivos para el intervalo:

T/4 = √[L/(2g)] ∫₀Θ dθ/√(cos θ − cos Θ)

La integral crece al acercarse al extremo porque la velocidad angular se anula allí. Su valor es finito para 0 ≤ Θ < π.

Esta expresión puede evaluarse numéricamente, pero existe una transformación estándar que conduce a una integral elíptica completa.

24.8 Período exacto e integral elíptica

Definimos el módulo:

k = sen(Θ/2)

La integral elíptica completa de primera especie es:

K(k) = ∫₀π/2 dψ/√(1 − k²sen²ψ)

El período exacto de una oscilación es:

T(Θ) = 4√(L/g) K(sen(Θ/2))

Esta fórmula supone 0 ≤ Θ < π y liberación desde un retorno de una trayectoria circular válida.

24.9 Recuperar el límite de ángulo pequeño

Cuando Θ tiende a cero, k = sen(Θ/2) también tiende a cero. Como:

K(0) = π/2

obtenemos:

T(0) = 4√(L/g)·π/2 = 2π√(L/g) = T₀

El período lineal no es una fórmula desconectada: es el límite del resultado exacto cuando la amplitud se aproxima a cero.

24.10 Corrección mediante una serie

Para amplitudes moderadas podemos evitar la integral elíptica usando:

T ≈ T₀[1 + Θ²/16 + 11Θ⁴/3072 + ···]

Θ debe expresarse en radianes. La corrección cuadrática ya muestra que el período aumenta con la amplitud.

Agregar términos mejora el resultado dentro de cierto intervalo, pero una serie truncada no se vuelve exacta para ángulos cercanos a π.

24.11 Comparación de períodos

Aumento aproximado del período exacto respecto de T₀.
AmplitudT/T₀Aumento
5°1,00050,05%
10°1,00190,19%
30°1,01741,74%
60°1,07327,32%
90°1,180318,03%

La tolerancia requerida decide hasta qué amplitud T₀ es suficiente.

24.12 Comportamiento cerca de 180°

Cuando Θ → π, el módulo k tiende a 1 y K(k) crece sin límite. En consecuencia:

T(Θ) → ∞ cuando Θ → π

La posición superior es un equilibrio inestable. Con la energía exacta para llegar allí y velocidad inicial cero, el sistema ideal puede permanecer arriba; desde una posición apenas menor tarda un tiempo cada vez mayor en aproximarse.

Este comportamiento no puede ser reproducido por el período constante del modelo armónico.

24.13 Oscilación y rotación

La fórmula del período anterior corresponde a oscilaciones con retornos ±Θ y Θ < π.

Si la energía supera la barrera 2mgL, el ángulo puede aumentar o disminuir continuamente y el sistema realiza rotaciones. Ya no existe un período de ida y vuelta entre dos extremos.

Puede definirse un tiempo por revolución, pero es otra clase de movimiento y requiere condiciones iniciales energéticas, no una amplitud de oscilación.

24.14 Límite adicional de un hilo flexible

La fórmula exacta supone que la masa permanece sobre la circunferencia. Un hilo puede tirar, pero no empujar.

Si se sostiene la masa con el hilo recto en un ángulo mayor que 90° y se libera desde el reposo, la expresión radial exige inicialmente:

𝒯 = mg cos Θ < 0

Eso es imposible para un hilo: se aflojará. Un péndulo con varilla rígida o una masa guiada por un aro sí puede mantener la restricción. Por eso una solución matemática de la ecuación angular no siempre coincide con el dispositivo físico llamado “masa e hilo”.

24.15 El modelo exacto también tiene límites

Conservar sen θ corrige la no linealidad geométrica, pero todavía supone:

  • masa puntual;
  • longitud constante;
  • apoyo fijo y sin rozamiento;
  • campo gravitatorio uniforme;
  • movimiento plano;
  • ausencia de resistencia del aire.

Un modelo puede ser exacto respecto de su ecuación y aun así aproximar el sistema real.

24.16 Calcular K(k) mediante la media aritmético-geométrica

Para 0 ≤ k < 1, la integral elíptica puede calcularse eficientemente:

K(k) = π/[2·AGM(1, √(1 − k²))]

La media aritmético-geométrica repite:

anuevo = (a + b)/2
bnuevo = √(ab)

Ambos valores convergen rápidamente al mismo límite. Este algoritmo evita integrar cerca de los extremos singulares.

24.17 Implementar el período exacto en JavaScript

function integralElipticaK(modulo, tolerancia = 1e-14) {
  if (modulo < 0 || modulo >= 1) {
    throw new RangeError("El módulo debe cumplir 0 <= k < 1");
  }
  let a = 1;
  let b = Math.sqrt(1 - modulo ** 2);
  while (Math.abs(a - b) > tolerancia * a) {
    const siguienteA = (a + b) / 2;
    const siguienteB = Math.sqrt(a * b);
    a = siguienteA;
    b = siguienteB;
  }
  return Math.PI / (2 * a);
}

function periodoExacto(longitudM, gravedadMps2, amplitudRad) {
  const modulo = Math.sin(Math.abs(amplitudRad) / 2);
  return 4 * Math.sqrt(longitudM / gravedadMps2) *
    integralElipticaK(modulo);
}

console.log([10, 30, 60, 90].map(grados => ({
  grados,
  periodoS: periodoExacto(1, 9.81, grados * Math.PI / 180)
})));

24.18 Comparar aproximaciones en código

function periodosAproximados(longitudM, gravedadMps2, amplitudRad) {
  const periodoLinealS = 2 * Math.PI * Math.sqrt(longitudM / gravedadMps2);
  const theta2 = amplitudRad ** 2;
  const periodoCuadraticoS = periodoLinealS * (1 + theta2 / 16);
  const periodoCuarticoS = periodoLinealS *
    (1 + theta2 / 16 + 11 * theta2 ** 2 / 3072);
  return { periodoLinealS, periodoCuadraticoS, periodoCuarticoS };
}

console.log(periodosAproximados(1, 9.81, Math.PI / 3));

Conviene comparar cada aproximación con el valor exacto o con una integración numérica convergente antes de adoptarla en una aplicación.

24.19 Laboratorio interactivo: corrección por amplitud

La curva muestra la razón exacta T/T₀. Las barras comparan el período lineal, las correcciones cuadrática y cuártica, y el resultado de la integral elíptica.

Los valores aparecen debajo de los controles.
━ Período exacto▮ Período lineal T₀▮ Correcciones por serie
Período lineal T₀2,006 s
Período exacto T2,153 s
Aumento de T7,318%
Serie hasta Θ²2,144 s
Serie hasta Θ⁴2,152 s
Validez de T₀No cumple 1,0%

T = 4√(L/g) K(sen(Θ/2))

T/T₀ = 1,07318 para Θ = 60°.

La corrección por amplitud es necesaria para la tolerancia elegida.

  • Aumentá Θ: observá el crecimiento no lineal de T/T₀.
  • Cambiá L o g: cambian todos los períodos, pero no su razón.
  • Ajustá la tolerancia: decidí si el modelo lineal es suficiente para tu objetivo.
  • Superá 90°: recordá que liberar desde el reposo con un hilo flexible no mantiene la trayectoria.

24.20 Ejercicio propuesto

Un péndulo ideal con trayectoria circular restringida tiene L = 1,00 m, g = 9,81 m/s² y se libera desde Θ = 60°.

  1. Calculá el período lineal T₀.
  2. Calculá las aproximaciones que conservan términos hasta Θ² y hasta Θ⁴.
  3. Usando K(0,5) ≈ 1,68575, calculá el período exacto.
  4. Obtené el aumento porcentual respecto de T₀.
  5. Decidí si T₀ sirve para una tolerancia del 2%.
Ver solución y explicación
Θ = 60° = π/3 rad
T₀ = 2π√(1/9,81) s ≈ 2,006 s
TΘ² = T₀[1 + (π/3)²/16] ≈ 2,144 s
TΘ⁴ = T₀[1 + (π/3)²/16 + 11(π/3)⁴/3072] ≈ 2,152 s

Como sen(Θ/2) = sen 30° = 0,5:

T = 4√(1/9,81)·1,68575 s ≈ 2,153 s
(T/T₀ − 1)·100% ≈ 7,32%

El modelo lineal no cumple una tolerancia del 2%, porque su error en el período supera ese valor.

const longitudM = 1;
const gravedadMps2 = 9.81;
const amplitudRad = Math.PI / 3;
const integralK = 1.6857503548;
const periodoLinealS = 2 * Math.PI * Math.sqrt(longitudM / gravedadMps2);
const theta2 = amplitudRad ** 2;
const periodoCuadraticoS = periodoLinealS * (1 + theta2 / 16);
const periodoCuarticoS = periodoLinealS *
  (1 + theta2 / 16 + 11 * theta2 ** 2 / 3072);
const periodoExactoS = 4 * Math.sqrt(longitudM / gravedadMps2) * integralK;
const aumentoPorcentaje = 100 * (periodoExactoS / periodoLinealS - 1);

console.log({ periodoLinealS, periodoCuadraticoS,
  periodoCuarticoS, periodoExactoS, aumentoPorcentaje,
  cumpleTolerancia2PorCiento: aumentoPorcentaje <= 2 });

24.21 Ideas para recordar

  • El período exacto aumenta con la amplitud angular.
  • T₀ es el límite del período cuando Θ tiende a cero.
  • El movimiento de gran amplitud no es sinusoidal.
  • El período exacto contiene la integral elíptica K(sen(Θ/2)).
  • La serie comienza con la corrección Θ²/16.
  • La validez del modelo lineal depende de la tolerancia requerida.
  • Cuando Θ se acerca a π, el período crece sin límite.
  • Un hilo flexible agrega la condición física de tensión no negativa.